লগারিদম (Logarithm)

Submitted by arpita pramanik on Wed, 02/16/2011 - 00:54

লগারিদম (Logarithm)

সংজ্ঞা (Definition) : কোনো ধনাত্মক রাশি যদি অপর একটি ধনাত্মক রাশির ঘাতের সমান হয়, তবে ওই ধনাত্মক ঘাতের সূচককে (Index of Power) বলে প্রথম সারিটির লগারিদম (Logarithm) ।

যদি ax=b ( a এবং b যেকোনো রাশি এবং a1 ) হয়, তবে x কে a নিধনের সাপেক্ষে b এর লগারিদম বলে । এক্ষেত্রে logab=x লেখা হয় । 

বিপরীতক্রমে যদি logab=x হয় তবে  ax=b হবে । 

মনে রাখতে হবে logab সংজ্ঞাত হবে যখন x > 0 , a > 0, a1

 

লগারিদমের প্রকারভেদ (Type of Logarithm)

লগারিদম সাধারণত দই প্রকারের হয় । 

  1. সাধারণ লগারিদম (Common logarithm) বা ব্রিগসিয়ান লগারিদম (Briggsion Logarithm)
  2. স্বাভাবিক লগারিদম (Natural Logarithm) বা ন্যাপিয়ার লগারিদম (Naperian Logarithm)

সাধারণ লগারিদম (Common logarithm) বা ব্রিগসিয়ান লগারিদম ( Briggsion Logarithm )

এই লগারিদমের নিধন 10 । সাধারণত কোনো নিধন না থাকলে নিধনকে 10 ধরে নেওয়া হয় । সাধারণ লগারিদমের এই ধারণাটি প্রথম চালু করেছিলেন হেনরি ব্রিগস ( Henry Briggs ) । তাই তাঁর নাম অনুসারে কখনো কখনো এই লগারিদমকে ব্রিগসিয়ান লগারিদম (Briggsion Logarithm) বলা হয় । 

স্বাভাবিক লগারিদম ( Natural Logarithm ) বা ন্যাপিয়ার লগারিদম ( Naperian Logarithm )

এই লগারিদমে অমেয় রাশি ( Incommensurable ) e কে নিধন হিসাবে ব্যবহার করে বিভিন্ন ধনাত্মক বাস্তব রাশিকে নির্ণয় করা হয় । সাধারণ লগারিদমের এই ধারণাটি প্রথম পাওয়া যায় ইংরাজি গণিতজ্ঞ জন ন্যাপিয়ার এর লেখা বইতে । তাই তাঁর নাম অনুসারে এই লগারিদমকে ন্যাপিয়ার লগারিদম ( Naperian Logarithm ) বলা হয় । তবে কোনো বিশেষ ক্ষেত্রে সমুদয় লগের একই নিধন থাকলে সেক্ষেত্রেও নিধনকে উহ্য রাখা হয় । যেমন logex কে logx বা lnx লেখা হয় । কলনবিদ্যায় ( calculus ) এই লগারিদম ব্যবহৃত হয় । যেখানে e এর মান হচ্ছে 2.71828 অর্থাৎ e হল 2 ও 3 এর মধ্যবর্তী একটি তুরীয় অমূলদ সংখ্যা । 

 

লগারিদমের সূত্র ( Law of Logarithm )

  1. loga(m×n)=logam+logan , [ m , n বাস্তব > 0 , 0 < a(1)]
  2. loga(mn)=logamlogan , [ m , n বাস্তব > 0, 0 < a(1)]
  3. logamn=nlogam , [ m বাস্তব > 0, 0 < a(1)]
  4. নিধন পরিবর্তন সূত্র logam=logab×logbm , [m > 0 , 0 < a (1) , 0 < b (1) ]

 

লগারিদমের সূত্রের প্রমাণ ( Proof of Logarithm Laws)

1. loga(m×n)=logam+logan , [ m , n বাস্তব > 0 , 0 < a(1)]

প্রমাণ : মনে করি logam=x এবং logan=y

অতএব ax=m , ay=n

এখন 

mn=axay=ax+ylogamn=x+y=logam+logan

 

2. loga(mn)=logamlogan , [ m , n বাস্তব > 0, 0 < a(1)]

প্রমাণ : মনে করি logam=x এবং logan=y

অতএব ax=m , ay=n

এখন 

mn=axay=axyloga(mn)=xy=logamlogan

 

3. logamn=nlogam , [ m বাস্তব > 0, 0 < a(1)]

প্রমাণ :  মনে করি logamn=x এবং logam=y

অতএব ax=mn এবং ay=m

এখন ax=mn=(ay)n=any

অতএব x=nylogamn=nlogam

 

4. নিধন পরিবর্তন সূত্র logam=logab×logbm , [m > 0 , 0 < a (1) , 0 < b (1) ]

মনে করি logab=x এবং logbm=y

অতএব ax=b এবং by=m

এখন 

by=m(ax)y=maxy=mlogam=xy=logablogbm

 

সংক্ষিপ্তকরণ(Summarisation)

m,n,a,b>0,a1,b1,p যেকোনো বাস্তব রাশি হলে,

1.    loga1=0

2.   logaa=1

3.   alogam=m

4.   loga(mn)=logam+logan

5.   loga(mn)=logamlogan

6.   logamp=plogam

7.   logam=logbm×logab

8.   logab×logba=1

9.   logba=1logab

10.   logbm=logamlogab

*****

Comments

Related Items

রৈখিক সহ সমীকরণ

রৈখিক সহ সমীকরণ (Linear Simultaneous Equations)

সূচনা (Introduction)

ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত অংকের সমাধান

ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত অংকের সমাধান ( Prove and Solution of Transversal and Mid-Point Theorem Related Problems)

লেখচিত্রের সাহায্যে যেকোনো দুটি বিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্ব নির্ণয়

মনে করি P ও Q দুটি বিন্দু উহাদের স্থানাঙ্ক হল যথাক্রমে [EQUATION-1] এবং [EQUATION-2] . P ও Q যোগ করা হল এখন আমাদের PQ এর দূরত্ব বা দৈর্ঘ্য নির্ণয় করতে হবে।

লেখচিত্রের সাহায্যে মূলবিন্দু থেকে যেকোনো বিন্দুর দূরত্ব নির্ণয়

মনে করি XOX' ও YOY' সরলরেখাদ্বয় লম্বভাবে পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করেছে। XOX' ও YOY' এইদুটি স্থানাঙ্ক রেখা বা Co-Ordinate axes এবং O হল মূলবিন্দু ( Origin ) ।

লেখচিত্রের সাহায্যে রৈখিক সহসমীকরণ সমাধান

মনে করি 3x + 4y = 25 এবং 4x - 3y = 0 দুটি সমীকরণ এদেরকে আমাদের সমাধান করতে হবে। দেখা যাচ্ছে দুটি সরলরেখার একটি সাধারণ বিন্দু হল (3,4) . অর্থাৎ দুটি সরলরেখা পরস্পরকে (3,4) বিন্দুতে ছেদ করেছে।