লগারিদম (Logarithm)
সংজ্ঞা (Definition) : কোনো ধনাত্মক রাশি যদি অপর একটি ধনাত্মক রাশির ঘাতের সমান হয়, তবে ওই ধনাত্মক ঘাতের সূচককে (Index of Power) বলে প্রথম সারিটির লগারিদম (Logarithm) ।
যদি ax=b ( a এবং b যেকোনো রাশি এবং a≠1 ) হয়, তবে x কে a নিধনের সাপেক্ষে b এর লগারিদম বলে । এক্ষেত্রে logab=x লেখা হয় ।
বিপরীতক্রমে যদি logab=x হয় তবে ax=b হবে ।
মনে রাখতে হবে logab সংজ্ঞাত হবে যখন x > 0 , a > 0, a≠1
লগারিদমের প্রকারভেদ (Type of Logarithm)
লগারিদম সাধারণত দই প্রকারের হয় ।
- সাধারণ লগারিদম (Common logarithm) বা ব্রিগসিয়ান লগারিদম (Briggsion Logarithm)
- স্বাভাবিক লগারিদম (Natural Logarithm) বা ন্যাপিয়ার লগারিদম (Naperian Logarithm)
সাধারণ লগারিদম (Common logarithm) বা ব্রিগসিয়ান লগারিদম ( Briggsion Logarithm )
এই লগারিদমের নিধন 10 । সাধারণত কোনো নিধন না থাকলে নিধনকে 10 ধরে নেওয়া হয় । সাধারণ লগারিদমের এই ধারণাটি প্রথম চালু করেছিলেন হেনরি ব্রিগস ( Henry Briggs ) । তাই তাঁর নাম অনুসারে কখনো কখনো এই লগারিদমকে ব্রিগসিয়ান লগারিদম (Briggsion Logarithm) বলা হয় ।
স্বাভাবিক লগারিদম ( Natural Logarithm ) বা ন্যাপিয়ার লগারিদম ( Naperian Logarithm )
এই লগারিদমে অমেয় রাশি ( Incommensurable ) e কে নিধন হিসাবে ব্যবহার করে বিভিন্ন ধনাত্মক বাস্তব রাশিকে নির্ণয় করা হয় । সাধারণ লগারিদমের এই ধারণাটি প্রথম পাওয়া যায় ইংরাজি গণিতজ্ঞ জন ন্যাপিয়ার এর লেখা বইতে । তাই তাঁর নাম অনুসারে এই লগারিদমকে ন্যাপিয়ার লগারিদম ( Naperian Logarithm ) বলা হয় । তবে কোনো বিশেষ ক্ষেত্রে সমুদয় লগের একই নিধন থাকলে সেক্ষেত্রেও নিধনকে উহ্য রাখা হয় । যেমন logex কে logx বা lnx লেখা হয় । কলনবিদ্যায় ( calculus ) এই লগারিদম ব্যবহৃত হয় । যেখানে e এর মান হচ্ছে 2.71828 অর্থাৎ e হল 2 ও 3 এর মধ্যবর্তী একটি তুরীয় অমূলদ সংখ্যা ।
লগারিদমের সূত্র ( Law of Logarithm )
- loga(m×n)=logam+logan , [ m , n বাস্তব > 0 , 0 < a(≠1)]
- loga(mn)=logam−logan , [ m , n বাস্তব > 0, 0 < a(≠1)]
- logamn=nlogam , [ m বাস্তব > 0, 0 < a(≠1)]
- নিধন পরিবর্তন সূত্র logam=logab×logbm , [m > 0 , 0 < a (≠1) , 0 < b (≠1) ]
লগারিদমের সূত্রের প্রমাণ ( Proof of Logarithm Laws)
1. loga(m×n)=logam+logan , [ m , n বাস্তব > 0 , 0 < a(≠1)]
প্রমাণ : মনে করি logam=x এবং logan=y
অতএব ax=m , ay=n
এখন
mn=ax⋅ay=ax+y⇒logamn=x+y=logam+logan
2. loga(mn)=logam−logan , [ m , n বাস্তব > 0, 0 < a(≠1)]
প্রমাণ : মনে করি logam=x এবং logan=y
অতএব ax=m , ay=n
এখন
mn=axay=ax−y⇒loga(mn)=x−y=logam−logan
3. logamn=nlogam , [ m বাস্তব > 0, 0 < a(≠1)]
প্রমাণ : মনে করি logamn=x এবং logam=y
অতএব ax=mn এবং ay=m
এখন ax=mn=(ay)n=any
অতএব x=ny⇒logamn=nlogam
4. নিধন পরিবর্তন সূত্র logam=logab×logbm , [m > 0 , 0 < a (≠1) , 0 < b (≠1) ]
মনে করি logab=x এবং logbm=y
অতএব ax=b এবং by=m
এখন
by=m⇒(ax)y=m⇒axy=m⇒logam=xy=logab⋅logbm
সংক্ষিপ্তকরণ(Summarisation)
m,n,a,b>0,a≠1,b≠1,p যেকোনো বাস্তব রাশি হলে,
1. loga1=0
2. logaa=1
3. alogam=m
4. loga(mn)=logam+logan
5. loga(mn)=logam−logan
6. logamp=plogam
7. logam=logbm×logab
8. logab×logba=1
9. logba=1logab
10. logbm=logamlogab
*****