রৈখিক সহ সমীকরণ

রৈখিক সহ সমীকরণ (Linear Simultaneous Equations)

সূচনা (Introduction)

আমরা এর আগে বিবিধ প্রশ্নে একটি অজ্ঞাত রাশি থাকলে তবে ওই অজ্ঞাত রাশিটিকে x ধরে সরল সমীকরণের সাহায্যে তার সমাধান প্রণালী শিখেছি। যদি এইরকম দুটি অজ্ঞাত রাশি থাকে , তবে ওই দুটি অজ্ঞাত রাশিকে x এবং y ধরে প্রশ্নের শর্ত গুলিকে দুটি সমীকরণ আকারে প্রকাশ করতে হবে । ওই দুটি অজ্ঞাত রাশি বিশিষ্ট সমীকরণকে বলা হয় সহসমীকরণ । এই দুটি অজ্ঞাত রাশিগুলিকে সমাধান করে অজ্ঞাত রাশিগুলির মান নির্ণয় করতে হবে । 

সহ-সমীকরণ (Simultaneous Equations) : যখন দুটি সমীকরণ যুগ্মভাবে কোনো সমস্যার সমাধানকে বহন করে তখন ওই সমীকরণদ্বয়কে বলে সহসমীকরণ । সহসমীকরণের একটিকে অপরটি থেকে বিচ্ছিন্ন করলে আলাদা আলাদা ভাবে কোনো একটি সমীকরণকে সমাধান করা সম্ভব  নয় । 

সহসমীকরণের প্রত্যেকটিতেই অথবা অন্তত যেকোনো একটিতে দুটি অজ্ঞাত রাশি থাকে এবং একজোড়া নির্দিষ্ট মানের জন্য দুটি সমীকরণই সিদ্ধ হয় । যেমন সাধারণরূপের সহসমীকরণ হল 

[tex]\begin{array}{l}
{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0\\
{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0
\end{array}[/tex]

অথবা 

[tex]\begin{array}{l}
{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0\\
{a_2}x + {c_2} = 0
\end{array}[/tex]

সহসমীকরণ সমাধানের বিভিন্ন পদ্ধতি 

সহসমীকরণ নিম্নলিখিত চার রকম পদ্ধতিতে সমাধান করা যায় । 

1. তুলনামূলক পদ্ধতি ( Method of Comparison )
2. প্রতিস্থাপন বা পরিবর্ত পদ্ধতি ( Method of Substitution )
3. অপনয়ন পদ্ধতি ( Method of Elimination )
4. বজ্রগুণন পদ্ধতি ( Method of Cross-multiplication )

দুটি সমীকরণের সমাধান এই উপরের চারটি পদ্ধতির মধ্যে যেকোনো একটি দিয়ে করা সম্ভব । কিন্তু যে পদ্ধতি টি দিয়ে আমরা সহজেই সমাধান করতে পারব সেটা আমাদের ঠিক করতে হবে । 

তুলনামূলক পদ্ধতি (Method of Comparison)

দুটি সহসমীকরণের প্রত্যেকটি থেকে x কে y এর আকারে অথবা y কে x এর আকারে প্রকাশ করতে হবে । তারপর ওই y এর আকারে প্রকাশিত (অথবা x এর আকারে প্রকাশিত) x এর মান (বা y এর মান) দুটি সমান ধরে নেওয়া হয় । তারপর ওই সরল সমকরণ থেকে y এর মান (বা x এর মান) বের করে নিতে হবে । প্রাপ্ত y এর মান (বা x এর মান) প্রদত্ত সমীকরণের যেকোনো একটিতে বসিয়ে x এর মান (বা y এর মান) বের করা হয় । x এবং y এর মান দুটিই প্রদত্ত সহস্যকরণের যুগৎপাত সমাধান । 

মনে করি [tex]{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0[/tex] এবং [tex]{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0[/tex] দুটি সমীকরণ । 

এখন প্রথম সমীকরণ থেকে আমরা পাই 

[tex]\begin{array}{l}
{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0\\
 \Rightarrow {a_1}x =  - \left( {{b_1}y + {c_1}} \right)\\
 \Rightarrow x = \frac{{ - \left( {{b_1}y + {c_1}} \right)}}{{{a_1}}}
\end{array}[/tex]

অনুরূপে দ্বিতীয় সমীকরণ থেকে আমরা পাই 

[tex]x = \frac{{ - \left( {{b_2}y + {c_2}} \right)}}{{{a_2}}}[/tex]

শর্তানুযায়ী 

[tex]\begin{array}{l}
\frac{{ - \left( {{b_1}y + {c_1}} \right)}}{{{a_1}}} = \frac{{ - \left( {{b_2}y + {c_2}} \right)}}{{{a_2}}}\\
 \Rightarrow {a_2}{b_1}y + {a_2}{c_1} = {a_1}{b_2}y + {a_1}{c_2}\\
 \Rightarrow y\left( {{a_2}{b_1} - {a_1}{b_2}} \right) = {a_1}{c_2} - {a_2}{c_1}\\
 \Rightarrow y = \frac{{{a_1}{c_2} - {a_2}{c_1}}}{{{a_2}{b_1} - {a_1}{b_2}}}
\end{array}[/tex]

এখন y এর মান প্রথম সমীকরণে বসিয়ে পাই 

[tex]\begin{array}{l}
x = \frac{{ - \left( {{b_2}\frac{{{a_1}{c_2} - {a_2}{c_1}}}{{{a_2}{b_1} - {a_1}{b_2}}} + {c_2}} \right)}}{{{a_2}}}\\
 = \frac{{ - {a_1}{b_2}{c_2} + {a_2}{b_2}{c_1} - {a_2}{b_1}{c_2} + {a_1}{b_2}{c_2}}}{{{a_2}\left( {{a_2}{b_1} - {a_1}{b_2}} \right)}}\\
 = \frac{{{a_2}{b_2}{c_1} - {a_2}{b_1}{c_2}}}{{{a_2}\left( {{a_2}{b_1} - {a_1}{b_2}} \right)}}\\
 = \frac{{{a_2}\left( {{b_2}{c_1} - {b_1}{c_2}} \right)}}{{{a_2}\left( {{a_2}{b_1} - {a_1}{b_2}} \right)}}\\
 = \frac{{{b_2}{c_1} - {b_1}{c_2}}}{{{a_2}{b_1} - {a_1}{b_2}}}
\end{array}[/tex]

প্রতিস্থাপন বা পরিবর্ত পদ্ধতি (Method of Substitution)

সমীকরণদ্বয়ের যেকোনো একটি থেকে একটি অজ্ঞাত রাশির মান অপর রাশির আকারে প্রকাশ করে ওই মান অপর সমীকরণটিতে বসানো হয় অর্থাৎ সমীকরণে দুটি আগত রাশি x ও y এর মধ্যে যেকোনো একটি মনে করি x কে y এর আকারে প্রকাশ করে ওই মান অন্য সমীকরণে বসিয়ে y এর মান নির্ণয় করা হয় । এবার y এর মানের সাহায্যে আগের পদ্ধতিতে ক্স এর মান নির্ণয় করা যায় । 

মনে করি [tex]{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0[/tex] এবং [tex]{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0[/tex] দুটি সমীকরণ । 

এখন প্রথম সমীকরণ থেকে আমরা পাই 

[tex]\begin{array}{l}
{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0\\
 \Rightarrow {a_1}x =  - \left( {{b_1}y + {c_1}} \right)\\
 \Rightarrow x = \frac{{ - \left( {{b_1}y + {c_1}} \right)}}{{{a_1}}}
\end{array}[/tex]

x এর মান এখন দ্বিতীয় সমীকরণে বসিয়ে পাই 

[tex]\begin{array}{l}
{a_2}\frac{{ - \left( {{b_1}y + {c_1}} \right)}}{{{a_1}}} + {b_2}y + {c_2} = 0\\
 \Rightarrow  - {a_2}{b_1}y - {a_2}{c_1} + {a_1}{b_2}y + {a_1}{c_2} = 0\\
 \Rightarrow y\left( {{a_1}{b_2} - {a_2}{b_1}} \right) = {a_2}{c_1} - {a_1}{c_2}\\
 \Rightarrow y = \frac{{{a_2}{c_1} - {a_1}{c_2}}}{{{a_1}{b_2} - {a_2}{b_1}}}
\end{array}[/tex]

এখন আগের পদ্ধতিতে x এর মান পাই 

[tex]\begin{array}{l}
x = \frac{{ - \left( {{b_2}\frac{{{a_1}{c_2} - {a_2}{c_1}}}{{{a_2}{b_1} - {a_1}{b_2}}} + {c_2}} \right)}}{{{a_2}}}\\
 = \frac{{ - {a_1}{b_2}{c_2} + {a_2}{b_2}{c_1} - {a_2}{b_1}{c_2} + {a_1}{b_2}{c_2}}}{{{a_2}\left( {{a_2}{b_1} - {a_1}{b_2}} \right)}}\\
 = \frac{{{a_2}{b_2}{c_1} - {a_2}{b_1}{c_2}}}{{{a_2}\left( {{a_2}{b_1} - {a_1}{b_2}} \right)}}\\
 = \frac{{{a_2}\left( {{b_2}{c_1} - {b_1}{c_2}} \right)}}{{{a_2}\left( {{a_2}{b_1} - {a_1}{b_2}} \right)}}\\
 = \frac{{{b_2}{c_1} - {b_1}{c_2}}}{{{a_2}{b_1} - {a_1}{b_2}}}
\end{array}[/tex]

অপনয়ন পদ্ধতি (Method of Elimination)

সমীকরণ দুটিকে এমন কোনো সংখ্যা দিয়ে গুণ করতে হবে যে পরিবর্তিত সমীকরণগুলিতে একটি অজ্ঞাত রাশির সহাগ গুলির সংখ্যা মান দুটি একই হয় । 

মনে করি [tex]{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0[/tex] এবং [tex]{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0[/tex] দুটি সমীকরণ । 

এখন প্রথম সমীকরণকে [tex]{a_2}[/tex] দিয়ে এবং দ্বিতীয় সমীকরণ কে [tex]{{a_1}}[/tex] দিয়ে গুণ করে প্রথমটি থেকে দ্বিতীয়টি বিয়োগ করে পাই 

[tex]\begin{array}{l}
{a_1}{a_2}x + {a_2}{b_1}y + {a_2}{c_1} = 0\\
 - {a_1}{a_2}x - {a_1}{b_2}y - {a_1}{c_2} = 0\\
 \Rightarrow y\left( {{a_2}{b_1} - {a_1}{b_2}} \right) + {a_2}{c_1} - {a_1}{c_2} = 0\\
 \Rightarrow y = \frac{{{a_1}{c_2} - {a_2}{c_1}}}{{{a_2}{b_1} - {a_1}{b_2}}}
\end{array}[/tex]

উপরের পদ্ধতিতে অনুরূপভাবে আমরা x এর মান নির্ণয় করতে পারব । 

বজ্রগুণন পদ্ধতি (Method of Cross-multiplication)

মনে করি [tex]{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0[/tex] এবং [tex]{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0[/tex] দুটি সমীকরণ । 

তবে বজ্রগুণনের সাহায্যে আমরা পাই 

[tex]\frac{x}{{{b_1}{c_2} - {b_2}{c_1}}} = \frac{y}{{{c_1}{a_2} - {c_2}{a_1}}} = \frac{1}{{{a_1}{b_2} - {a_2}{b_1}}}[/tex]

অতএব [tex]x = \frac{{{a_1}{b_2} - {a_2}{b_1}}}{{{b_1}{c_2} - {b_2}{c_1}}}[/tex] এবং [tex]y = \frac{{{a_1}{b_2} - {a_2}{b_1}}}{{{c_1}{a_2} - {c_2}{a_1}}}[/tex]

মনে রাখতে হবে [tex]{c_1}{a_2} - {c_2}{a_1} \ne 0[/tex]

*****