গুণনীয়ক উপপাদ্য (Factor Theorem)
যদি f(x) কোনো একটি বহুপদী সংখ্যামালা যার মাত্রা n(n≥1) এবং a যেকোনো একটি বাস্তব সংখ্যা হয় , তাহলে
- ( x-a ) , f(x) এর একটি উৎপাদক হবে , যদি f(a) = 0 হয়
- বিপরীতক্রমে f(a) = 0 হবে , যদি ( x-a ) , f(x) এর একটি উৎপাদক হয়
প্রমাণ : ভাগশেষ উপপাদ্য থেকে বলতে পারি, একটি বহুপদী সংখ্যামালা f(x) কে ( x-a ) দিয়ে ভাগ করলে একটি বহুপদী সংখ্যামালা q(x) পাবো যাতে f(x)=(x−a)q(x)+f(a)
(i) যদি f(a) = 0 হয় , তবে f(x)=(x−a)q(x) পাবো ।
অতএব ( x-a ) , f(x) এর একটি উৎপাদক হবে ।
(ii) আবার যদি ( x-a ) , f(x) এর একটি উৎপাদক হয় তাহলে একটি বহুপদী সংখ্যামালা g(x) পাবো যাতে f(x)=(x−a)g(x) হবে ।
x = a বসিয়ে পাবো f(a)=(a−a)g(a)=0 ( প্রমাণিত )
উদাহরণ : k এর মান কত হলে (3x−2) , 15x2−kx−14 এর একটি উৎপাদক হবে ?
মনে করি f(x)=15x2−kx−14
এখন 3x−2=0⇒x=23
অর্থাৎ (3x−2) রৈখিক বহুপদী সংখ্যামালার শূন্য 23
যেহেতু (3x−2) , 15x2−kx−14 এর একটি উৎপাদক
অতএব f(23)=0
অতএব
15(23)2−k(23)−14=0⇒15×49−23k−14=0⇒203−23k−14=0⇒20−42−2k=0⇒2k=−22⇒k=−11
অতএব k = -11 হলে , (3x−2) , 15x2−kx−14 এর একটি উৎপাদক হবে ।
উদাহরণ : n , যেকোনো যুগ্ম ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা হলে দেখাই যে xn−yn বহুপদী সংখ্যামালাটির একটি উৎপাদক হবে x+y ।
মনে করি xn−yn কে x+y দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল Q এবং x বর্জিত ভাগশেষ R
ভাজ্য = ভাজক × ভাগফল +ভাগশেষ
অতএব xn−yn=(x+y)Q+R ( এটি একটি অভেদ )
যেহেতু R ভাগশেষটি x বর্জিত , সুতরাং x এর মান যাই হোকনা কেন তাতে R এর মান পরিবর্তিত হবেনা। তাই উপরের অভেদে x এর জায়গায় (-y) লিখে পাই
(−y)n−yn=(−y+y)Q+R⇒yn−yn=R⇒R=0
( যেহেতু n যুগ্ম ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা তাই (−y)n=yn )
সুতরাং xn−yn বহুপদী সংখ্যামালাটির একটি উৎপাদক হবে x+y যখন n একটি যুগ্ম ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা ।
*****