দ্বিঘাত করণীর কয়েকটি ধর্ম (Properties of Quadratic Surds)

দ্বিঘাত করণীর কয়েকটি ধর্ম (Some Properties of Quadratic Surds):-

1.  দুটি অসদৃশ দ্বিঘাত করণীর গুণফল মূলদ রাশি হতে পারে না

মনে করি  √(x ), √y দুটি অসদৃশ দ্বিঘাত করণী ।
আমাদের এখন প্রমাণ করতে হবে √(x) × √y মূলদ রাশি হবে না ।
মনে করি √(x) × √y = m হল মূলদ রাশি ।
সুতরাং √y = m / √x = (m × √x) / (√x × √x) = m / x √x
√y = (মূলদ রাশি) × √x [যেহেতু  m/x হল মূলদ রাশি]
 অতএব √(x ), √y দুটি করণী সদৃশ যা কল্পনাবিরোধী ।
সুতরাং √(x ) × √y এটি কখনও মূলদ রাশি হতে পারেনা ।
অতএব প্রমাণিত যে দুটি অসদৃশ দ্বিঘাত করণীর গুনফল মূলদ রাশি হবে না ।

2.  একটি সরল দ্বিঘাত করণী কখনও একটি মূলদ রাশি ও একটি  দ্বিঘাত করণীর যোগফল বা অন্তরফল সমান হতে পারে না ।

মনে করি √(x) হল একটি সরল দ্বিঘাত করণী ।
ধরি   
যেখানে a হল একটি মূলদ রাশি ও  √b হল একটি দ্বিঘাত করণী ।
   
দেখা যাছে √b হল মূলদ সংখ্যা যা আমাদের কল্পনাবিরোধী ।
অতএব প্রমাণিত একটি সরল দ্বিঘাত করণী কখনও একটি মূলদ রাশি ও একটি দ্বিঘাত করণীর যোগফলের সমান হতে পারে না ।
অনুরূপে প্রমাণ করা যায় একটি সরল দ্বিঘাত করণী কখনও একটি মূলদ রাশি ও একটি দ্বিঘাত করণীর অন্তরফলের সমান হতে পারে না ।

3.  একটি সরল দ্বিঘাত করণী কখনও দুটি অসদৃশ সরল দ্বিঘাত করণীর যোগফল বা অন্তরফলের সমান হতে পারে না ।

মনে করি √(x) হল একটি সরল দ্বিঘাত করণী ।
ধরি $\sqrt x = \sqrt a + \sqrt b$
যেখানে √(a), √(b) হল দুটি অসদৃশ সরল দ্বিঘাত করণী ।
যেহেতু √(a), √(b) হল দুটি অসদৃশ সরল দ্বিঘাত করণী । তাই √(ab) ও করণী হবে । কিন্তু দেখা যাছে √(ab) একটি মূলদ সংখ্যা যা কল্পনাবিরোধী । অতএব প্রমাণিত একটি সরল দ্বিঘাত করণী কখনও দুটি অসদৃশ সরল দ্বিঘাত করণীর যোগফলের সমান হতে পারে না । অনুরূপে প্রমাণ করা যায় একটি সরল দ্বিঘাত করণী কখনও দুটি অসদৃশ সরল দ্বিঘাত করণীর অন্তরফলের সমান হতে পারে না ।

4. a ও x উভয়েই মূলদ রাশি, √(b)  ও √y  উভয়েই করণী এবং a + √b = x + √y হলে a = x ও b = y হবে ।

মনে করি a ও x সমান নয় ।
ধরি $x = a + m$, যেখানে m একটি মূলদ রাশি ।

অতএব $\begin{array}{l} a + \sqrt b = x + \sqrt y \\ \Rightarrow a + \sqrt b = a + m + \sqrt y \\\Rightarrow \sqrt b = m + \sqrt y \end{array}$
কিন্তু এটি অসম্ভব কারণ দ্বিঘাত করণীর দ্বিতীয় ধর্ম থেকে ।
অতএব a = x
আবার a = x হলে $a + \sqrt b = x + \sqrt y$  থেকে পাই, $\sqrt b = \sqrt y$ বা b = y