সামন্তরিকের চতুর্থ উপপাদ্য

Submitted by arpita pramanik on Thu, 08/27/2020 - 21:44

সামন্তরিকের চতুর্থ উপপাদ্য (Parallelogram Theorem)

কোনো চতুর্ভুজের বিপরীত কোণগুলি সমান হলে , চতুর্ভুজটি একটি সামন্তরিক হবে । 

 

প্রমাণ:

পারলে মনে করি ABCD চতুর্ভুজের [tex]\angle ABC = \angle ADC[/tex] এবং [tex]\angle BCD = \angle DAB[/tex]

আমাদের প্রমাণ করতে হবে ABCD চতুর্ভুজটি একটি সামন্তরিক হবে। 

প্রমাণ : যেহেতু চতুর্ভুজের চারটি কোণের যোগফল [tex]{360^ \circ }[/tex] 

অতএব ABCD চতুর্ভুজের 

[tex]\begin{array}{l}
\angle ABC + \angle BCD + \angle CDA + \angle DAB = {360^ \circ }\\
 \Rightarrow \angle ABC + \angle BCD + \angle ABC + \angle BCD = {360^ \circ }
\end{array}[/tex]

( যেহেতু [tex]\angle ABC = \angle ADC[/tex] এবং [tex]\angle BCD = \angle DAB[/tex] )

অতএব 

[tex]\begin{array}{l}
2\angle ABC + 2\angle BCD = {360^ \circ }\\
 \Rightarrow 2\left( {\angle ABC + \angle BCD} \right) = {360^ \circ }\\
 \Rightarrow \angle ABC + \angle BCD = {180^ \circ }
\end{array}[/tex]

অতএব AB ।। DC ( যেহেতু BC ছেদকের একই পাশে অন্তঃস্থ কোণের যোগফল [tex]{180^ \circ }[/tex] )

আবার যেহেতু [tex]\angle ABC + \angle BCD = {180^ \circ }[/tex]

[tex]\angle ADC + \angle BCD = {180^ \circ }[/tex] ( যেহেতু [tex]\angle ABC = \angle ADC[/tex] )

এখানেও CD ছেদকের একই পাশে অন্তঃস্থ কোণের যোগফল [tex]{180^ \circ }[/tex]

অতএব AD ।। BC 

অতএব ABCD একটি সামন্তরিক। 

 

প্রয়োগ : কোনো সামন্তরিকের চারটি কোণের সমদ্বিখণ্ডকগুলি পরস্পর মিলিত হয়ে একটি আয়তক্ষেত্র গঠন করবে। 

পারল মনে করি ABCD একটি সামন্তরিকের [tex]\angle A,\angle B,\angle C[/tex] এবং [tex]\angle D[/tex] কোণের সমদ্বিখণ্ডক গুলি যথাক্রমে AP , BR , CR ও DP পরস্পর মিলিত হয়ে PQRS চতুর্ভুজ গঠন করেছে। 

আমাদের প্রমাণ করতে হবে PQRS চতুর্ভুজটি হল একটি আয়তক্ষেত্র 

প্রমাণ : ABCD সামন্তরিকের AB ।। DC এবং AD হল ভেদক 

অতএব 

[tex]\begin{array}{l}
\angle BAD + \angle ADC = {180^ \circ }\\
 \Rightarrow \frac{1}{2}\angle BAD + \frac{1}{2}\angle ADC = \frac{1}{2} \times {180^ \circ }\\
 \Rightarrow \angle PAD + \angle PDA = {90^ \circ }
\end{array}[/tex]

সুতরাং ত্রিভুজ APD এর [tex]\angle PAD + \angle PDA = {90^ \circ }[/tex]

অতএব [tex]\angle APD = {180^ \circ } - {90^ \circ } = {90^ \circ }[/tex]

অনুরূপে প্রমাণ করা যায় [tex]\angle BRC = {90^ \circ },\angle ASB = {90^ \circ } = \angle RSP[/tex] এবং [tex]\angle CQD = {90^ \circ } = \angle RQP[/tex]

অতএব PQRS চতুর্ভুজের [tex]\angle PSR = \angle PQR = {90^ \circ }[/tex] এবং [tex]\angle SRQ = \angle SPQ = {90^ \circ }[/tex]

যেহেতু PQRS চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলি সমান , সুতরাং PQRS চতুর্ভুজটি হল একটি সামন্তরিক । 

আবার PQRS সামন্তরিকের প্রত্যেকটি কোণের মান [tex]{90^ \circ }[/tex] , সুতরাং PQRS সামন্তরিকটি হল একটি আয়তক্ষেত্র । 

*****

Comments

Related Items

লেখচিত্র (Graph)

লেখচিত্র বলতে কি বোঝায় এবং ইহার প্রয়োজনীয়তা সম্মন্ধে তাহাদের স্পষ্ট ধারণা থাকা আবশ্যক। প্রাত্যহিক জীবনে লেখচিত্রের ব্যবহার অপরিহার্য। রোগীর তাপমাত্রা হ্রাস বৃদ্ধি , শিল্প প্রতিষ্ঠানে উৎপাদন হার , দ্রব্যমূলের হ্রাস বৃদ্ধি ইত্যাদি বহু তথ্য

বীজগণিত - পূর্বপাঠের পুনরালোচনা

পূর্বপাঠের পুনরালোচনা - চিহ্ন সংক্রান্ত সূত্র (Formula of Sign) , সূচক নিয়মাবলী (Law of Indices), উৎপাদক ও সমাধান সংক্রান্ত নিয়মাবলী (Some Laws of Factor and Solution), বিভিন্ন সূত্রাবলি (Different Formula)

সূচকের নিয়মাবলি (Laws of Index)

কোনো সংখ্যাকে সেই সংখ্যা দ্বারা একাধিকবার গুণ করার প্রক্রিয়াকে প্রকাশ করা হয় সংখ্যাটির মাথার ডানদিকে সংখ্যাটিকে যত সংখ্যক বার গুণ করা হয়েছে সেই সংখ্যাটি বসিয়ে। এই প্রক্রিয়াকে সূচকের নিয়ম বলে।

ব্যাপকতর ত্রৈরাশিক (Rules of Three)

ত্রৈরাশিক পদ্ধতির প্রতিষ্ঠিত সূত্রটিকে সম্প্রসারিত আকারে ব্যবহার করাকে ব্যাপকতর ত্রৈরাশিক বলে। প্রতিটি বিষয়ের মান দুটি দিয়ে ভগ্নাংশ তৈরির ক্ষেত্রে ভগ্নাংশটি প্রকৃত না অপ্রকৃত হবে তার সিদ্ধান্ত নেবার সময় ধরে নিতে হবে যে অপর বিষয়গুলির মান অপরিবর্তিত থাকছে ।

পাটিগনিত - পূর্বপাঠের পুনরালোচনা

পূর্বপাঠের পুনরালোচনা- গড় (Mean), সরল গড়, গড় মানের চেয়ে মোট কমের পরিমান = গড় মানের চেয়ে মোট বেশীর পরিমান, গড়মানকে তথ্যগুলির কেন্দ্রীয় মান বা প্রতিনিধিত্ব মূলক মান হিসাবে ধরা হয়ে থাকে ...