সামন্তরিকের পঞ্চম উপপাদ্য

Submitted by arpita pramanik on Thu, 08/27/2020 - 21:49

সামন্তরিকের পঞ্চম উপপাদ্য (Parallelogram Theorem)

সামন্তরিকের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে। 

 

প্রমাণ:

পড়ল মনে করি ABCD একটি সামন্তরিক। এখানে AB ।। DC এবং AD ।। BC . AC এবং BD কর্ণদ্বয় পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করেছে। 

আমাদের প্রমাণ করতে হবে AO = CO এবং BO = DO 

প্রমাণ : ত্রিভুজ AOB এবং ত্রিভুজ COD এর 

AB = DC 

[tex]\angle ABO = \angle CDO[/tex] যেহেতু এরা একান্তর কোণ 

[tex]\angle BAO = \angle DCO[/tex] যেহেতু এরা একান্তর কোণ 

অতএব ত্রিভুজ AOB [tex] \cong [/tex] ত্রিভুজ COD

অতএব AO = CO ( সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু )

এবং BO = OD ( সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু )

অর্থাৎ O হল AC এবং BD কর্ণদ্বয়ের মধ্যবিন্দু। 

 

প্রয়োগ : রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখন্ডিত করে। 

রম্বস মনে করি ABCD একটি রম্বস এর AC এবং BD কর্ণদ্বয় পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করেছে। 

আমাদের প্রমাণ করতে হবে AO = CO , BO = DO এবং [tex]\angle AOB = {90^ \circ }[/tex]

প্রমাণ : যেহেতু রম্বস একটি সামন্তরিক সুতরাং তার কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখন্ডিত করবে। 

অর্থাৎ  AO = CO এবং  BO = DO হবে। 

ত্রিভুজ AOB এবং ত্রিভুজ BOC এর 

AB = BC 

OB সাধারণ বাহু 

AO = CO

অতএব ত্রিভুজ AOB [tex] \cong [/tex]  ত্রিভুজ BOC

অতএব  [tex]\angle AOB = \angle BOC[/tex]

এখন 

[tex]\begin{array}{l}
\angle AOB + \angle BOC = {180^ \circ }\\
 \Rightarrow 2\angle AOB = {180^ \circ }\\
 \Rightarrow \angle AOB = {90^ \circ }
\end{array}[/tex]

অতএব রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখন্ডিত করে। 

 

ABCD সামন্তরিকের [tex]\angle BAD[/tex] ও [tex]\angle BCD[/tex] কোণের সমদ্বিখণ্ডক দুটি DC এবং AB বাহুকে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করতে হবে যে PAQC একটি সামন্তরিক। 

পৰ ABCD সামন্তরিকের  [tex]\angle BAD[/tex] ও [tex]\angle BCD[/tex] কোণের সমদ্বিখণ্ডক দুটি DC এবং AB বাহুকে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করেছে।

প্রমাণ করতে হবে  PAQC একটি সামন্তরিক। 

প্রমাণ : ABCD সামান্তরিকের DC ।। AB এবং AP হল ছেদক। 

সুতরাং [tex]\angle DPA = [/tex]একান্তর [tex]\angle PAQ[/tex]

আবার [tex]\angle PAQ = \frac{1}{2}\angle DAB[/tex]

[tex] \Rightarrow \angle PAQ = \frac{1}{2}\angle DCB[/tex] ( যেহেতু [tex]\angle DAB = \angle DCB[/tex] )

[tex] \Rightarrow \angle PAQ = \angle PCQ[/tex] ( যেহেতু [tex]\frac{1}{2}\angle DCB = \angle PCQ[/tex] )

[tex] \Rightarrow \angle DPA = \angle PCQ[/tex] 

কিন্তু [tex]\angle DPA[/tex] ও [tex]\angle PCQ[/tex] হল অনুরূপ কোন এবং DC হল ছেদক। 

অতএব PA ।। CQ 

আবার AQ ।। PC ( যেহেতু সামান্তরিকের বিপরীত বাহু AB ।। DC )

APCQ চতুর্ভুজের PA ।। CQ ও AQ ।। PC .

সুতরাং APCQ একটি সামন্তরিক। 

 

প্রমাণ করতে হবে যে দুটি সমান্তরাল সরলরেখা ও তাদের একটি ছেদকের অন্তর্ভুক্ত অন্তঃকোণ গুলির সমদ্বিখন্ডকগুলি একটি আয়তকার চিত্র উৎপন্ন করে। 

রেসি মনে করি AB ও CD দুটি সমান্তরাল সরলরেখাকে PQ ছেদক যথাক্রমে E ও F বিন্দুতে ছেদ করেছে। EG ও EH যথাক্রমে [tex]\angle BEF[/tex] ও [tex]\angle AEF[/tex] কোণ দুটিকে এবং FG ও FH যথাক্রমে [tex]\angle DFE[/tex] ও [tex]\angle CFE[/tex] কোণ দুটিকে সমদ্বিখন্ডিত করেছে। 

প্রমাণ করতে হবে EHFG একটি আয়তক্ষেত্র। 

প্রমাণ : [tex]\angle AEF = [/tex] একান্তর [tex]\angle EFD[/tex] ( যেহেতু AB ।। CD এবং EF ছেদক )

সুতরাং , [tex]\frac{1}{2}\angle AEF = \frac{1}{2}\angle EFD[/tex]

অতএব [tex]\angle HEF = \angle EFG[/tex] কিন্তু এরা একান্তর কোণ। 

অতএব HE ।। FG 

অনুরূপে HF ।। GE 

অতএব EHFG একটি সামন্তরিক । 

আবার [tex]\angle HEG = \frac{1}{2}\left( {\angle AEF + \angle BEF} \right) = \frac{1}{2} \times 2 \times {90^ \circ }[/tex]

অতএব [tex]\angle HEG = {90^ \circ }[/tex]

সুতরাং EHFG একটি আয়তক্ষেত্র । 

*****

Comments

Related Items

রৈখিক সহ সমীকরণ

রৈখিক সহ সমীকরণ (Linear Simultaneous Equations)

সূচনা (Introduction)

ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত অংকের সমাধান

ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত অংকের সমাধান ( Prove and Solution of Transversal and Mid-Point Theorem Related Problems)

লেখচিত্রের সাহায্যে যেকোনো দুটি বিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্ব নির্ণয়

মনে করি P ও Q দুটি বিন্দু উহাদের স্থানাঙ্ক হল যথাক্রমে [EQUATION-1] এবং [EQUATION-2] . P ও Q যোগ করা হল এখন আমাদের PQ এর দূরত্ব বা দৈর্ঘ্য নির্ণয় করতে হবে।

লেখচিত্রের সাহায্যে মূলবিন্দু থেকে যেকোনো বিন্দুর দূরত্ব নির্ণয়

মনে করি XOX' ও YOY' সরলরেখাদ্বয় লম্বভাবে পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করেছে। XOX' ও YOY' এইদুটি স্থানাঙ্ক রেখা বা Co-Ordinate axes এবং O হল মূলবিন্দু ( Origin ) ।

লেখচিত্রের সাহায্যে রৈখিক সহসমীকরণ সমাধান

মনে করি 3x + 4y = 25 এবং 4x - 3y = 0 দুটি সমীকরণ এদেরকে আমাদের সমাধান করতে হবে। দেখা যাচ্ছে দুটি সরলরেখার একটি সাধারণ বিন্দু হল (3,4) . অর্থাৎ দুটি সরলরেখা পরস্পরকে (3,4) বিন্দুতে ছেদ করেছে।