সামন্তরিকের প্রথম উপপাদ্য

সামন্তরিকের প্রথম উপপাদ্য (Parallelogram Theorem)

কোনো চতুর্ভুজের একজোড়া বিপরীত বাহু সমান এবং সমান্তরাল হলে অপর জোড়া বিপরীত বাহুও সমান এবং সমান্তরাল হবে অর্থাৎ চতুর্ভুজটি একটি সামন্তরিক হবে । 

প্রমাণ:

 মনে করি ABCD একটি চতুর্ভুজ , এর AD = BC এবং AD ।। BC 

আমাদের প্রমাণ করতে হবে

(i) AB = DC এবং AB ।। DC 

(ii) ABCD একটি সামন্তরিক 

অঙ্কন : AC কর্ণ টানলাম। 

প্রমাণ : ত্রিভুজ ADC ও ত্রিভুজ ABC এর মধ্যে 

AD = BC 

AC সাধারণ বাহু 

[tex]\angle DAC = [/tex] একান্তর [tex]\angle ACB[/tex] ( যেহেতু AD ।। BC এবং AC হল ছেদক )

অতএব ত্রিভুজ ADC [tex] \cong [/tex] ত্রিভুজ ABC 

AB = DC এবং [tex]\angle BAC = \angle ACD[/tex] কিন্তু এরা একান্তর কোণ । 

সুতরাং AB ।। DC 

এখন ABCD চতুর্ভুজের AD ।। BC এবং AB ।। DC অর্থাৎ বিপরীত বাহু গুলি পরস্পর সমান্তরাল 

সুতরাং ABCD চতুর্ভুজটি হল একটি সামন্তরিক । 

প্রয়োগ : PQRS সামন্তরিকের PS ও QR এর মধ্যবিন্দু হল যথাক্রমে A ও B . P , B ; Q , A ; R , A এবং B , S যোগ করা হল । PB ও QA পরস্পরকে C বিন্দুতে এবং RS ও RB পরস্পরকে D বিন্দুতে ছেদ করেছে । প্রমাণ করতে হবে যে (i) AQBS একটি সামন্তরিক , (ii) চতুর্ভুজ PBRA একটি সামন্তরিক , (iii) চতুর্ভুজ ACBD একটি সামন্তরিক । 

প্রমাণ : PQRS একটি সামন্তরিক। সুতরাং PS ।। QR এবং PS = QR 

অতএব [tex]\frac{1}{2}PS = \frac{1}{2}QR[/tex]

সুতরাং PA = BR এবং AS = QB 

অতএব AQBS চতুর্ভুজের AS ।। QB ( যেহেতু PS ।। QR )

এবং AS ।। QB 

অতএব AQBS চতুর্ভুজটি একটি সামন্তরিক 

একই ভাবে প্রমাণ করা যায় PBRA চতুর্ভুজটি একটি সামন্তরিক 

ACBD চতুর্ভুজের AC ।। DB ( যেহেতু AQBS একটি সামন্তরিক )

BC ।। DA ( যেহেতু PBRA একটি সামন্তরিক )

অতএব ABCD একটি সামন্তরিক ।

*****