জটিল রাশির সংক্ষিপ্তকরণ ( Complex Numbers Summary )

জটিল রাশির সংক্ষিপ্তকরণ ( Complex Numbers Summary )

(1) দুটি বাস্তব রাশি x এবং y এর ক্রমযুগলকে  (x , y) যদি x + iy আকারে প্রকাশ করা হয় , যেখানে $i = \sqrt { - 1}$ , তবে (x , y) এর ক্রমযুগলকে জটিল রাশি বলা হয়। x কে জটিল রাশির বাস্তব অংশ এবং y কে জটিল রাশির অবাস্তব অংশ বলে । 

(2) x , y বাস্তব এবং $i = \sqrt { - 1}$ হলে $\left( {x + iy} \right)$ ও $\left( {x - iy} \right)$ দুটি জটিল রাশিকে একে অন্যটির প্রতিযোগী বা অনুবন্দি জটিল রাশি বলা হয়। z জটিল রাশির প্রতিযোগী জটিল রাশিকে $\overline z$ দ্বারা প্রকাশ করা হয় । 

(3) $z = x + iy$ জটিল রাশির মডিউলাস কে ।z। দ্বারা প্রকাশ করা হয় এবং $\left| z \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}}$ . z এর অনুবন্দি জটিল রাশি $\overline z$ হলে $\left| z \right| = \sqrt {z \cdot \overline z }$ হবে । 

(4) $z = x + iy$ জটিল রাশির আরগুমেন্ট বা অ্যামপ্লিচিউড $\theta$ হলে $\tan \theta  = \frac{y}{x}$ হবে । আরগুমেন্ট $\theta$ এর অসংখ্য মানের মধ্যে যে মান $- \pi  < \theta  \le \pi$ এর মধ্যে থাকবে তাকে আরগুমেন্ট এর মুখ্যমান ( Principal Value ) বলে । এই মানকে $\arg z$ প্রতীক দ্বারা প্রকাশ করা হয় । 

যদি $z = x + iy$ হয় এবং জটিল তলে 

• (x , y) বিন্দু প্রথম পদে থাকে তবে , $0 < \theta$ এর মুখ্যমান $< \frac{\pi }{2}$ হবে ,
• (x , y) বিন্দু দ্বিতীয় পদে থাকে তবে , $\frac{\pi }{2} < \theta$ এর মুখ্যমান $< \pi$ হবে ,
• (x , y) বিন্দু তৃতীয় পদে থাকে তবে , $- \pi  < \theta$ এর মুখ্যমান $<  - \frac{\pi }{2}$ হবে ,
• (x , y) বিন্দু চতুর্থ পদে থাকে তবে , $- \frac{\pi }{2} < \theta$ এর মুখ্যমান < 0 হবে । 

(5) $z = r\left( {\cos \theta  + i\sin \theta } \right)$ আকারকে z জটিল রাশির মডিউলাস - অ্যামপ্লিচিউড আকার বলা হয় । এখানে r = ।z। এবং $\theta  = \arg z$ যেখানে $- \pi  < \theta  \le \pi$ 

(6) দুটি জটিল রাশির যোগফল , বিয়োগফল , গুণফল ও ভাগফলকে X + iY আকারে প্রকাশ করা যায়। যেখানে X , Y বাস্তব । 

(7) কোনো জটিল রাশির যেকোনো অখন্ড ঘাত এবং যেকোনো মূল একটি জটিল রাশি । 

(8) x + iy = 0 হলে , x = 0  ও y = 0 হবে । 

(9) x + iy = p +iq হলে x = p ও y = q হবে । 

(10) $\left| {{z_1} + {z_2}} \right| \le \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|$

(11) $\left| {{z_1}{z_2}} \right| = \left| {{z_1}} \right|\left| {{z_2}} \right|$

(12) $\left| {\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}}} \right| = \frac{{\left| {{z_1}} \right|}}{{\left| {{z_2}} \right|}}$

(13) $\arg \left( {{z_1}{z_2}} \right) = \arg {z_1} + \arg {z_2} + m$

এবং $\arg \left( {\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}}} \right) = \arg {z_1} - \arg {z_2} + m$

যেখানে m = 0 অথবা $2\pi$ অথবা $- 2\pi$

(14) 1 এর ঘনমূল তিনটি হয় $1,\omega ,{\omega ^2}$ 

যেখানে $\omega  = \frac{{ - 1 + i\sqrt 3 }}{2}$ এবং ${\omega ^2} = \frac{{ - 1 - i\sqrt 3 }}{2}$ . $\omega$ এবং ${\omega ^2}$ কে 1 এর অবাস্তব ঘনমূল । 

(15) $\omega$ এবং ${\omega ^2}$ কে 1 এর অবাস্তব ঘনমূল হলে ${\omega ^3} = 1$ এবং $1 + \omega  + {\omega ^2} = 0$ হবে ।