জটিল রাশির কয়েকটি ধর্ম (A Few Properties of Complex Numbers)
(1) x , y বাস্তব এবং x + iy = 0 হলে x = 0 এবং y = 0 হবে ।
প্রমাণ :- x + iy = 0 = 0 + i0
জটিল রাশির সমতা থেকে পাই x = 0 , y = 0 .
(2) x , y , p , q বাস্তব এবং x + iy = p + iq হলে x = p এবং y = q হবে ।
প্রমাণ :-
[tex]\begin{array}{l}
x + iy = p + iq\\
\Rightarrow \left( {x - p} \right) = i\left( {q - y} \right)
\end{array}[/tex]
উভয়দিকে বর্গ করে পাই
[tex]\begin{array}{l}
\Rightarrow {\left( {x - p} \right)^2} = {\left\{ {i\left( {q - y} \right)} \right\}^2}\\
\Rightarrow {\left( {x - p} \right)^2} = {i^2}{\left( {q - y} \right)^2}\\
\Rightarrow {\left( {x - p} \right)^2} = - {\left( {q - y} \right)^2}\\
\Rightarrow {\left( {x - p} \right)^2} + {\left( {q - y} \right)^2} = 0...........\left( i \right)
\end{array}[/tex]
x , y , p , q বাস্তব তাই [tex]{\left( {x - p} \right)^2}[/tex] এবং [tex]{\left( {q - y} \right)^2}[/tex] এর মান কখনও ঋণাত্মক হতে পারেনা। অতএব (i) নং সমীকরণ সিদ্ধ হবে যখন
[tex]\begin{array}{l}
{\left( {x - p} \right)^2} + {\left( {q - y} \right)^2} = 0\\
\Rightarrow {\left( {x - p} \right)^2} = 0,{\left( {q - y} \right)^2} = 0
\end{array}[/tex]
[tex]\begin{array}{l}
{\left( {x - p} \right)^2} = 0\\
\Rightarrow x - p = 0\\
\Rightarrow x = p
\end{array}[/tex]
[tex]\begin{array}{l}
{\left( {q - y} \right)^2} = 0\\
\Rightarrow q - y = 0\\
\Rightarrow q = y
\end{array}[/tex]
(3) বাস্তব সংখ্যার ন্যায় জটিল রাশি যোগ ও গুণ সাপেক্ষে বিনিময় (Commutative), সংযোগ (Associative) এবং বিচ্ছেদ (Distributive) নিয়ম মেনে চলে ।
যদি [tex]{z_1},{z_2},{z_3}[/tex] তিনটি জটিল রাশি হয় তাহলে
1. [tex]{z_1} + {z_2} = {z_2} + {z_1};{z_1}{z_2} = {z_2}{z_1}[/tex] [ বিনিময় নিয়ম ]
2. [tex]\left( {{z_1} + {z_2}} \right) + {z_3} = {z_1} + \left( {{z_2} + {z_3}} \right);\left( {{z_1} \cdot {z_2}} \right) \cdot {z_3} = {z_1} \cdot \left( {{z_2} \cdot {z_3}} \right)[/tex] [ সংযোগ নিয়ম ]
3. [tex]{z_1}\left( {{z_2} + {z_3}} \right) = {z_1}{z_2} + {z_1}{z_3}[/tex] [ বিচ্ছেদ নিয়ম ]
(4) দুটি পরস্পর অনুবন্দি জটিল রাশির যোগফল ও গুণফল উভয়ই বিশুদ্ধ বাস্তব রাশি ।
প্রমাণ :- মনে করি z = x + iy একটি জটিল রাশি। যেখানে x ও y বাস্তব ।
অতএব এর অনুবন্দি জটিল রাশি হবে [tex]\overline z = x - iy[/tex]
এখন ওদের যোগফল হল
[tex]\begin{array}{l}
z + \overline z \\
= \left( {x + iy} \right) + \left( {x - iy} \right)\\
= 2x
\end{array}[/tex]
যা একটি বাস্তব রাশি ।
আবার ওদের গুণফল হল
[tex]\begin{array}{l}
z \cdot \overline z \\
= \left( {x + iy} \right) \cdot \left( {x - iy} \right)\\
= {x^2} - ixy + ixy - {\left( {iy} \right)^2}\\
= {x^2} - \left( { - 1} \right){y^2}\\
= {x^2} + {y^2}
\end{array}[/tex]
যা একটি বাস্তব রাশি ।
(5) দুটি জটিল রাশির যোগফল ও গুণফল উভয়ই বাস্তব হলে জটিল রাশি দুটি অনুবন্দি হবেই ।
প্রমাণ :- মনে করি [tex]{z_1} = {x_1} + i{y_1}[/tex] এবং [tex]{z_2} = {x_2} + i{y_2}[/tex] দুটি জটিল রাশি। যেখানে [tex]{x_1},{y_1},{x_2},{y_2}[/tex] হল বাস্তব এবং উহাদের যোগফল ও গুণফল উভয়ই বাস্তব ।
এখন
[tex]{z_1} + {z_2} = \left( {{x_1} + i{y_1}} \right) + \left( {{x_2} + i{y_2}} \right) = \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + i\left( {{y_1} + {y_2}} \right).......\left( i \right)[/tex]
[tex]{z_1} \cdot {z_2} = \left( {{x_1} + i{y_1}} \right) \cdot \left( {{x_2} + i{y_2}} \right) = \left( {{x_1}{x_2} - {y_1}{y_2}} \right) + i\left( {{x_2}{y_1} + {x_1}{y_2}} \right)........\left( {ii} \right)[/tex]
প্রশ্নানুযায়ী (i) এবং (ii) হল বিশুদ্ধ বাস্তব। সুতরাং
[tex]{y_1} + {y_2} = 0[/tex] ..........(iii)
এবং
[tex]{x_2}{y_1} + {x_1}{y_2} = 0[/tex] ........(iv)
সমীকরণ (iii) এবং (iv) থেকে পাই
[tex]\begin{array}{l}
{y_1} + {y_2} = 0\\
\Rightarrow {y_1} = - {y_2}.......(v)
\end{array}[/tex]
(v) এবং (iv) থেকে পাই
[tex]\begin{array}{l}
{x_2}{y_1} + {x_1}{y_2} = 0\\
\Rightarrow {x_2}\left( { - {y_2}} \right) + {x_1}{y_2} = 0\\
\Rightarrow {x_1} - {x_2} = 0\\
\left[ {{y_2} \ne 0} \right]\\
\Rightarrow {x_1} = {x_2}
\end{array}[/tex]
সুতরাং
[tex]{z_1} = {x_1} + i{y_1} = {x_2} - i{y_2} = \overline {{z_2}} [/tex]
অর্থাৎ [tex]{z_1},{z_2}[/tex] পরস্পরের অনুবন্দি।
(6) [tex]{z_1},{z_2}[/tex] দুটি জটিল রাশি হলে [tex]\left| {{z_1} + {z_2}} \right| \le \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|[/tex]
প্রমাণ :- মনে করি
[tex]\begin{array}{l}
{z_1} = {r_1}\left( {\cos {\theta _1} + i\sin {\theta _1}} \right)\\
{z_2} = {r_2}\left( {\cos {\theta _2} + i\sin {\theta _2}} \right)
\end{array}[/tex]
অতএব [tex]\left| {{z_1}} \right| = {r_1}[/tex] এবং [tex]\left| {{z_2}} \right| = {r_2}[/tex]
আবার
[tex]\begin{array}{l}
{z_1} + {z_2}\\
= {r_1}\left( {\cos {\theta _1} + i\sin {\theta _1}} \right) + {r_2}\left( {\cos {\theta _2} + i\sin {\theta _2}} \right)\\
= \left( {{r_1}\cos {\theta _1} + {r_2}\cos {\theta _2}} \right) + i\left( {{r_1}\sin {\theta _1} + {r_2}\sin {\theta _2}} \right)
\end{array}[/tex]
অতএব
[tex]\begin{array}{l}
\left| {{z_1} + {z_2}} \right|\\
= \left| {\left( {{r_1}\cos {\theta _1} + {r_2}\cos {\theta _2}} \right) + i\left( {{r_1}\sin {\theta _1} + {r_2}\sin {\theta _2}} \right)} \right|\\
= \sqrt {{{\left( {{r_1}\cos {\theta _1} + {r_2}\cos {\theta _2}} \right)}^2} + {{\left( {{r_1}\sin {\theta _1} + {r_2}\sin {\theta _2}} \right)}^2}} \\
= \sqrt {{r_1}^2{{\cos }^2}{\theta _1} + {r_2}^2{{\cos }^2}{\theta _2} + {r_1}^2{{\sin }^2}{\theta _1} + {r_2}^2{{\sin }^2}{\theta _2} + 2{r_1}{r_2}\left( {\cos {\theta _1}\cos {\theta _2} + \sin {\theta _1}\sin {\theta _2}} \right)} \\
= \sqrt {{r_1}^2\left( {{{\cos }^2}{\theta _1} + {{\sin }^2}{\theta _1}} \right) + {r_2}^2\left( {{{\cos }^2}{\theta _2} + {{\sin }^2}{\theta _2}} \right) + 2{r_1}{r_2}\cos \left( {{\theta _1} - {\theta _2}} \right)} \\
= \sqrt {{r_1}^2 + {r_2}^2 + 2{r_1}{r_2}\cos \left( {{\theta _1} - {\theta _2}} \right)}
\end{array}[/tex]
এখন [tex]\left| {\cos \left( {{\theta _1} - {\theta _2}} \right)} \right| \le 1[/tex]
অতএব
[tex]\begin{array}{l}
\left| {{z_1} + {z_2}} \right| \le \sqrt {{r_1}^2 + {r_2}^2 + 2{r_1}{r_2}} \\
\Rightarrow \left| {{z_1} + {z_2}} \right| \le {r_1} + {r_2}\\
\Rightarrow \left| {{z_1} + {z_2}} \right| \le \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|
\end{array}[/tex]
[ যেকোনো n সংখ্যক জটিল রাশির ক্ষেত্রে এটি প্রযোজ্য হবে , অর্থাৎ
[tex]\left| {{z_1} + {z_2} + {z_3} + ...... + {z_n}} \right| \le \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| + \left| {{z_3}} \right| + ........ + \left| {{z_n}} \right|[/tex]]
