গুণনীয়ক উপপাদ্য (Factor Theorem)

Submitted by arpita pramanik on Sat, 08/29/2020 - 23:35

গুণনীয়ক উপপাদ্য (Factor Theorem)

যদি f(x) কোনো একটি বহুপদী সংখ্যামালা যার মাত্রা n(n1) এবং a যেকোনো একটি বাস্তব সংখ্যা হয় , তাহলে 

  • ( x-a ) , f(x) এর একটি উৎপাদক হবে , যদি f(a) = 0 হয় 
  • বিপরীতক্রমে f(a) = 0 হবে , যদি ( x-a ) , f(x) এর একটি উৎপাদক হয় 

প্রমাণ : ভাগশেষ উপপাদ্য থেকে বলতে পারি, একটি বহুপদী সংখ্যামালা f(x) কে ( x-a ) দিয়ে ভাগ করলে একটি বহুপদী সংখ্যামালা q(x) পাবো যাতে  f(x)=(xa)q(x)+f(a)

(i) যদি f(a) = 0 হয় , তবে f(x)=(xa)q(x) পাবো । 

অতএব ( x-a ) , f(x) এর একটি উৎপাদক হবে । 

(ii) আবার যদি ( x-a ) , f(x) এর একটি উৎপাদক হয় তাহলে একটি বহুপদী সংখ্যামালা g(x) পাবো যাতে f(x)=(xa)g(x) হবে । 

x = a বসিয়ে পাবো f(a)=(aa)g(a)=0 ( প্রমাণিত )

 

উদাহরণ : k এর মান কত হলে (3x2) , 15x2kx14 এর একটি উৎপাদক হবে ?

মনে করি f(x)=15x2kx14

এখন 3x2=0x=23

অর্থাৎ (3x2) রৈখিক বহুপদী সংখ্যামালার শূন্য 23

যেহেতু (3x2) , 15x2kx14 এর একটি উৎপাদক 

অতএব f(23)=0

অতএব 

15(23)2k(23)14=015×4923k14=020323k14=020422k=02k=22k=11

অতএব k = -11 হলে ,  (3x2) , 15x2kx14 এর একটি উৎপাদক হবে । 

 

উদাহরণ : n , যেকোনো যুগ্ম ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা হলে দেখাই যে xnyn বহুপদী সংখ্যামালাটির একটি উৎপাদক হবে x+y ।

মনে করি  xnyn কে x+y দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল Q এবং x বর্জিত ভাগশেষ R 

ভাজ্য = ভাজক × ভাগফল +ভাগশেষ 

অতএব xnyn=(x+y)Q+R ( এটি একটি অভেদ )

যেহেতু R ভাগশেষটি x বর্জিত , সুতরাং x এর মান যাই হোকনা কেন তাতে R এর মান পরিবর্তিত হবেনা। তাই উপরের অভেদে x এর জায়গায় (-y) লিখে পাই 

(y)nyn=(y+y)Q+Rynyn=RR=0

( যেহেতু n যুগ্ম ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা তাই (y)n=yn )

সুতরাং xnyn বহুপদী সংখ্যামালাটির একটি উৎপাদক হবে x+y যখন n একটি যুগ্ম ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা । 

*****

Comments

Related Items

রৈখিক সহ সমীকরণ

রৈখিক সহ সমীকরণ (Linear Simultaneous Equations)

সূচনা (Introduction)

ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত অংকের সমাধান

ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত অংকের সমাধান ( Prove and Solution of Transversal and Mid-Point Theorem Related Problems)

লেখচিত্রের সাহায্যে যেকোনো দুটি বিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্ব নির্ণয়

মনে করি P ও Q দুটি বিন্দু উহাদের স্থানাঙ্ক হল যথাক্রমে [EQUATION-1] এবং [EQUATION-2] . P ও Q যোগ করা হল এখন আমাদের PQ এর দূরত্ব বা দৈর্ঘ্য নির্ণয় করতে হবে।

লেখচিত্রের সাহায্যে মূলবিন্দু থেকে যেকোনো বিন্দুর দূরত্ব নির্ণয়

মনে করি XOX' ও YOY' সরলরেখাদ্বয় লম্বভাবে পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করেছে। XOX' ও YOY' এইদুটি স্থানাঙ্ক রেখা বা Co-Ordinate axes এবং O হল মূলবিন্দু ( Origin ) ।

লেখচিত্রের সাহায্যে রৈখিক সহসমীকরণ সমাধান

মনে করি 3x + 4y = 25 এবং 4x - 3y = 0 দুটি সমীকরণ এদেরকে আমাদের সমাধান করতে হবে। দেখা যাচ্ছে দুটি সরলরেখার একটি সাধারণ বিন্দু হল (3,4) . অর্থাৎ দুটি সরলরেখা পরস্পরকে (3,4) বিন্দুতে ছেদ করেছে।