জটিল রাশির বর্গমূল নির্ণয় ( Square Root of Complex Numbers)

জটিল রাশির বর্গমূল নির্ণয় (To find the square root of Complex Numbers)

মনে করি , $a + ib$ জটিল রাশি ( যেখানে a , b হল বাস্তব এবং $b \ne 0$ ) এর বর্গমূল নির্ণয় করতে হবে । 

ধরি $\sqrt {a + ib}  = x + iy$ , যেখানে x , y বাস্তব । 

তাহলে 

$\begin{array}{l} {\left( {\sqrt {a + ib} } \right)^2} = {\left( {x + iy} \right)^2}\\  \Rightarrow a + ib = {x^2} + 2ixy - {y^2} \end{array}$

দুটি জটিল রাশির সমতা থেকে পাই 

$\begin{array}{l} a = {x^2} - {y^2}\\ b = 2xy \end{array}$

আমরা জানি 

$\begin{array}{l} {\left( {{x^2} + {y^2}} \right)^2} = {\left( {{x^2} - {y^2}} \right)^2} + 4{x^2}{y^2}\\  \Rightarrow {x^2} + {y^2} = \sqrt {{{\left( {{x^2} - {y^2}} \right)}^2} + {{\left( {2xy} \right)}^2}} \\  \Rightarrow {x^2} + {y^2} = \sqrt {{a^2} + {b^2}}  \end{array}$

অতএব 

$\begin{array}{l} {x^2} = \frac{1}{2}\left( {a + \sqrt {{a^2} + {b^2}} } \right)\\  \Rightarrow x =  \pm \frac{{\sqrt {a + \sqrt {{a^2} + {b^2}} } }}{{\sqrt 2 }}\\ {y^2} = \frac{1}{2}\left( {\sqrt {{a^2} + {b^2}}  - a} \right)\\  \Rightarrow y =  \pm \frac{{\sqrt {\sqrt {{a^2} + {b^2}}  - a} }}{{\sqrt 2 }} \end{array}$

যদি b > 0 হলে x এবং y এর মান ধনাত্মক অথবা x এবং y দুটোর মান ঋণাত্মক হবে। কারণ b = 2xy .

এখন 

$\begin{array}{l} \sqrt {a + ib} \\  = x + iy\\  =  \pm \left( {\frac{{\sqrt {a + \sqrt {{a^2} + {b^2}} } }}{{\sqrt 2 }} + i\frac{{\sqrt {\sqrt {{a^2} + {b^2}}  - a} }}{{\sqrt 2 }}} \right) \end{array}$

হবে।

আবার যদি b < 0 হয় , তাহলে x এবং y বিপরীত চিহ্ন যুক্ত হবে । 

তখন 

$\begin{array}{l} \sqrt {a + ib} \\  = x - iy\\  =  \pm \left( {\frac{{\sqrt {a + \sqrt {{a^2} + {b^2}} } }}{{\sqrt 2 }} - i\frac{{\sqrt {\sqrt {{a^2} + {b^2}}  - a} }}{{\sqrt 2 }}} \right) \end{array}$

হবে । 

► 1 এর ঘনমূল নির্ণয় (To find the Cube Roots of Unity)

  মনে করি 1 এর ঘনমূল x , অর্থাৎ $\sqrt[3]{1} = x$

অতএব 

$\begin{array}{l} {x^3} = 1\\  \Rightarrow {x^3} - 1 = 0\\  \Rightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right) = 0 \end{array}$

দেখা যাচ্ছে হয় $\left( {x - 1} \right) = 0$ অথবা $\left( {{x^2} + x + 1} \right) = 0$

যদি $\left( {x - 1} \right) = 0$ হয় , তাহলে x = 1 হবে। 

যদি $\left( {{x^2} + x + 1} \right) = 0$ হয় , তাহলে 

$\begin{array}{l} \left( {{x^2} + x + 1} \right) = 0\\  \Rightarrow {x^2} + 2x \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{4} + 1 = 0\\  \Rightarrow {x^2} + 2x \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 0\\  \Rightarrow {\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} =  - \frac{3}{4}\\  \Rightarrow x + \frac{1}{2} =  \pm i\frac{{\sqrt 3 }}{2}\\  \Rightarrow x =  - \frac{1}{2} \pm i\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{ - 1 \pm i\sqrt 3 }}{2} \end{array}$

অতএব 1 এর তিনটি ঘনমূল হল 1 , $\frac{{ - 1 + i\sqrt 3 }}{2}$ এবং $\frac{{ - 1 - i\sqrt 3 }}{2}$

দেখা যাচ্ছে মূল তিনটির মধ্যে একটি বাস্তব ও বাকি দুটি অবাস্তব । 

►1 এর ঘনমূলের তিনটি ধর্ম (Three Properties of Cube Root of Unity)

(1) 1 এর অবাস্তব ঘনমূল দুটি একটি অন্য টির বর্গ 

এখন 1 এর একটি অবাস্তব ঘনমূল হল $\frac{{ - 1 + i\sqrt 3 }}{2}$

$\begin{array}{l} {\left( {\frac{{ - 1 + i\sqrt 3 }}{2}} \right)^2}\\  = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^2} + 2 \cdot \left( { - 1} \right) \cdot i\sqrt 3  + {{\left( {i\sqrt 3 } \right)}^2}}}{4}\\  = \frac{{1 - 2i\sqrt 3  - 3}}{4}\\  = \frac{{ - 2 - 2i\sqrt 3 }}{4}\\  = \frac{{ - 1 - i\sqrt 3 }}{2} \end{array}$

অনুরূপে আমরা প্রমাণ করতে পারি ${\left( {\frac{{ - 1 - i\sqrt 3 }}{2}} \right)^2} = \frac{{ - 1 + i\sqrt 3 }}{2}$

(2) 1 এর অবাস্তব দুটি ঘনমূলের গুণফল 1 হয় 

1 এর দুটি অবাস্তব ঘনমূল হল $\frac{{ - 1 - i\sqrt 3 }}{2},\frac{{ - 1 + i\sqrt 3 }}{2}$

এখন তাদের গুণফল হল 

$\begin{array}{l} \frac{{ - 1 - i\sqrt 3 }}{2} \times \frac{{ - 1 + i\sqrt 3 }}{2}\\  = \frac{{\left( { - 1 - i\sqrt 3 } \right) \times \left( { - 1 + i\sqrt 3 } \right)}}{4}\\  = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^2} - {{\left( {i\sqrt 3 } \right)}^2}}}{4}\\  = \frac{{1 + 3}}{4}\\  = \frac{4}{4} = 1 \end{array}$

(3) 1 এর ঘনমূল তিনটির সমষ্টি শূন্য হয় 

  1 এর তিনটি ঘনমূল হল 1 , $\frac{{ - 1 + i\sqrt 3 }}{2}$ এবং $\frac{{ - 1 - i\sqrt 3 }}{2}$

তাদের যোগফল হল 

$\begin{array}{l} 1 + \frac{{ - 1 + i\sqrt 3 }}{2} + \frac{{ - 1 - i\sqrt 3 }}{2}\\  = \frac{{2 - 1 + i\sqrt 3  - 1 - i\sqrt 3 }}{2}\\  = \frac{{2 - 2}}{2}\\  = \frac{0}{2} = 0 \end{array}$

[ 1 এর ঘনমূল তিনটিকে সাধারণত 1 , $\omega$ এবং ${\omega ^2}$ দ্বারা প্রকাশ করা হয় ।

যেখানে $\omega  = \frac{{ - 1 + i\sqrt 3 }}{2}$ এবং ${\omega ^2} = \frac{{ - 1 - i\sqrt 3 }}{2}$

$\begin{array}{l} {\omega ^4} = {\omega ^3} \cdot \omega  = \omega \\ {\omega ^5} = {\omega ^3} \cdot {\omega ^2} = {\omega ^2}\\ {\omega ^6} = {\left( {{\omega ^3}} \right)^2} = 1 \end{array}$

অর্থাৎ ${\omega ^3} = 1$]