সামন্তরিকের পঞ্চম উপপাদ্য (Parallelogram Theorem)
সামন্তরিকের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
প্রমাণ:
মনে করি ABCD একটি সামন্তরিক। এখানে AB ।। DC এবং AD ।। BC . AC এবং BD কর্ণদ্বয় পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করেছে।
আমাদের প্রমাণ করতে হবে AO = CO এবং BO = DO
প্রমাণ : ত্রিভুজ AOB এবং ত্রিভুজ COD এর
AB = DC
[tex]\angle ABO = \angle CDO[/tex] যেহেতু এরা একান্তর কোণ
[tex]\angle BAO = \angle DCO[/tex] যেহেতু এরা একান্তর কোণ
অতএব ত্রিভুজ AOB [tex] \cong [/tex] ত্রিভুজ COD
অতএব AO = CO ( সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু )
এবং BO = OD ( সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু )
অর্থাৎ O হল AC এবং BD কর্ণদ্বয়ের মধ্যবিন্দু।
প্রয়োগ : রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখন্ডিত করে।
মনে করি ABCD একটি রম্বস এর AC এবং BD কর্ণদ্বয় পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করেছে।
আমাদের প্রমাণ করতে হবে AO = CO , BO = DO এবং [tex]\angle AOB = {90^ \circ }[/tex]
প্রমাণ : যেহেতু রম্বস একটি সামন্তরিক সুতরাং তার কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখন্ডিত করবে।
অর্থাৎ AO = CO এবং BO = DO হবে।
ত্রিভুজ AOB এবং ত্রিভুজ BOC এর
AB = BC
OB সাধারণ বাহু
AO = CO
অতএব ত্রিভুজ AOB [tex] \cong [/tex] ত্রিভুজ BOC
অতএব [tex]\angle AOB = \angle BOC[/tex]
এখন
[tex]\begin{array}{l}
\angle AOB + \angle BOC = {180^ \circ }\\
\Rightarrow 2\angle AOB = {180^ \circ }\\
\Rightarrow \angle AOB = {90^ \circ }
\end{array}[/tex]
অতএব রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখন্ডিত করে।
ABCD সামন্তরিকের [tex]\angle BAD[/tex] ও [tex]\angle BCD[/tex] কোণের সমদ্বিখণ্ডক দুটি DC এবং AB বাহুকে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করতে হবে যে PAQC একটি সামন্তরিক।
ABCD সামন্তরিকের [tex]\angle BAD[/tex] ও [tex]\angle BCD[/tex] কোণের সমদ্বিখণ্ডক দুটি DC এবং AB বাহুকে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রমাণ করতে হবে PAQC একটি সামন্তরিক।
প্রমাণ : ABCD সামান্তরিকের DC ।। AB এবং AP হল ছেদক।
সুতরাং [tex]\angle DPA = [/tex]একান্তর [tex]\angle PAQ[/tex]
আবার [tex]\angle PAQ = \frac{1}{2}\angle DAB[/tex]
[tex] \Rightarrow \angle PAQ = \frac{1}{2}\angle DCB[/tex] ( যেহেতু [tex]\angle DAB = \angle DCB[/tex] )
[tex] \Rightarrow \angle PAQ = \angle PCQ[/tex] ( যেহেতু [tex]\frac{1}{2}\angle DCB = \angle PCQ[/tex] )
[tex] \Rightarrow \angle DPA = \angle PCQ[/tex]
কিন্তু [tex]\angle DPA[/tex] ও [tex]\angle PCQ[/tex] হল অনুরূপ কোন এবং DC হল ছেদক।
অতএব PA ।। CQ
আবার AQ ।। PC ( যেহেতু সামান্তরিকের বিপরীত বাহু AB ।। DC )
APCQ চতুর্ভুজের PA ।। CQ ও AQ ।। PC .
সুতরাং APCQ একটি সামন্তরিক।
প্রমাণ করতে হবে যে দুটি সমান্তরাল সরলরেখা ও তাদের একটি ছেদকের অন্তর্ভুক্ত অন্তঃকোণ গুলির সমদ্বিখন্ডকগুলি একটি আয়তকার চিত্র উৎপন্ন করে।
মনে করি AB ও CD দুটি সমান্তরাল সরলরেখাকে PQ ছেদক যথাক্রমে E ও F বিন্দুতে ছেদ করেছে। EG ও EH যথাক্রমে [tex]\angle BEF[/tex] ও [tex]\angle AEF[/tex] কোণ দুটিকে এবং FG ও FH যথাক্রমে [tex]\angle DFE[/tex] ও [tex]\angle CFE[/tex] কোণ দুটিকে সমদ্বিখন্ডিত করেছে।
প্রমাণ করতে হবে EHFG একটি আয়তক্ষেত্র।
প্রমাণ : [tex]\angle AEF = [/tex] একান্তর [tex]\angle EFD[/tex] ( যেহেতু AB ।। CD এবং EF ছেদক )
সুতরাং , [tex]\frac{1}{2}\angle AEF = \frac{1}{2}\angle EFD[/tex]
অতএব [tex]\angle HEF = \angle EFG[/tex] কিন্তু এরা একান্তর কোণ।
অতএব HE ।। FG
অনুরূপে HF ।। GE
অতএব EHFG একটি সামন্তরিক ।
আবার [tex]\angle HEG = \frac{1}{2}\left( {\angle AEF + \angle BEF} \right) = \frac{1}{2} \times 2 \times {90^ \circ }[/tex]
অতএব [tex]\angle HEG = {90^ \circ }[/tex]
সুতরাং EHFG একটি আয়তক্ষেত্র ।
*****
