জটিল রাশির বীজগণিত (Algebra of Complex Numbers)

জটিল রাশির বীজগণিত (Algebra of Complex Numbers)

►(1) দুটি জটিল রাশির যোগফল একটি জটিল রাশি হয় 

মনে করি ${z_1} = {x_1} + i{y_1}$ এবং ${z_2} = {x_2} + i{y_2}$ হল দুটি জটিল রাশি। যেখানে ${x_1},{x_2},{y_1},{y_2}$ হল বাস্তব । 

এই দুটি জটিল রাশির যোগফল হল 

$\begin{array}{l} {z_1} + {z_2}\\  = \left( {{x_1} + i{y_1}} \right) + \left( {{x_2} + i{y_2}} \right)\\  = {x_1} + {x_2} + i{y_1} + i{y_2}\\  = \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + i\left( {{y_1} + {y_2}} \right)\\  = X + iY \end{array}$

যেখানে $X = {x_1} + {x_2},Y = {y_1} + {y_2}$

সুতরাং দুটি জটিল রাশির যোগফল হল একটি জটিল রাশি । 

►(2) $z = x + iy$ ( x  , y বাস্তব ) একটি জটিল রাশি হলে $\left( { - x} \right) + i\left( { - y} \right)$ রাশিকে z জটিল রাশির ঋণাত্মক বলা হবে এবং উহাকে -z প্রতীক দ্বারা প্রকাশ করা হয় । 

►(3) দুটি জটিল রাশির বিয়োগফল একটি জটিল রাশি হয় 

মনে করি ${z_1} = {x_1} + i{y_1}$ এবং ${z_2} = {x_2} + i{y_2}$ হল দুটি জটিল রাশি। যেখানে ${x_1},{x_2},{y_1},{y_2}$ হল বাস্তব । 

এই দুটি জটিল রাশির বিয়োগফল হল 

$\begin{array}{l} {z_1} - {z_2}\\  = \left( {{x_1} + i{y_1}} \right) - \left( {{x_2} + i{y_2}} \right)\\  = {x_1} - {x_2} + i{y_1} - i{y_2}\\  = \left( {{x_1} - {x_2}} \right) + i\left( {{y_1} - {y_2}} \right)\\  = X + iY \end{array}$

যেখানে $X = {x_1} - {x_2},Y = {y_1} - {y_2}$

সুতরাং দুটি জটিল রাশির বিয়োগফল হল একটি জটিল রাশি । 

দুই এর অধিক সংখ্যক জটিল রাশি যোগফল বা বিয়োগফল একটি জটিল রাশি হবে । 

►(4) জটিল রাশির গুণফল একটি জটিল রাশি হবে

মনে করি ${z_1} = {x_1} + i{y_1}$ এবং ${z_2} = {x_2} + i{y_2}$ হল দুটি জটিল রাশি। যেখানে ${x_1},{x_2},{y_1},{y_2}$ হল বাস্তব । 

এই দুটি জটিল রাশির গুণফল হল 

$\begin{array}{l} {z_1} \cdot {z_2}\\  = \left( {{x_1} + i{y_1}} \right) \cdot \left( {{x_2} + i{y_2}} \right)\\  = {x_1}{x_2} + i{x_1}{y_2} + i{y_1}{x_2} + {i^2}{y_1}{y_2}\\  = {x_1}{x_2} + {\left( {\sqrt { - 1} } \right)^2}{y_1}{y_2} + i\left( {{x_1}{y_2} + {y_1}{x_2}} \right)\\  = {x_1}{x_2} - {y_1}{y_2} + i\left( {{x_1}{y_2} + {y_1}{x_2}} \right)\\  = X + iY \end{array}$

যেখানে $X = {x_1}{x_2} - {y_1}{y_2},Y = {x_1}{y_2} + {y_1}{x_2}$

সুতরাং দুটি জটিল রাশির গুণফল হল একটি জটিল রাশি । 

►(5) জটিল রাশির ভাগফল একটি জটিল রাশি হবে

মনে করি ${z_1} = {x_1} + i{y_1}$ এবং ${z_2} = {x_2} + i{y_2}$ হল দুটি জটিল রাশি। যেখানে ${x_1},{x_2},{y_1},{y_2}$ হল বাস্তব । 

দুটি জটিল রাশির ভাগফল 

$\begin{array}{l} \frac{{{z_1}}}{{{z_2}}}\\  = \frac{{{x_1} + i{y_1}}}{{{x_2} + i{y_2}}}\\  = \frac{{\left( {{x_1} + i{y_1}} \right)\left( {{x_2} - i{y_2}} \right)}}{{\left( {{x_2} + i{y_2}} \right)\left( {{x_2} - i{y_2}} \right)}}\\  = \frac{{{x_1}{x_2} - i{x_1}{y_2} + i{y_1}{x_2} - {i^2}{y_1}{y_2}}}{{{{\left( {{x_2}} \right)}^2} - {{\left( {i{y_2}} \right)}^2}}}\\  = \frac{{{x_1}{x_2} - {{\left( {\sqrt { - 1} } \right)}^2}{y_1}{y_2} + i\left( {{y_1}{x_2} - {x_1}{y_2}} \right)}}{{{{\left( {{x_2}} \right)}^2} - {{\left( {\sqrt { - 1} } \right)}^2}{{\left( {{y_2}} \right)}^2}}}\\  = \frac{{{x_1}{x_2} + {y_1}{y_2} + i\left( {{y_1}{x_2} - {x_1}{y_2}} \right)}}{{{{\left( {{x_2}} \right)}^2} + {{\left( {{y_2}} \right)}^2}}}\\  = \frac{{{x_1}{x_2} + {y_1}{y_2}}}{{{{\left( {{x_2}} \right)}^2} + {{\left( {{y_2}} \right)}^2}}} + i\frac{{{y_1}{x_2} - {x_1}{y_2}}}{{{{\left( {{x_2}} \right)}^2} + {{\left( {{y_2}} \right)}^2}}}\\  = X + iY \end{array}$

যেখানে $X = \frac{{{x_1}{x_2} + {y_1}{y_2}}}{{{{\left( {{x_2}} \right)}^2} + {{\left( {{y_2}} \right)}^2}}},Y = \frac{{{y_1}{x_2} - {x_1}{y_2}}}{{{{\left( {{x_2}} \right)}^2} + {{\left( {{y_2}} \right)}^2}}}$

সুতরাং দুটি জটিল রাশির ভাগফল হল একটি জটিল রাশি ।

►(6) একটি জটিল রাশির যেকোনো অখন্ড ঘাত একটি জটিল রাশি হয় 

 মনে করি $z = x + iy$ , যেখানে x , y হল বাস্তব এবং n হল একটি অখন্ড সংখ্যা । 

এখন n = ধনাত্মক অখন্ড সংখ্যা হলে , ${z^n} = z \cdot z \cdot z \cdot ......n$ সংখ্যক উৎপাদক পর্যন্ত । 

= (x + iy) . (x + iy) . (x + iy) ...............n সংখ্যক উৎপাদক পর্যন্ত 

= X + iY 

[ দুই বা ততোধিক রাশির গুণফলকে X + iY আকারে প্রকাশ করা যায় , যেখানে X এবং Y বাস্তব ]

আবার , n = ঋণাত্মক অখন্ড সংখ্যা = -m [ যেখানে m = ধনাত্মক অখন্ড সংখ্যা ] হলে 

${z^n} = {z^{ - m}} = \frac{1}{{{z^m}}} = \frac{1}{{A + iB}}$ , যেখানে A ও B বাস্তব । 

$= \frac{{A - iB}}{{{A^2} + {B^2}}} = X + iY$

যেখানে $X = \frac{A}{{{A^2} + {B^2}}}$ এবং $Y = \frac{B}{{{A^2} + {B^2}}}$  এবং এরা বাস্তব । 

সুতরাং একটি জটিল রাশির যেকোনো অখন্ড ঘাত একটি জটিল রাশি । 

►(7) একটি জটিল রাশির যেকোনো মূল একটি জটিল রাশি হয় 

 মনে করি $z = x + iy$ , যেখানে $\left( {x \ne 0,y \ne 0} \right)$ হল বাস্তব এবং z এর n তম মূল a হলে যেখানে n একটি অখন্ড সংখ্যা । 

অর্থাৎ $\sqrt[n]{z} = a \Rightarrow z = {a^n} \Rightarrow x + iy = {a^n}$ .........(i)

এখানে $x \ne 0,y \ne 0$ বলে (i) সম্পর্ক সিদ্ধ হতে হলে a এর মান X + iY আকারে প্রকাশ করতে হবে। যেখানে X , Y বাস্তব এবং $X \ne 0,Y \ne 0$ 

(i) নং সমীকরণ থেকে দেখা যাচ্ছে a এর মান বিশুদ্ধ বাস্তব হলে ডানপক্ষ বিশুদ্ধ বাস্তব হবে এবং a এর মান বিশুদ্ধ কাল্পনিক রাশি হলে ডানপক্ষ বিশুদ্ধ বাস্তব বা বিশুদ্ধ কাল্পনিক রাশি হয়। কিন্তু বামপক্ষ x + iy আকারের জটিল রাশি বলে a এর মান বিশুদ্ধ কাল্পনিক বা বিশুদ্ধ বাস্তব না হয়ে X + iY আকারের জটিল রাশি হবে। যেখানে X , Y বাস্তব এবং $X \ne 0,Y \ne 0$ .

সুতরাং একটি জটিল রাশির যেকোনো মূল একটি জটিল রাশি হবে ।