সামন্তরিকের পঞ্চম উপপাদ্য

সামন্তরিকের পঞ্চম উপপাদ্য (Parallelogram Theorem)

সামন্তরিকের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে। 

প্রমাণ:

মনে করি ABCD একটি সামন্তরিক। এখানে AB ।। DC এবং AD ।। BC . AC এবং BD কর্ণদ্বয় পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করেছে। 

আমাদের প্রমাণ করতে হবে AO = CO এবং BO = DO 

প্রমাণ : ত্রিভুজ AOB এবং ত্রিভুজ COD এর 

AB = DC 

$\angle ABO = \angle CDO$ যেহেতু এরা একান্তর কোণ 

$\angle BAO = \angle DCO$ যেহেতু এরা একান্তর কোণ 

অতএব ত্রিভুজ AOB $\cong$ ত্রিভুজ COD

অতএব AO = CO ( সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু )

এবং BO = OD ( সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু )

অর্থাৎ O হল AC এবং BD কর্ণদ্বয়ের মধ্যবিন্দু। 

প্রয়োগ : রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখন্ডিত করে। 

মনে করি ABCD একটি রম্বস এর AC এবং BD কর্ণদ্বয় পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করেছে। 

আমাদের প্রমাণ করতে হবে AO = CO , BO = DO এবং $\angle AOB = {90^ \circ }$

প্রমাণ : যেহেতু রম্বস একটি সামন্তরিক সুতরাং তার কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখন্ডিত করবে। 

অর্থাৎ  AO = CO এবং  BO = DO হবে। 

ত্রিভুজ AOB এবং ত্রিভুজ BOC এর 

AB = BC 

OB সাধারণ বাহু 

AO = CO

অতএব ত্রিভুজ AOB $\cong$  ত্রিভুজ BOC

অতএব  $\angle AOB = \angle BOC$

এখন 

$\begin{array}{l} \angle AOB + \angle BOC = {180^ \circ }\\  \Rightarrow 2\angle AOB = {180^ \circ }\\  \Rightarrow \angle AOB = {90^ \circ } \end{array}$

অতএব রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখন্ডিত করে। 

ABCD সামন্তরিকের $\angle BAD$ ও $\angle BCD$ কোণের সমদ্বিখণ্ডক দুটি DC এবং AB বাহুকে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করতে হবে যে PAQC একটি সামন্তরিক। 

ABCD সামন্তরিকের  $\angle BAD$ ও $\angle BCD$ কোণের সমদ্বিখণ্ডক দুটি DC এবং AB বাহুকে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করেছে।

প্রমাণ করতে হবে  PAQC একটি সামন্তরিক। 

প্রমাণ : ABCD সামান্তরিকের DC ।। AB এবং AP হল ছেদক। 

সুতরাং $\angle DPA =$একান্তর $\angle PAQ$

আবার $\angle PAQ = \frac{1}{2}\angle DAB$

$\Rightarrow \angle PAQ = \frac{1}{2}\angle DCB$ ( যেহেতু $\angle DAB = \angle DCB$ )

$\Rightarrow \angle PAQ = \angle PCQ$ ( যেহেতু $\frac{1}{2}\angle DCB = \angle PCQ$ )

$\Rightarrow \angle DPA = \angle PCQ$ 

কিন্তু $\angle DPA$ ও $\angle PCQ$ হল অনুরূপ কোন এবং DC হল ছেদক। 

অতএব PA ।। CQ 

আবার AQ ।। PC ( যেহেতু সামান্তরিকের বিপরীত বাহু AB ।। DC )

APCQ চতুর্ভুজের PA ।। CQ ও AQ ।। PC .

সুতরাং APCQ একটি সামন্তরিক। 

প্রমাণ করতে হবে যে দুটি সমান্তরাল সরলরেখা ও তাদের একটি ছেদকের অন্তর্ভুক্ত অন্তঃকোণ গুলির সমদ্বিখন্ডকগুলি একটি আয়তকার চিত্র উৎপন্ন করে। 

মনে করি AB ও CD দুটি সমান্তরাল সরলরেখাকে PQ ছেদক যথাক্রমে E ও F বিন্দুতে ছেদ করেছে। EG ও EH যথাক্রমে $\angle BEF$ ও $\angle AEF$ কোণ দুটিকে এবং FG ও FH যথাক্রমে $\angle DFE$ ও $\angle CFE$ কোণ দুটিকে সমদ্বিখন্ডিত করেছে। 

প্রমাণ করতে হবে EHFG একটি আয়তক্ষেত্র। 

প্রমাণ : $\angle AEF =$ একান্তর $\angle EFD$ ( যেহেতু AB ।। CD এবং EF ছেদক )

সুতরাং , $\frac{1}{2}\angle AEF = \frac{1}{2}\angle EFD$

অতএব $\angle HEF = \angle EFG$ কিন্তু এরা একান্তর কোণ। 

অতএব HE ।। FG 

অনুরূপে HF ।। GE 

অতএব EHFG একটি সামন্তরিক । 

আবার $\angle HEG = \frac{1}{2}\left( {\angle AEF + \angle BEF} \right) = \frac{1}{2} \times 2 \times {90^ \circ }$

অতএব $\angle HEG = {90^ \circ }$

সুতরাং EHFG একটি আয়তক্ষেত্র । 

*****