লগারিদম (Logarithm)

লগারিদম (Logarithm)

সংজ্ঞা (Definition) : কোনো ধনাত্মক রাশি যদি অপর একটি ধনাত্মক রাশির ঘাতের সমান হয়, তবে ওই ধনাত্মক ঘাতের সূচককে (Index of Power) বলে প্রথম সারিটির লগারিদম (Logarithm) ।

যদি ${a^x} = b$ ( a এবং b যেকোনো রাশি এবং $a \ne 1$ ) হয়, তবে x কে a নিধনের সাপেক্ষে b এর লগারিদম বলে । এক্ষেত্রে ${\log _a}b = x$ লেখা হয় । 

বিপরীতক্রমে যদি ${\log _a}b = x$ হয় তবে  ${a^x} = b$ হবে । 

মনে রাখতে হবে ${\log _a}b$ সংজ্ঞাত হবে যখন x > 0 , a > 0, $a \ne 1$

লগারিদমের প্রকারভেদ (Type of Logarithm)

লগারিদম সাধারণত দই প্রকারের হয় । 

1. সাধারণ লগারিদম (Common logarithm) বা ব্রিগসিয়ান লগারিদম (Briggsion Logarithm)
2. স্বাভাবিক লগারিদম (Natural Logarithm) বা ন্যাপিয়ার লগারিদম (Naperian Logarithm)

সাধারণ লগারিদম (Common logarithm) বা ব্রিগসিয়ান লগারিদম ( Briggsion Logarithm )

এই লগারিদমের নিধন 10 । সাধারণত কোনো নিধন না থাকলে নিধনকে 10 ধরে নেওয়া হয় । সাধারণ লগারিদমের এই ধারণাটি প্রথম চালু করেছিলেন হেনরি ব্রিগস ( Henry Briggs ) । তাই তাঁর নাম অনুসারে কখনো কখনো এই লগারিদমকে ব্রিগসিয়ান লগারিদম (Briggsion Logarithm) বলা হয় । 

স্বাভাবিক লগারিদম ( Natural Logarithm ) বা ন্যাপিয়ার লগারিদম ( Naperian Logarithm )

এই লগারিদমে অমেয় রাশি ( Incommensurable ) e কে নিধন হিসাবে ব্যবহার করে বিভিন্ন ধনাত্মক বাস্তব রাশিকে নির্ণয় করা হয় । সাধারণ লগারিদমের এই ধারণাটি প্রথম পাওয়া যায় ইংরাজি গণিতজ্ঞ জন ন্যাপিয়ার এর লেখা বইতে । তাই তাঁর নাম অনুসারে এই লগারিদমকে ন্যাপিয়ার লগারিদম ( Naperian Logarithm ) বলা হয় । তবে কোনো বিশেষ ক্ষেত্রে সমুদয় লগের একই নিধন থাকলে সেক্ষেত্রেও নিধনকে উহ্য রাখা হয় । যেমন ${\log _e}x$ কে $\log x$ বা $\ln x$ লেখা হয় । কলনবিদ্যায় ( calculus ) এই লগারিদম ব্যবহৃত হয় । যেখানে e এর মান হচ্ছে 2.71828 অর্থাৎ e হল 2 ও 3 এর মধ্যবর্তী একটি তুরীয় অমূলদ সংখ্যা । 

লগারিদমের সূত্র ( Law of Logarithm )

1. ${\log _a}\left( {m \times n} \right) = {\log _a}m + {\log _a}n$ , [ m , n বাস্তব > 0 , 0 < a($\ne 1$)]
2. ${\log _a}\left( {\frac{m}{n}} \right) = {\log _a}m - {\log _a}n$ , [ m , n বাস্তব > 0, 0 < a($\ne 1$)]
3. ${\log _a}{m^n} = n{\log _a}m$ , [ m বাস্তব > 0, 0 < a($\ne 1$)]
4. নিধন পরিবর্তন সূত্র ${\log _a}m = {\log _a}b \times {\log _b}m$ , [m > 0 , 0 < a ($\ne 1$) , 0 < b ($\ne 1$) ]

লগারিদমের সূত্রের প্রমাণ ( Proof of Logarithm Laws)

1. ${\log _a}\left( {m \times n} \right) = {\log _a}m + {\log _a}n$ , [ m , n বাস্তব > 0 , 0 < a($\ne 1$)]

প্রমাণ : মনে করি ${\log _a}m = x$ এবং ${\log _a}n = y$

অতএব ${a^x} = m$ , ${a^y} = n$

এখন 

$\begin{array}{l} mn = {a^x} \cdot {a^y} = {a^{x + y}}\\  \Rightarrow {\log _a}mn = x + y = {\log _a}m + {\log _a}n \end{array}$

2. ${\log _a}\left( {\frac{m}{n}} \right) = {\log _a}m - {\log _a}n$ , [ m , n বাস্তব > 0, 0 < a($\ne 1$)]

প্রমাণ : মনে করি ${\log _a}m = x$ এবং ${\log _a}n = y$

অতএব ${a^x} = m$ , ${a^y} = n$

এখন 

$\begin{array}{l} \frac{m}{n} = \frac{{{a^x}}}{{{a^y}}} = {a^{x - y}}\\  \Rightarrow {\log _a}\left( {\frac{m}{n}} \right) = x - y = {\log _a}m - {\log _a}n \end{array}$

3. ${\log _a}{m^n} = n{\log _a}m$ , [ m বাস্তব > 0, 0 < a($\ne 1$)]

প্রমাণ :  মনে করি ${\log _a}{m^n} = x$ এবং ${\log _a}m = y$

অতএব ${a^x} = {m^n}$ এবং ${a^y} = m$

এখন ${a^x} = {m^n} = {\left( {{a^y}} \right)^n} = {a^{ny}}$

অতএব $x = ny \Rightarrow {\log _a}{m^n} = n{\log _a}m$

4. নিধন পরিবর্তন সূত্র ${\log _a}m = {\log _a}b \times {\log _b}m$ , [m > 0 , 0 < a ($\ne 1$) , 0 < b ($\ne 1$) ]

মনে করি ${\log _a}b = x$ এবং ${\log _b}m = y$

অতএব ${a^x} = b$ এবং ${b^y} = m$

এখন 

$\begin{array}{l} {b^y} = m\\  \Rightarrow {\left( {{a^x}} \right)^y} = m\\  \Rightarrow {a^{xy}} = m\\  \Rightarrow {\log _a}m = xy = {\log _a}b \cdot {\log _b}m \end{array}$

সংক্ষিপ্তকরণ(Summarisation)

$m,n,a,b > 0,a \ne 1,b \ne 1,p$ যেকোনো বাস্তব রাশি হলে,

1.    ${\log _a}1 = 0$

2.   ${\log _a}a = 1$

3.   ${a^{{{\log }_a}m}} = m$

4.   ${\log _a}\left( {mn} \right) = {\log _a}m + {\log _a}n$

5.   ${\log _a}\left( {\frac{m}{n}} \right) = {\log _a}m - {\log _a}n$

6.   ${\log _a}{m^p} = p{\log _a}m$

7.   ${\log _a}m = {\log _b}m \times {\log _a}b$

8.   ${\log _a}b \times {\log _b}a = 1$

9.   ${\log _b}a = \frac{1}{{{{\log }_a}b}}$

10.   ${\log _b}m = \frac{{{{\log }_a}m}}{{{{\log }_a}b}}$

*****