স্থানাঙ্ক জ্যামিতি : দূরত্ব নির্ণয়

স্থানাঙ্ক জ্যামিতি : দূরত্ব নির্ণয় (Co-ordinate Geometry : Distance formula)

সূচনা (Introduction)

আমরা graph কাগজে যেমন বিভিন্ন বিন্দুকে স্থাপন করতে পারি তেমনি ওই বিন্দু গুলির সাহায্যে বিভিন্ন জ্যামিতিক চিত্র , সরলরেখা অঙ্কন করা যায় । দেখা যাচ্ছে বিন্দু গুলির স্থানাঙ্ক জানা থাকলে সেগুলি যোগ করে বিভিন্ন সমতলিক জ্যামিতিক চিত্র পাওয়া যায় । আবার বিভিন্ন বীজগাণিতিক দুই চল বিশিষ্ট রৈখিক সমীকরণের জ্যামিতিক আকার সম্মন্ধে ঠিক মতো ধারণা করা যায় । 

এইভাবে বীজগণিতের সাহায্যে বিভিন্ন জ্যামিতিক আকারের ধারণা গড়ে ওঠাকে স্থানাঙ্ক জ্যামিতি (Co-ordinate Geometry) বলা হয় । 

অর্থাৎ স্থানাঙ্ক জ্যামিতিতে বীজগণিতের সাহায্যে জ্যামিতির ধারণা করতে পারি 

তাই স্থানাঙ্ক জ্যামিতি ব্যাপকতরভাবে বিজ্ঞানের বিভিন্ন শাখায় ব্যবহার করা হয় । 

মূলবিন্দু (0,0) থেকে অক্ষরেখার উপরে অবস্থিত যেকোনো বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় 

এখানে দুটি লম্ব অক্ষ হল XOX' ও YOY' এবং O(0,0) হল মূলবিন্দু  .

এখানে A(5,0) ও B(0,8) দুটি বিন্দু । আমরা পরিষ্কারভাবে বলতে পারি A ও B বিন্দু দুটি মূলবিন্দু থেকে যথাক্রমে 5 একক ও 8 একক দূরত্বে অবস্থিত । সুতরাং x অক্ষের উপরে অবস্থিত যেকোনো বিন্দুর স্থানাঙ্ক তার ভুজের ধনাত্মক মান । অনুরূপে y অক্ষের উপরে অবস্থিত যেকোনো বিন্দুর স্থানাঙ্ক হবে কোটির ধনাত্মক মান । 

লম্ব অক্ষের উপর অবস্থিত যেকোনো দুটি বিন্দুর দূরত্ব নির্ণয় 

মনে করি A(x,0) ও B(0,y) দুটি বিন্দু যথাক্রমে x অক্ষ ও y অক্ষের উপরে অবস্থিত । 

মূলবিন্দু থেকে A বিন্দুর দূরত্ব হল x একক অর্থাৎ OA = x একক 

অনুরূপে মূলবিন্দু থেকে B বিন্দুর দূরত্ব হল y একক অর্থাৎ OB = y একক 

এখন পিথাগোরাসের উপপাদ্য ব্যবহার করে পাই 

$\begin{array}{l} {\left( {AB} \right)^2} = {\left( {OA} \right)^2} + {\left( {OB} \right)^2}\\  \Rightarrow AB = \sqrt {{{\left( {OA} \right)}^2} + {{\left( {OB} \right)}^2}}  = \sqrt {{x^2} + {y^2}}  \end{array}$

উদাহরণ : রোহিত x অক্ষের উপরে একটি বিন্দু M(6,0) এবং y অক্ষের উপরে একটি বিন্দু N(0,8) নিয়েছে । এখন MN এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করে দেখি । 

M বিন্দুর স্থানাঙ্ক (6,0) এবং N বিন্দুর স্থানাঙ্ক (0,8)

অতএব OM = 6 একক এবং ON = 8 একক 

অতএব 

$\begin{array}{l} MN\\  = \sqrt {{6^2} + {8^2}} \\  = \sqrt {36 + 64} \\  = \sqrt {100} \\  = 10 \end{array}$

অতএব MN = 10 একক । 

মূলবিন্দু থেকে যেকোনো বিন্দুর দূরত্ব নির্ণয় 

মনে করি P(x,y) যেকোনো বিন্দু। মূলবিন্দু O(0,0) থেকে এর দূরত্ব নির্ণয় করতে হবে । 

P(x,y) বিন্দু থেকে x অক্ষের উপর PM লম্ব টানা হল। অতএব M এর স্থানাঙ্ক হবে (x,0) .

এখন OM = x একক এবং PM = y একক । 

পিথাগোরাসের উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই 

$\begin{array}{l} O{P^2} = O{M^2} + P{M^2}\\  \Rightarrow OP = \sqrt {O{M^2} + P{M^2}}  = \sqrt {{x^2} + {y^2}}  \end{array}$

মূলবিন্দু থেকে  P(x,y) বিন্দুর দূরত্ব হল $\sqrt {{x^2} + {y^2}}$ একক । 

উদাহরণ : মূলবিন্দু থেকে (3,4) বিন্দুর দূরত্ব নির্ণয় করো 

মূলবিন্দু থেকে (3,4) বিন্দুর দূরত্ব 

$= \sqrt {{3^2} + {4^2}}$ একক 

$= \sqrt {9 + 16}$ একক 

$= \sqrt {25}$ একক 

= 5 একক 

যেকোনো দুটি বিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্ব নির্ণয় 

মনে করি A ও B দুটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক হল যথাক্রমে $\left( {{x_1},{y_1}} \right)$ এবং $\left( {{x_2},{y_2}} \right)$ .

আমাদের A ও B বিন্দু দুটির মধ্যবর্তী দূরত্ব নির্ণয় করতে হবে । 

A ও B বিন্দু থেকে x অক্ষের উপরে দুটি লম্ব যথাক্রমে AM ও BN অঙ্কন করা হল ।

A বিন্দু থেকে BN এর উপর AP লম্ব অঙ্কন করলাম । 

 A ও B দুটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক হল যথাক্রমে $\left( {{x_1},{y_1}} \right)$ এবং $\left( {{x_2},{y_2}} \right)$ .

অতএব $OM = {x_1}$ এবং $ON = {x_2}$

$AM = {y_1}$ এবং $BN = {y_2}$

AP = MN = ON - OM = ${x_2} - {x_1}$

এবং BP = BN - PN = BN - AM = ${y_2} - {y_1}$

অতএব সমকোণী ত্রিভুজ ABP তে পিথাগোরাগের উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই 

$\begin{array}{l} AB\\  = \sqrt {A{P^2} + B{P^2}} \\  = \sqrt {{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2} + {{\left( {{y_2} - {y_1}} \right)}^2}}  \end{array}$

অতএব $A\left( {{x_1},{y_1}} \right)$ ও $B\left( {{x_2},{y_2}} \right)$ বিন্দুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব হল 

$\sqrt {{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2} + {{\left( {{y_2} - {y_1}} \right)}^2}}$ একক .

উদাহরণ : (2,4) ও (5,7) বিন্দুর দূরত্ব নির্ণয় করো 

এখানে ${x_1} = 2$ , ${y_1} = 4$ , ${x_2} = 5$ এবং ${y_2} = 7$

অতএব নির্ণেয় দূরত্ব 

$= \sqrt {{{\left( {5 - 2} \right)}^2} + {{\left( {7 - 4} \right)}^2}}$ একক 

$= \sqrt {{3^2} + {3^2}}$ একক 

$= \sqrt {9 + 9}$ একক 

$= \sqrt {18}$ একক 

$= 9\sqrt 2$ একক 

*****