গুণনীয়ক উপপাদ্য (Factor Theorem)
যদি f(x) কোনো একটি বহুপদী সংখ্যামালা যার মাত্রা [tex]n\left( {n \ge 1} \right)[/tex] এবং a যেকোনো একটি বাস্তব সংখ্যা হয় , তাহলে
- ( x-a ) , f(x) এর একটি উৎপাদক হবে , যদি f(a) = 0 হয়
- বিপরীতক্রমে f(a) = 0 হবে , যদি ( x-a ) , f(x) এর একটি উৎপাদক হয়
প্রমাণ : ভাগশেষ উপপাদ্য থেকে বলতে পারি, একটি বহুপদী সংখ্যামালা f(x) কে ( x-a ) দিয়ে ভাগ করলে একটি বহুপদী সংখ্যামালা q(x) পাবো যাতে [tex]f\left( x \right) = \left( {x - a} \right)q\left( x \right) + f\left( a \right)[/tex]
(i) যদি f(a) = 0 হয় , তবে [tex]f\left( x \right) = \left( {x - a} \right)q\left( x \right)[/tex] পাবো ।
অতএব ( x-a ) , f(x) এর একটি উৎপাদক হবে ।
(ii) আবার যদি ( x-a ) , f(x) এর একটি উৎপাদক হয় তাহলে একটি বহুপদী সংখ্যামালা g(x) পাবো যাতে [tex]f\left( x \right) = \left( {x - a} \right)g\left( x \right)[/tex] হবে ।
x = a বসিয়ে পাবো [tex]f\left( a \right) = \left( {a - a} \right)g\left( a \right) = 0[/tex] ( প্রমাণিত )
উদাহরণ : k এর মান কত হলে [tex]\left( {3x - 2} \right)[/tex] , [tex]15{x^2} - kx - 14[/tex] এর একটি উৎপাদক হবে ?
মনে করি [tex]f\left( x \right) = 15{x^2} - kx - 14[/tex]
এখন [tex]3x - 2 = 0 \Rightarrow x = \frac{2}{3}[/tex]
অর্থাৎ [tex]\left( {3x - 2} \right)[/tex] রৈখিক বহুপদী সংখ্যামালার শূন্য [tex]\frac{2}{3}[/tex]
যেহেতু [tex]\left( {3x - 2} \right)[/tex] , [tex]15{x^2} - kx - 14[/tex] এর একটি উৎপাদক
অতএব [tex]f\left( {\frac{2}{3}} \right) = 0[/tex]
অতএব
[tex]\begin{array}{l}
15{\left( {\frac{2}{3}} \right)^2} - k\left( {\frac{2}{3}} \right) - 14 = 0\\
\Rightarrow 15 \times \frac{4}{9} - \frac{2}{3}k - 14 = 0\\
\Rightarrow \frac{{20}}{3} - \frac{2}{3}k - 14 = 0\\
\Rightarrow 20 - 42 - 2k = 0\\
\Rightarrow 2k = - 22\\
\Rightarrow k = - 11\\
\end{array}[/tex]
অতএব k = -11 হলে , [tex]\left( {3x - 2} \right)[/tex] , [tex]15{x^2} - kx - 14[/tex] এর একটি উৎপাদক হবে ।
উদাহরণ : n , যেকোনো যুগ্ম ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা হলে দেখাই যে [tex]{x^n} - {y^n}[/tex] বহুপদী সংখ্যামালাটির একটি উৎপাদক হবে x+y ।
মনে করি [tex]{x^n} - {y^n}[/tex] কে x+y দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল Q এবং x বর্জিত ভাগশেষ R
ভাজ্য = ভাজক [tex] \times [/tex] ভাগফল +ভাগশেষ
অতএব [tex]{x^n} - {y^n} = \left( {x + y} \right)Q + R[/tex] ( এটি একটি অভেদ )
যেহেতু R ভাগশেষটি x বর্জিত , সুতরাং x এর মান যাই হোকনা কেন তাতে R এর মান পরিবর্তিত হবেনা। তাই উপরের অভেদে x এর জায়গায় (-y) লিখে পাই
[tex]\begin{array}{l}
{\left( { - y} \right)^n} - {y^n} = \left( { - y + y} \right)Q + R\\
\Rightarrow {y^n} - {y^n} = R\\
\Rightarrow R = 0
\end{array}[/tex]
( যেহেতু n যুগ্ম ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা তাই [tex]{\left( { - y} \right)^n} = {y^n}[/tex] )
সুতরাং [tex]{x^n} - {y^n}[/tex] বহুপদী সংখ্যামালাটির একটি উৎপাদক হবে x+y যখন n একটি যুগ্ম ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা ।
*****
