সামন্তরিকের চতুর্থ উপপাদ্য (Parallelogram Theorem)
কোনো চতুর্ভুজের বিপরীত কোণগুলি সমান হলে , চতুর্ভুজটি একটি সামন্তরিক হবে ।
প্রমাণ:
মনে করি ABCD চতুর্ভুজের [tex]\angle ABC = \angle ADC[/tex] এবং [tex]\angle BCD = \angle DAB[/tex]
আমাদের প্রমাণ করতে হবে ABCD চতুর্ভুজটি একটি সামন্তরিক হবে।
প্রমাণ : যেহেতু চতুর্ভুজের চারটি কোণের যোগফল [tex]{360^ \circ }[/tex]
অতএব ABCD চতুর্ভুজের
[tex]\begin{array}{l}
\angle ABC + \angle BCD + \angle CDA + \angle DAB = {360^ \circ }\\
\Rightarrow \angle ABC + \angle BCD + \angle ABC + \angle BCD = {360^ \circ }
\end{array}[/tex]
( যেহেতু [tex]\angle ABC = \angle ADC[/tex] এবং [tex]\angle BCD = \angle DAB[/tex] )
অতএব
[tex]\begin{array}{l}
2\angle ABC + 2\angle BCD = {360^ \circ }\\
\Rightarrow 2\left( {\angle ABC + \angle BCD} \right) = {360^ \circ }\\
\Rightarrow \angle ABC + \angle BCD = {180^ \circ }
\end{array}[/tex]
অতএব AB ।। DC ( যেহেতু BC ছেদকের একই পাশে অন্তঃস্থ কোণের যোগফল [tex]{180^ \circ }[/tex] )
আবার যেহেতু [tex]\angle ABC + \angle BCD = {180^ \circ }[/tex]
[tex]\angle ADC + \angle BCD = {180^ \circ }[/tex] ( যেহেতু [tex]\angle ABC = \angle ADC[/tex] )
এখানেও CD ছেদকের একই পাশে অন্তঃস্থ কোণের যোগফল [tex]{180^ \circ }[/tex]
অতএব AD ।। BC
অতএব ABCD একটি সামন্তরিক।
প্রয়োগ : কোনো সামন্তরিকের চারটি কোণের সমদ্বিখণ্ডকগুলি পরস্পর মিলিত হয়ে একটি আয়তক্ষেত্র গঠন করবে।
মনে করি ABCD একটি সামন্তরিকের [tex]\angle A,\angle B,\angle C[/tex] এবং [tex]\angle D[/tex] কোণের সমদ্বিখণ্ডক গুলি যথাক্রমে AP , BR , CR ও DP পরস্পর মিলিত হয়ে PQRS চতুর্ভুজ গঠন করেছে।
আমাদের প্রমাণ করতে হবে PQRS চতুর্ভুজটি হল একটি আয়তক্ষেত্র
প্রমাণ : ABCD সামন্তরিকের AB ।। DC এবং AD হল ভেদক
অতএব
[tex]\begin{array}{l}
\angle BAD + \angle ADC = {180^ \circ }\\
\Rightarrow \frac{1}{2}\angle BAD + \frac{1}{2}\angle ADC = \frac{1}{2} \times {180^ \circ }\\
\Rightarrow \angle PAD + \angle PDA = {90^ \circ }
\end{array}[/tex]
সুতরাং ত্রিভুজ APD এর [tex]\angle PAD + \angle PDA = {90^ \circ }[/tex]
অতএব [tex]\angle APD = {180^ \circ } - {90^ \circ } = {90^ \circ }[/tex]
অনুরূপে প্রমাণ করা যায় [tex]\angle BRC = {90^ \circ },\angle ASB = {90^ \circ } = \angle RSP[/tex] এবং [tex]\angle CQD = {90^ \circ } = \angle RQP[/tex]
অতএব PQRS চতুর্ভুজের [tex]\angle PSR = \angle PQR = {90^ \circ }[/tex] এবং [tex]\angle SRQ = \angle SPQ = {90^ \circ }[/tex]
যেহেতু PQRS চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলি সমান , সুতরাং PQRS চতুর্ভুজটি হল একটি সামন্তরিক ।
আবার PQRS সামন্তরিকের প্রত্যেকটি কোণের মান [tex]{90^ \circ }[/tex] , সুতরাং PQRS সামন্তরিকটি হল একটি আয়তক্ষেত্র ।
*****
