সামন্তরিকের চতুর্থ উপপাদ্য

Submitted by arpita pramanik on Thu, 08/27/2020 - 21:44

সামন্তরিকের চতুর্থ উপপাদ্য (Parallelogram Theorem)

কোনো চতুর্ভুজের বিপরীত কোণগুলি সমান হলে , চতুর্ভুজটি একটি সামন্তরিক হবে । 

 

প্রমাণ:

পারলে মনে করি ABCD চতুর্ভুজের [tex]\angle ABC = \angle ADC[/tex] এবং [tex]\angle BCD = \angle DAB[/tex]

আমাদের প্রমাণ করতে হবে ABCD চতুর্ভুজটি একটি সামন্তরিক হবে। 

প্রমাণ : যেহেতু চতুর্ভুজের চারটি কোণের যোগফল [tex]{360^ \circ }[/tex] 

অতএব ABCD চতুর্ভুজের 

[tex]\begin{array}{l}
\angle ABC + \angle BCD + \angle CDA + \angle DAB = {360^ \circ }\\
 \Rightarrow \angle ABC + \angle BCD + \angle ABC + \angle BCD = {360^ \circ }
\end{array}[/tex]

( যেহেতু [tex]\angle ABC = \angle ADC[/tex] এবং [tex]\angle BCD = \angle DAB[/tex] )

অতএব 

[tex]\begin{array}{l}
2\angle ABC + 2\angle BCD = {360^ \circ }\\
 \Rightarrow 2\left( {\angle ABC + \angle BCD} \right) = {360^ \circ }\\
 \Rightarrow \angle ABC + \angle BCD = {180^ \circ }
\end{array}[/tex]

অতএব AB ।। DC ( যেহেতু BC ছেদকের একই পাশে অন্তঃস্থ কোণের যোগফল [tex]{180^ \circ }[/tex] )

আবার যেহেতু [tex]\angle ABC + \angle BCD = {180^ \circ }[/tex]

[tex]\angle ADC + \angle BCD = {180^ \circ }[/tex] ( যেহেতু [tex]\angle ABC = \angle ADC[/tex] )

এখানেও CD ছেদকের একই পাশে অন্তঃস্থ কোণের যোগফল [tex]{180^ \circ }[/tex]

অতএব AD ।। BC 

অতএব ABCD একটি সামন্তরিক। 

 

প্রয়োগ : কোনো সামন্তরিকের চারটি কোণের সমদ্বিখণ্ডকগুলি পরস্পর মিলিত হয়ে একটি আয়তক্ষেত্র গঠন করবে। 

পারল মনে করি ABCD একটি সামন্তরিকের [tex]\angle A,\angle B,\angle C[/tex] এবং [tex]\angle D[/tex] কোণের সমদ্বিখণ্ডক গুলি যথাক্রমে AP , BR , CR ও DP পরস্পর মিলিত হয়ে PQRS চতুর্ভুজ গঠন করেছে। 

আমাদের প্রমাণ করতে হবে PQRS চতুর্ভুজটি হল একটি আয়তক্ষেত্র 

প্রমাণ : ABCD সামন্তরিকের AB ।। DC এবং AD হল ভেদক 

অতএব 

[tex]\begin{array}{l}
\angle BAD + \angle ADC = {180^ \circ }\\
 \Rightarrow \frac{1}{2}\angle BAD + \frac{1}{2}\angle ADC = \frac{1}{2} \times {180^ \circ }\\
 \Rightarrow \angle PAD + \angle PDA = {90^ \circ }
\end{array}[/tex]

সুতরাং ত্রিভুজ APD এর [tex]\angle PAD + \angle PDA = {90^ \circ }[/tex]

অতএব [tex]\angle APD = {180^ \circ } - {90^ \circ } = {90^ \circ }[/tex]

অনুরূপে প্রমাণ করা যায় [tex]\angle BRC = {90^ \circ },\angle ASB = {90^ \circ } = \angle RSP[/tex] এবং [tex]\angle CQD = {90^ \circ } = \angle RQP[/tex]

অতএব PQRS চতুর্ভুজের [tex]\angle PSR = \angle PQR = {90^ \circ }[/tex] এবং [tex]\angle SRQ = \angle SPQ = {90^ \circ }[/tex]

যেহেতু PQRS চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলি সমান , সুতরাং PQRS চতুর্ভুজটি হল একটি সামন্তরিক । 

আবার PQRS সামন্তরিকের প্রত্যেকটি কোণের মান [tex]{90^ \circ }[/tex] , সুতরাং PQRS সামন্তরিকটি হল একটি আয়তক্ষেত্র । 

*****

Comments

Related Items

আয়তক্ষেত্র, বর্গক্ষেত্র ও ত্রিভূজ

আয়তক্ষেত্র,বর্গক্ষেত্র ও ত্রিভূজ

সমবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য

সমবিন্দু সরলরেখা, ত্রিভুজের বাহুগুলির লম্বসমদ্বিখণ্ডকদ্বয় সমবিন্দু , ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু থেকে বিপরীত বাহুগুলির উপর অঙ্কিত লম্ব তিনটি সমবিন্দু , ত্রিভুজের কোণগুলির অন্তর্সমদ্বিখণ্ডক তিনটি সমবিন্দু। প্রমাণ করতে হবে একটি ত্রিভুজের দুটি কোণের বহিঃসমদ্বিখণ্ডক ...

জ্যামিতিক অঙ্কন - সম্পাদ্য

জ্যামিতিক অঙ্কন ---সম্পাদ্য

লগারিদম (Logarithm)

কোনো ধনাত্মক রাশি যদি অপর একটি ধনাত্মক রাশির ঘাতের সমান হয় , তবে ওই ধনাত্মক ঘাতের সূচককে ( Index of Power ) বলে প্রথম সারিটির লগারিদম (Logarithm) ।

ক্ষেত্রফল সংক্রান্ত উপপাদ্য

ক্ষেত্রফল হল কোনো ক্ষেত্রের পরিমাপ (Magnitude or measure). এই পরিমাপটি কোনো একক (Unit) সমেত প্রকাশ করা হয়। যেমন 50 বর্গ মিটার কোনো ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল। কোনো সমতলিক ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের ধর্ম , ক্ষেত্রফল সংক্রান্ত উপপাদ্য (Theorems of Area) ...