সূচকের নিয়মাবলি (Laws of Index)

সূচকের নিয়মাবলি (Laws of Index)

ভূমিকা (Introduction) : কোনো সংখ্যাকে সেই সংখ্যা দ্বারা একাধিকবার গুণ করার প্রক্রিয়াকে প্রকাশ করা হয় সংখ্যাটির মাথার ডানদিকে সংখ্যাটিকে যত সংখ্যক বার গুণ করা হয়েছে সেই সংখ্যাটি বসিয়ে । এই প্রক্রিয়াকে সূচকের নিয়ম বলে । 

যেমন $3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3$ এখানে 3 কে পাঁচবার গুণ করা হয়েছে । সুতরাং একে প্রকাশ করতে হলে ${3^5}$ আকারে লেখা হয় । আবার $a \times a \times a$ কে প্রকাশ করা হয় ${a^3}$ এর আকারে । কারণ এখানে a কে তিনবার গুণ করা হয়েছে । 

এখানে সংখ্যা রাশির ডানদিকের একটু উঁচুতে কোনাকুনি ভাবে অবস্থিত সংখ্যাটিকে প্রথম সংখ্যার সূচক বলে আর প্রথম সংখ্যাটিকে বলে নিধন (Base) ।

${x^m} \times {x^n} = {x^{m + n}}$ ( যেখানে x একটি বাস্তব সংখ্যা এবং m , n দুটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা ) কে সূচকের মৌলিক নিয়ম (Fundamental Laws of Indices) বলা হয় । 

সূচকের নিয়মাবলি (Laws of index)

যদি m ও n ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যা হয় এবং $a \ne 0,b \ne 0$ হয় তবে,

1. ${a^m} \cdot {a^n} = {a^{m + n}}$

2. ${a^m} \div {a^n} = \frac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = {a^{m - n}}$ ,$m > n$

3. ${\left( {{a^m}} \right)^n} = {a^{mn}}$

4. ${\left( {ab} \right)^m} = {a^m} \cdot {b^m}$

5. ${\left( {\frac{a}{b}} \right)^m} = \frac{{{a^m}}}{{{b^m}}}$

নিয়মাবলির প্রমাণ (Proof of the laws)

1. ${a^m} \cdot {a^n} = {a^{m + n}}$

 ${a^m} = a \times a \times a \times  \ldots  \times a,m$ সংখ্যক ${a^n} = a \times a \times a \times  \ldots  \times a,n$ সংখ্যক

${a^m} \cdot {a^n} = a \times a \times a \times  \ldots  \times a,m$ সংখ্যক $\cdot a \times a \times a \times  \ldots  \times a,n$ সংখ্যক

          $= a \times a \times a \times  \ldots  \times a,m + n$ সংখ্যক

          $= {a^{m + n}}$

2. ${a^m} \div {a^n} = \frac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = {a^{m - n}},m > n$

যেহেতু m ও n দুটি অখণ্ড সংখ্যা এবং $m > n,m - n$ অখণ্ড ধনাত্মক সংখ্যা ।

এখন ${a^n} \cdot {a^{m - n}} = {a^{n + m - n}} = {a^m}$ [1. থেকে প্রমানিত ]

${a^{m - n}} = \frac{{{a^m}}}{{{a^n}}}$  [ উভয় কে ${a^n}$ দিয়ে ভাগ দিয়ে পাই ]

3. ${\left( {{a^m}} \right)^n} = {a^{mn}}$

এখন ${\left( {{a^m}} \right)^n} = {a^m} \cdot {a^m} \cdot {a^m} \cdot  \ldots  \cdot {a^m},n$ সংখ্যক

                $\begin{array}{l}  = {a^{m + m + m +  \ldots m}}\\  = {a^{mn}} \end{array}$

4. ${\left( {ab} \right)^m} = {a^m} \cdot {b^m}$

${\left( {ab} \right)^m} = ab \cdot ab \cdot ab \cdot  \ldots  \cdot ab,m$ সংখ্যক

         $= a \times a \times a \times  \ldots  \times a,m$ সংখক$\cdot b \times b \times b \times  \ldots  \times b,m$ সংখ্যক

        $= {a^m} \cdot {b^m}$

5. ${\left( {\frac{a}{b}} \right)^m} = \frac{{{a^m}}}{{{b^m}}}$

 এখন

$\begin{array}{l} {\left( {\frac{a}{b}} \right)^m} \times {b^m} = {\left( {\frac{a}{b} \times b} \right)^m} = {a^m}\\ {\left( {\frac{a}{b}} \right)^m} = \frac{{{a^m}}}{{{b^m}}} \end{array}$ [ আগের প্রমান থেকে পাই ]

[উভয়কে ${b^m}$ দিয়ে ভাগ করে পাই]

m যখন ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যা নয় তখন ${a^m}$ এর অর্থ (Meaning of ${a^m}$ , when m is not a Positive Integer)

আমরা m ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যার জন্য আগের নিয়মাবলি প্রয়োগ করেছি । কিন্তু m যখন ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যা না হয়ে  m এর মান যদি শূন্য , ঋনাত্মক বা ভগ্নাংশ হয় তখন  সেক্ষেত্রে ${a^m}$ এর কোনো অর্থ হয় না ।

i) যখন m = 0

 $\begin{array}{l} m = 0\\ {a^m} = {a^0} \end{array}$

অর্থাৎ a কে শূন্যবার গুন করা বোঝায় যার কোনো অর্থ নেই ।

ii). যখন m < 0

$m < 0$

মনে করি $m =  - p$ যেখনে p হল ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যা ।

${a^m} = {a^{ - p}}$ ,a কে (-p) বার গুন করা বোঝায়।যা অর্থহীন । ভগ্ণাংশের ক্ষেত্রেও একই সমস্যা।তবুও সূচকের মূল সত্যটি সবক্ষেত্রে সত্য বলে ধরে নেওয়া হয় ।

m এর মান যখন শূন্য, ঋনাত্মক এবং ভগ্নাংশ তখন নিম্নলিখিত ভাবে ${a^m}$ কে প্রকাশ করা হয় ।

i). ${a^0},\left( {a \ne 0} \right)$ এর অর্থ

$\begin{array}{l} {a^0} \cdot {a^m} = {a^m}\\  \Rightarrow {a^0} = \frac{{{a^m}}}{{{a^m}}} = 1,\left[ {a \ne 0} \right] \end{array}$ [সূচকের যেকোনো মানে মূল সূত্র সত্য]

[ উভয়কে ${a^m}$ দিয়ে ভাগ করে পাই ]

ii). যখন $m < 0,\left( {a \ne 0} \right)$

মনে করি $m =  - p$ (p হল ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যা )

$\begin{array}{l} {a^{ - p}} \cdot {a^p} = {a^{ - p + p}} = {a^0} = 1\\ {a^{ - p}}.{a^p} = 1\\  \Rightarrow {a^{ - p}} = \frac{1}{{{a^p}}} \end{array}$ [ সূচকের যেকোনো মানে মূলসূত্র সত্য]

[ উভয়পক্ষকে ${a^p}$ দিয়ে ভাগ করে পাই $a \ne 0$ ]

অনুরূপে ${a^p} = \frac{1}{{{a^{ - p}}}},a \ne 0$ 

অতএব ${a^{ - p}}$ হয় ${a^p}$ এর অন্যোনক ।

iii) যখন m ভগ্নাংশ হয় ।

মনে করি $m = \frac{p}{q}$, যেখানে p ও q হল ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যা ।

$\begin{array}{l} {\left( {{a^{\frac{p}{q}}}} \right)^q} = {a^{\frac{p}{q} \cdot q}} = {a^p}\\ {\left( {{a^{\frac{p}{q}}}} \right)^q} = {a^p}\\  \Rightarrow {a^{\frac{p}{q}}} = \sqrt[q]{{{a^p}}} \end{array}$ [সূচকের যে কোনো মানে মূল সূত্রটি সত্য ]

${a^{\frac{p}{q}}}$ কে ${a^p}$ এর q তম মূল বলে ।

সূচক সংক্রান্ত সমীকরণ ও অভেদ [Equations and Identities Involving Indices]

1. যখন a, m, n বাস্তব সংখ্যা ${a^m} = {a^n}$ হলে $m = n$ যখন  $a \ne 0, \pm 1$

$\begin{array}{l} {a^m} = {a^n}\\  \Rightarrow \frac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = 1\\  \Rightarrow {a^{m - n}} = {a^0}\left[ {a \ne 0, \pm 1} \right]\\  \Rightarrow m - n = 0\\  \Rightarrow m = n \end{array}$

2.  a, b, m বাস্তব সংখ্যা এবং ${a^m} = {b^m}$ হলে a = b যখন $m \ne 0$

${a^m} = {b^m}$ এর উভয়দিকে ${b^m}$ দিয়ে ভাগ করে পাই ।

$\begin{array}{l} {a^m} = {b^m}\\  \Rightarrow \frac{{{a^m}}}{{{b^m}}} = 1\\  \Rightarrow {\left( {\frac{a}{b}} \right)^m} = 1\\  \Rightarrow \frac{a}{b} = 1\left[ {m \ne 0} \right]\\  \Rightarrow a = b \end{array}$

*****