সামন্তরিকের চতুর্থ উপপাদ্য

সামন্তরিকের চতুর্থ উপপাদ্য (Parallelogram Theorem)

কোনো চতুর্ভুজের বিপরীত কোণগুলি সমান হলে , চতুর্ভুজটি একটি সামন্তরিক হবে । 

প্রমাণ:

মনে করি ABCD চতুর্ভুজের $\angle ABC = \angle ADC$ এবং $\angle BCD = \angle DAB$

আমাদের প্রমাণ করতে হবে ABCD চতুর্ভুজটি একটি সামন্তরিক হবে। 

প্রমাণ : যেহেতু চতুর্ভুজের চারটি কোণের যোগফল ${360^ \circ }$ 

অতএব ABCD চতুর্ভুজের 

$\begin{array}{l} \angle ABC + \angle BCD + \angle CDA + \angle DAB = {360^ \circ }\\  \Rightarrow \angle ABC + \angle BCD + \angle ABC + \angle BCD = {360^ \circ } \end{array}$

( যেহেতু $\angle ABC = \angle ADC$ এবং $\angle BCD = \angle DAB$ )

অতএব 

$\begin{array}{l} 2\angle ABC + 2\angle BCD = {360^ \circ }\\  \Rightarrow 2\left( {\angle ABC + \angle BCD} \right) = {360^ \circ }\\  \Rightarrow \angle ABC + \angle BCD = {180^ \circ } \end{array}$

অতএব AB ।। DC ( যেহেতু BC ছেদকের একই পাশে অন্তঃস্থ কোণের যোগফল ${180^ \circ }$ )

আবার যেহেতু $\angle ABC + \angle BCD = {180^ \circ }$

$\angle ADC + \angle BCD = {180^ \circ }$ ( যেহেতু $\angle ABC = \angle ADC$ )

এখানেও CD ছেদকের একই পাশে অন্তঃস্থ কোণের যোগফল ${180^ \circ }$

অতএব AD ।। BC 

অতএব ABCD একটি সামন্তরিক। 

প্রয়োগ : কোনো সামন্তরিকের চারটি কোণের সমদ্বিখণ্ডকগুলি পরস্পর মিলিত হয়ে একটি আয়তক্ষেত্র গঠন করবে। 

মনে করি ABCD একটি সামন্তরিকের $\angle A,\angle B,\angle C$ এবং $\angle D$ কোণের সমদ্বিখণ্ডক গুলি যথাক্রমে AP , BR , CR ও DP পরস্পর মিলিত হয়ে PQRS চতুর্ভুজ গঠন করেছে। 

আমাদের প্রমাণ করতে হবে PQRS চতুর্ভুজটি হল একটি আয়তক্ষেত্র 

প্রমাণ : ABCD সামন্তরিকের AB ।। DC এবং AD হল ভেদক 

অতএব 

$\begin{array}{l} \angle BAD + \angle ADC = {180^ \circ }\\  \Rightarrow \frac{1}{2}\angle BAD + \frac{1}{2}\angle ADC = \frac{1}{2} \times {180^ \circ }\\  \Rightarrow \angle PAD + \angle PDA = {90^ \circ } \end{array}$

সুতরাং ত্রিভুজ APD এর $\angle PAD + \angle PDA = {90^ \circ }$

অতএব $\angle APD = {180^ \circ } - {90^ \circ } = {90^ \circ }$

অনুরূপে প্রমাণ করা যায় $\angle BRC = {90^ \circ },\angle ASB = {90^ \circ } = \angle RSP$ এবং $\angle CQD = {90^ \circ } = \angle RQP$

অতএব PQRS চতুর্ভুজের $\angle PSR = \angle PQR = {90^ \circ }$ এবং $\angle SRQ = \angle SPQ = {90^ \circ }$

যেহেতু PQRS চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলি সমান , সুতরাং PQRS চতুর্ভুজটি হল একটি সামন্তরিক । 

আবার PQRS সামন্তরিকের প্রত্যেকটি কোণের মান ${90^ \circ }$ , সুতরাং PQRS সামন্তরিকটি হল একটি আয়তক্ষেত্র । 

*****