সামন্তরিকের চতুর্থ উপপাদ্য

Submitted by arpita pramanik on Thu, 08/27/2020 - 21:44

সামন্তরিকের চতুর্থ উপপাদ্য (Parallelogram Theorem)

কোনো চতুর্ভুজের বিপরীত কোণগুলি সমান হলে , চতুর্ভুজটি একটি সামন্তরিক হবে । 

 

প্রমাণ:

পারলে মনে করি ABCD চতুর্ভুজের [tex]\angle ABC = \angle ADC[/tex] এবং [tex]\angle BCD = \angle DAB[/tex]

আমাদের প্রমাণ করতে হবে ABCD চতুর্ভুজটি একটি সামন্তরিক হবে। 

প্রমাণ : যেহেতু চতুর্ভুজের চারটি কোণের যোগফল [tex]{360^ \circ }[/tex] 

অতএব ABCD চতুর্ভুজের 

[tex]\begin{array}{l}
\angle ABC + \angle BCD + \angle CDA + \angle DAB = {360^ \circ }\\
 \Rightarrow \angle ABC + \angle BCD + \angle ABC + \angle BCD = {360^ \circ }
\end{array}[/tex]

( যেহেতু [tex]\angle ABC = \angle ADC[/tex] এবং [tex]\angle BCD = \angle DAB[/tex] )

অতএব 

[tex]\begin{array}{l}
2\angle ABC + 2\angle BCD = {360^ \circ }\\
 \Rightarrow 2\left( {\angle ABC + \angle BCD} \right) = {360^ \circ }\\
 \Rightarrow \angle ABC + \angle BCD = {180^ \circ }
\end{array}[/tex]

অতএব AB ।। DC ( যেহেতু BC ছেদকের একই পাশে অন্তঃস্থ কোণের যোগফল [tex]{180^ \circ }[/tex] )

আবার যেহেতু [tex]\angle ABC + \angle BCD = {180^ \circ }[/tex]

[tex]\angle ADC + \angle BCD = {180^ \circ }[/tex] ( যেহেতু [tex]\angle ABC = \angle ADC[/tex] )

এখানেও CD ছেদকের একই পাশে অন্তঃস্থ কোণের যোগফল [tex]{180^ \circ }[/tex]

অতএব AD ।। BC 

অতএব ABCD একটি সামন্তরিক। 

 

প্রয়োগ : কোনো সামন্তরিকের চারটি কোণের সমদ্বিখণ্ডকগুলি পরস্পর মিলিত হয়ে একটি আয়তক্ষেত্র গঠন করবে। 

পারল মনে করি ABCD একটি সামন্তরিকের [tex]\angle A,\angle B,\angle C[/tex] এবং [tex]\angle D[/tex] কোণের সমদ্বিখণ্ডক গুলি যথাক্রমে AP , BR , CR ও DP পরস্পর মিলিত হয়ে PQRS চতুর্ভুজ গঠন করেছে। 

আমাদের প্রমাণ করতে হবে PQRS চতুর্ভুজটি হল একটি আয়তক্ষেত্র 

প্রমাণ : ABCD সামন্তরিকের AB ।। DC এবং AD হল ভেদক 

অতএব 

[tex]\begin{array}{l}
\angle BAD + \angle ADC = {180^ \circ }\\
 \Rightarrow \frac{1}{2}\angle BAD + \frac{1}{2}\angle ADC = \frac{1}{2} \times {180^ \circ }\\
 \Rightarrow \angle PAD + \angle PDA = {90^ \circ }
\end{array}[/tex]

সুতরাং ত্রিভুজ APD এর [tex]\angle PAD + \angle PDA = {90^ \circ }[/tex]

অতএব [tex]\angle APD = {180^ \circ } - {90^ \circ } = {90^ \circ }[/tex]

অনুরূপে প্রমাণ করা যায় [tex]\angle BRC = {90^ \circ },\angle ASB = {90^ \circ } = \angle RSP[/tex] এবং [tex]\angle CQD = {90^ \circ } = \angle RQP[/tex]

অতএব PQRS চতুর্ভুজের [tex]\angle PSR = \angle PQR = {90^ \circ }[/tex] এবং [tex]\angle SRQ = \angle SPQ = {90^ \circ }[/tex]

যেহেতু PQRS চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলি সমান , সুতরাং PQRS চতুর্ভুজটি হল একটি সামন্তরিক । 

আবার PQRS সামন্তরিকের প্রত্যেকটি কোণের মান [tex]{90^ \circ }[/tex] , সুতরাং PQRS সামন্তরিকটি হল একটি আয়তক্ষেত্র । 

*****

Comments

Related Items

রৈখিক সহ সমীকরণ

রৈখিক সহ সমীকরণ (Linear Simultaneous Equations)

সূচনা (Introduction)

ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত অংকের সমাধান

ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত অংকের সমাধান ( Prove and Solution of Transversal and Mid-Point Theorem Related Problems)

লেখচিত্রের সাহায্যে যেকোনো দুটি বিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্ব নির্ণয়

মনে করি P ও Q দুটি বিন্দু উহাদের স্থানাঙ্ক হল যথাক্রমে [EQUATION-1] এবং [EQUATION-2] . P ও Q যোগ করা হল এখন আমাদের PQ এর দূরত্ব বা দৈর্ঘ্য নির্ণয় করতে হবে।

লেখচিত্রের সাহায্যে মূলবিন্দু থেকে যেকোনো বিন্দুর দূরত্ব নির্ণয়

মনে করি XOX' ও YOY' সরলরেখাদ্বয় লম্বভাবে পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করেছে। XOX' ও YOY' এইদুটি স্থানাঙ্ক রেখা বা Co-Ordinate axes এবং O হল মূলবিন্দু ( Origin ) ।

লেখচিত্রের সাহায্যে রৈখিক সহসমীকরণ সমাধান

মনে করি 3x + 4y = 25 এবং 4x - 3y = 0 দুটি সমীকরণ এদেরকে আমাদের সমাধান করতে হবে। দেখা যাচ্ছে দুটি সরলরেখার একটি সাধারণ বিন্দু হল (3,4) . অর্থাৎ দুটি সরলরেখা পরস্পরকে (3,4) বিন্দুতে ছেদ করেছে।