জটিল রাশির বীজগণিত (Algebra of Complex Numbers)
►(1) দুটি জটিল রাশির যোগফল একটি জটিল রাশি হয়
মনে করি [tex]{z_1} = {x_1} + i{y_1}[/tex] এবং [tex]{z_2} = {x_2} + i{y_2}[/tex] হল দুটি জটিল রাশি। যেখানে [tex]{x_1},{x_2},{y_1},{y_2}[/tex] হল বাস্তব ।
এই দুটি জটিল রাশির যোগফল হল
[tex]\begin{array}{l}
{z_1} + {z_2}\\
= \left( {{x_1} + i{y_1}} \right) + \left( {{x_2} + i{y_2}} \right)\\
= {x_1} + {x_2} + i{y_1} + i{y_2}\\
= \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + i\left( {{y_1} + {y_2}} \right)\\
= X + iY
\end{array}[/tex]
যেখানে [tex]X = {x_1} + {x_2},Y = {y_1} + {y_2}[/tex]
সুতরাং দুটি জটিল রাশির যোগফল হল একটি জটিল রাশি ।
►(2) [tex]z = x + iy[/tex] ( x , y বাস্তব ) একটি জটিল রাশি হলে [tex]\left( { - x} \right) + i\left( { - y} \right)[/tex] রাশিকে z জটিল রাশির ঋণাত্মক বলা হবে এবং উহাকে -z প্রতীক দ্বারা প্রকাশ করা হয় ।
►(3) দুটি জটিল রাশির বিয়োগফল একটি জটিল রাশি হয়
মনে করি [tex]{z_1} = {x_1} + i{y_1}[/tex] এবং [tex]{z_2} = {x_2} + i{y_2}[/tex] হল দুটি জটিল রাশি। যেখানে [tex]{x_1},{x_2},{y_1},{y_2}[/tex] হল বাস্তব ।
এই দুটি জটিল রাশির বিয়োগফল হল
[tex]\begin{array}{l}
{z_1} - {z_2}\\
= \left( {{x_1} + i{y_1}} \right) - \left( {{x_2} + i{y_2}} \right)\\
= {x_1} - {x_2} + i{y_1} - i{y_2}\\
= \left( {{x_1} - {x_2}} \right) + i\left( {{y_1} - {y_2}} \right)\\
= X + iY
\end{array}[/tex]
যেখানে [tex]X = {x_1} - {x_2},Y = {y_1} - {y_2}[/tex]
সুতরাং দুটি জটিল রাশির বিয়োগফল হল একটি জটিল রাশি ।
দুই এর অধিক সংখ্যক জটিল রাশি যোগফল বা বিয়োগফল একটি জটিল রাশি হবে ।
►(4) জটিল রাশির গুণফল একটি জটিল রাশি হবে
মনে করি [tex]{z_1} = {x_1} + i{y_1}[/tex] এবং [tex]{z_2} = {x_2} + i{y_2}[/tex] হল দুটি জটিল রাশি। যেখানে [tex]{x_1},{x_2},{y_1},{y_2}[/tex] হল বাস্তব ।
এই দুটি জটিল রাশির গুণফল হল
[tex]\begin{array}{l}
{z_1} \cdot {z_2}\\
= \left( {{x_1} + i{y_1}} \right) \cdot \left( {{x_2} + i{y_2}} \right)\\
= {x_1}{x_2} + i{x_1}{y_2} + i{y_1}{x_2} + {i^2}{y_1}{y_2}\\
= {x_1}{x_2} + {\left( {\sqrt { - 1} } \right)^2}{y_1}{y_2} + i\left( {{x_1}{y_2} + {y_1}{x_2}} \right)\\
= {x_1}{x_2} - {y_1}{y_2} + i\left( {{x_1}{y_2} + {y_1}{x_2}} \right)\\
= X + iY
\end{array}[/tex]
যেখানে [tex]X = {x_1}{x_2} - {y_1}{y_2},Y = {x_1}{y_2} + {y_1}{x_2}[/tex]
সুতরাং দুটি জটিল রাশির গুণফল হল একটি জটিল রাশি ।
►(5) জটিল রাশির ভাগফল একটি জটিল রাশি হবে
মনে করি [tex]{z_1} = {x_1} + i{y_1}[/tex] এবং [tex]{z_2} = {x_2} + i{y_2}[/tex] হল দুটি জটিল রাশি। যেখানে [tex]{x_1},{x_2},{y_1},{y_2}[/tex] হল বাস্তব ।
দুটি জটিল রাশির ভাগফল
[tex]\begin{array}{l}
\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}}\\
= \frac{{{x_1} + i{y_1}}}{{{x_2} + i{y_2}}}\\
= \frac{{\left( {{x_1} + i{y_1}} \right)\left( {{x_2} - i{y_2}} \right)}}{{\left( {{x_2} + i{y_2}} \right)\left( {{x_2} - i{y_2}} \right)}}\\
= \frac{{{x_1}{x_2} - i{x_1}{y_2} + i{y_1}{x_2} - {i^2}{y_1}{y_2}}}{{{{\left( {{x_2}} \right)}^2} - {{\left( {i{y_2}} \right)}^2}}}\\
= \frac{{{x_1}{x_2} - {{\left( {\sqrt { - 1} } \right)}^2}{y_1}{y_2} + i\left( {{y_1}{x_2} - {x_1}{y_2}} \right)}}{{{{\left( {{x_2}} \right)}^2} - {{\left( {\sqrt { - 1} } \right)}^2}{{\left( {{y_2}} \right)}^2}}}\\
= \frac{{{x_1}{x_2} + {y_1}{y_2} + i\left( {{y_1}{x_2} - {x_1}{y_2}} \right)}}{{{{\left( {{x_2}} \right)}^2} + {{\left( {{y_2}} \right)}^2}}}\\
= \frac{{{x_1}{x_2} + {y_1}{y_2}}}{{{{\left( {{x_2}} \right)}^2} + {{\left( {{y_2}} \right)}^2}}} + i\frac{{{y_1}{x_2} - {x_1}{y_2}}}{{{{\left( {{x_2}} \right)}^2} + {{\left( {{y_2}} \right)}^2}}}\\
= X + iY
\end{array}[/tex]
যেখানে [tex]X = \frac{{{x_1}{x_2} + {y_1}{y_2}}}{{{{\left( {{x_2}} \right)}^2} + {{\left( {{y_2}} \right)}^2}}},Y = \frac{{{y_1}{x_2} - {x_1}{y_2}}}{{{{\left( {{x_2}} \right)}^2} + {{\left( {{y_2}} \right)}^2}}}[/tex]
সুতরাং দুটি জটিল রাশির ভাগফল হল একটি জটিল রাশি ।
►(6) একটি জটিল রাশির যেকোনো অখন্ড ঘাত একটি জটিল রাশি হয়
মনে করি [tex]z = x + iy[/tex] , যেখানে x , y হল বাস্তব এবং n হল একটি অখন্ড সংখ্যা ।
এখন n = ধনাত্মক অখন্ড সংখ্যা হলে , [tex]{z^n} = z \cdot z \cdot z \cdot ......n[/tex] সংখ্যক উৎপাদক পর্যন্ত ।
= (x + iy) . (x + iy) . (x + iy) ...............n সংখ্যক উৎপাদক পর্যন্ত
= X + iY
[ দুই বা ততোধিক রাশির গুণফলকে X + iY আকারে প্রকাশ করা যায় , যেখানে X এবং Y বাস্তব ]
আবার , n = ঋণাত্মক অখন্ড সংখ্যা = -m [ যেখানে m = ধনাত্মক অখন্ড সংখ্যা ] হলে
[tex]{z^n} = {z^{ - m}} = \frac{1}{{{z^m}}} = \frac{1}{{A + iB}}[/tex] , যেখানে A ও B বাস্তব ।
[tex] = \frac{{A - iB}}{{{A^2} + {B^2}}} = X + iY[/tex]
যেখানে [tex]X = \frac{A}{{{A^2} + {B^2}}}[/tex] এবং [tex]Y = \frac{B}{{{A^2} + {B^2}}}[/tex] এবং এরা বাস্তব ।
সুতরাং একটি জটিল রাশির যেকোনো অখন্ড ঘাত একটি জটিল রাশি ।
►(7) একটি জটিল রাশির যেকোনো মূল একটি জটিল রাশি হয়
মনে করি [tex]z = x + iy[/tex] , যেখানে [tex]\left( {x \ne 0,y \ne 0} \right)[/tex] হল বাস্তব এবং z এর n তম মূল a হলে যেখানে n একটি অখন্ড সংখ্যা ।
অর্থাৎ [tex]\sqrt[n]{z} = a \Rightarrow z = {a^n} \Rightarrow x + iy = {a^n}[/tex] .........(i)
এখানে [tex]x \ne 0,y \ne 0[/tex] বলে (i) সম্পর্ক সিদ্ধ হতে হলে a এর মান X + iY আকারে প্রকাশ করতে হবে। যেখানে X , Y বাস্তব এবং [tex]X \ne 0,Y \ne 0[/tex]
(i) নং সমীকরণ থেকে দেখা যাচ্ছে a এর মান বিশুদ্ধ বাস্তব হলে ডানপক্ষ বিশুদ্ধ বাস্তব হবে এবং a এর মান বিশুদ্ধ কাল্পনিক রাশি হলে ডানপক্ষ বিশুদ্ধ বাস্তব বা বিশুদ্ধ কাল্পনিক রাশি হয়। কিন্তু বামপক্ষ x + iy আকারের জটিল রাশি বলে a এর মান বিশুদ্ধ কাল্পনিক বা বিশুদ্ধ বাস্তব না হয়ে X + iY আকারের জটিল রাশি হবে। যেখানে X , Y বাস্তব এবং [tex]X \ne 0,Y \ne 0[/tex] .
সুতরাং একটি জটিল রাশির যেকোনো মূল একটি জটিল রাশি হবে ।
