জটিল রাশি (Complex Number)

 জটিল রাশি (Complex Number)

ভূমিকা (Introduction)

আমরা এর আগে বাস্তব সংখ্যা (Real Number) সম্পর্কে জ্ঞান লাভ করেছি । প্রকৃতপক্ষে সকল মূলদ ও অমূলদ সংখ্যার সমষ্টিকে বাস্তব সংখ্যা বলে । বাস্তব সংখ্যার অন্যতম বৈশিষ্ট হল যে তাদের বর্গ করলে বর্গফল সর্বদা ধনাত্মক হবে । যেমন 3, $\frac{4}{5}$ , -2 , $\sqrt 2$ ইত্যাদি এই সমস্ত সংখ্যার বর্গ করলে হয় যথাক্রমে 9, $\frac{{16}}{{25}}$, 4, 2 . এরা সবই ধনাত্মক সংখ্যা । অতএব কোনো রাশির বর্গের মান যখন ঋণাত্মক হয়, তখন তাকে বাস্তব সংখ্যা বলা যায় না । যেমন $\sqrt { - 2} ,\sqrt { - 5}$ ইত্যাদি , এই সমস্ত সংখ্যা গুলির বর্গ করলে বর্গফল হয় ঋণাত্মক । এই সমস্ত সংখ্যাকে বাস্তব সংখ্যা বলা যায় না । এইরূপ ভিন্ন সংখ্যাকে জটিল রাশি (Complex Number) বা অবাস্তব বা কাল্পনিক সংখ্যা (Imaginary Number) বলা হয় । 

►জটিল রাশি (Complex Number)

দুটি বাস্তব রাশি x এবং y এর ক্রমযুগল ( x , y ) যদি x + i y ( যেখানে $i = \sqrt { - 1}$ )আকারে প্রকাশ করা হয় , তবে (x , y) ক্রমযুগলকে জটিল রাশি বা কাল্পনিক সংখ্যা (Complex Number or Imaginary Number) বলে । 

সংজ্ঞানুযায়ী যদি ( x , y ) কে  z  দ্বারা প্রকাশ করা হয়, তবে z = ( x , y ) = x + i y  হবে । যদি y = 0 হয় তাহলে z = ( x , 0 ) = x + i.0 = x এক্ষেত্রে জটিল রাশি একটি বিশুদ্ধ বাস্তব সংখ্যা হয় । অতএব দেখা যাচ্ছে যে বাস্তব সংখ্যাশ্রেণী  হল জটিল রাশির একটি অংশ । আবার যখন x = 0 , তখন z = ( 0 , y ) = i.y হয় । এটি বিশুদ্ধ জটিল সংখ্যা । আবার যখন x = 0 এবং y = 1 হয় ,তখন z = ( 0 , 1 ) = i হয়। এই জন্য z = ( x , y ) জটিল রাশির x কে বাস্তব অংশ ও y কে অবাস্তব অংশ বলে । 

►অনুবন্দী বা প্রতিযোগী জটিল রাশি (Conjugate Complex Number)

x , y বাস্তব সংখ্যা এবং $i = \sqrt { - 1}$ হলে ( x + i.y ) ও (x - i.y )দুটি জটিল রাশিকে একে অপরের প্রতিযোগী বা অনুবন্দী জটিল রাশি (Conjugate Complex Number) বলে । z একটি প্রদত্ত জটিল রাশি হলে $\bar z$ হল তার অনুবন্দী বা প্রতিযোগী জটিল রাশি । যেমন $2 + 3i$ এর অনুবন্দি জটিল রাশি হল $2 - 3i$ । সুতরাং $z = 2 + 3i$ হলে $\bar z = 2 - 3i$ হবে । 

দ্রষ্টব্য :

(1) z ও $\bar z$ দুটি পরস্পর অনুবন্দি জটিল রাশি হলে দেখাও যে $\overline{\overline z}$হবে । 

প্রমাণ :- মনে করি $z = x + iy$ অতএব $\bar z = x - iy$ .

এখন  $\bar z = x - iy$ এর অনুবন্দি জটিল রাশি হবে x + iy .

সুতরাং $\bar z$ এর অনুবন্দি জটিল রাশি হল $\overline{\overline z}  = x + iy$ .

(2) যেকোন জটিল রাশি  x + iy এর অনবন্দি জটিল রাশির আকার হবে  x - iy . অর্থাৎ i = -i হবে । 

(3) $z = x + iy$ হলে ওর অনুবন্দি জটিল রাশি হবে $\bar z = x - iy$ .

$z + \bar z = x + iy + x - iy = 2x$ একটি বাস্তব সংখ্যা । 

$z - \bar z = x + iy - x + iy = 2iy$ একটি কাল্পনিক সংখ্যা । 

$z \cdot \bar z = (x + iy) \cdot (x - iy) = {x^2} - {\left( {\sqrt { - 1} } \right)^2}{y^2} = {x^2} + {y^2}$ একটি বাস্তব সংখ্যা । 

যেহেতু $\left( {i = \sqrt { - 1} } \right)$ .

(4) মনে করি ${z_1} = {x_1} + i{y_1},{z_2} = {x_2} + i{y_2}$ . 

অতএব উহাদের অনুবন্দি জটিল রাশি হল যথাক্রমে $\bar {z_1} = {x_1} - i{y_1},\bar {z_2} = {x_2} - i{y_2}$ .

এখন ${z_1} + {z_2} = {x_1} + i{y_1} + {x_2} + i{y_2} = \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + i\left( {{y_1} + {y_2}} \right)$.

$\overline {{z_1} + {z_2}}  = \left( {{x_1} + {x_2}} \right) - i\left( {{y_1} + {y_2}} \right) = {x_1} - i{y_1} + {x_2} - i{y_2} = \overline {{z_1}}  + \overline {{z_2}}$

অনুরূপে আমরা প্রমাণ করতে পারি 

$\overline {{z_1} - {z_2}}  = \overline {{z_1}}  - \overline {{z_2}} ;\overline {{z_1}{z_2}}  = \overline {{z_1}}  \cdot \overline {{z_2}} ;\overline {\left( {\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}}} \right)}  = \frac{{\overline {{z_1}} }}{{\overline {{z_2}} }}$

►জটিল রাশির মডিউলাস ও অ্যামপ্লিচিউড বা আরগুমেন্ট (Modulus and Amplitude or Argument of a Complex Number)

1. জটিল রাশির মডিউলাস :

মনে করি $z = x + iy$ , যেখানে x , y হল বাস্তব এবং $i = \sqrt { - 1}$ তাহলে , $\left( {{x^2} + {y^2}} \right)$ এর ধনাত্মক বর্গমূলকে z জটিল রাশির মডিউলাস  হয় এবং একে mod(z) বা mod z বা ।z। প্রতীক দ্বারা প্রকাশ করা হয়। সুতরাং  $z = x + iy$ হলে 

$\left| z \right| = \bmod z =  + \sqrt {{x^2} + {y^2}}$

যদি z = 0 হয় অর্থাৎ x = y = 0 হয় তবে ।z। = 0 হবে। যেকোনো জটিল রাশি z এর ক্ষেত্রে  $\left| z \right| = \left| {\overline z } \right| = \left| { - z} \right|$ .

2. জটিল রাশির  অ্যামপ্লিচিউড বা আরগুমেন্ট :

মনে করি $z = x + iy$ , যেখানে x , y হল বাস্তব এবং $i = \sqrt { - 1}$ , ${x^2} + {y^2} \ne 0$ তাহলে $\theta$ এর যেকোনো মান দ্বারা আমরা x এবং y কে প্রকাশ করতে পারি। যেখানে 

$x = \left| z \right|\cos \theta ......\left( i \right)$

$y = \left| z \right|sin\theta ......\left( {ii} \right)$

এই দুটি সমীকরণকে z জটিল রাশির অ্যামপ্লিচিউড বা আরগুমেন্ট বলে । 

স্পষ্টতই , $\theta$ এর অসংখ্য মানের জন্য সমীকরণ (i) এবং (ii) সিদ্ধ হয় , এই কারণে প্রদত্ত জটিল রাশি $z = x + iy$ এর অসংখ্য মান পাওয়া। এই সকল মানের মধ্যে $\theta$ এর যে মান $- \pi  < \theta  \le \pi$ এর মধ্যে থাকে তাকে z জটিল রাশির আরগুমেন্টের মুখ্যমান (Principal value) বলে । এই মানকে $\arg z$ প্রতীক দ্বারা প্রকাশ করা হয় ।