ভাগশেষ উপপাদ্য

Submitted by arpita pramanik on Sat, 08/29/2020 - 23:42

ভাগশেষ উপপাদ্য (Remainder Theorem)

f(x) একটি বহুপদী সংখ্যামালা যার মাত্রা [tex]n\left( {n \ge 1} \right)[/tex] এবং a যেকোনো একটি বাস্তব সংখ্যা । f(x) কে ( x-a ) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হবে f(a) ।

প্রমাণ : মনে করি f(x) একটি বহুপদী সংখ্যামালা । 

f(x) কে ( x-a ) দ্বারা ভাগ করলে অনন্য ভাগফল q(x) এবং অনন্য ভাগশেষ r(x) পাই । 

অতএব [tex]f\left( x \right) = \left( {x - a} \right)q\left( x \right) + r\left( x \right)..........(i)[/tex]

r(x) এর মাত্রা ( x-a ) এর মাত্রা অপেক্ষা সর্বদা কম হবে। এখানে দেখা যাচ্ছে ( x-a ) এর মাত্রা হল 1 ।

অতএব r(x) এর মাত্রা এর মাত্রা হবে শূন্য । 

অতএব r(x) একটি  ধ্রূবক । 

মনে করি r(x) = R 

অতএব (i) নং থেকে পাই 

[tex]f\left( x \right) = \left( {x - a} \right)q\left( x \right) + R[/tex] ( এটি একটি অভেদ )

x = a বসিয়ে পাই 

[tex]\begin{array}{l}
f\left( a \right) = \left( {a - a} \right)q\left( a \right) + R\\
 \Rightarrow f\left( a \right) = R
\end{array}[/tex]

( প্রমাণিত )

 

উদাহরণ : [tex]f\left( x \right) = {x^3} - 2{x^2} + 6x - 1[/tex] বহুপদী সংখ্যামালাকে ( x - 2 ) দিয়ে ভাগ করলে কি ভাগশেষ পাওয়া যায় ?

এখন [tex]x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2[/tex]

অতএব ( x - 2 ) বহুপদী সংখ্যামালা শূন্য হবে যখন x = 2 হবে । 

ভাগশেষ উপপাদ্য থেকে আমরা জানি [tex]f\left( x \right) = {x^3} - 2{x^2} + 6x - 1[/tex] কে ( x - 2 ) দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ হবে f(2) .

অতএব নির্ণেয় ভাগশেষ 

[tex]\begin{array}{l}
f\left( 2 \right)\\
 = {2^3} - 2 \times {2^2} + 6 \times 2 - 1\\
 = 8 - 8 + 12 - 1\\
 = 11
\end{array}[/tex]

 

উদাহরণ : ( x-2 ) , [tex]f\left( x \right) = {x^3} - x - 6[/tex] এই বহুপদী রাশিমালার উৎপাদক কিনা পরীক্ষা করি । 

এখন [tex]x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2[/tex]

অতএব ( x - 2 ) বহুপদী সংখ্যামালা শূন্য হবে যখন x = 2 হবে । 

ভাগশেষ উপপাদ্য থেকে আমরা জানি [tex]f\left( x \right) = {x^3} - x - 6[/tex] কে ( x - 2 ) দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ হবে f(2) .

অতএব নির্ণেয় ভাগশেষ 

[tex]\begin{array}{l}
f\left( 2 \right)\\
 = {2^3} - 2 - 6\\
 = 8 - 8\\
 = 0
\end{array}[/tex]

সুতরাং দেখা যাচ্ছে ভাগশেষ শূন্য । 

অতএব  ( x-2 ) , [tex]f\left( x \right) = {x^3} - x - 6[/tex] এই বহুপদী রাশিমালার উৎপাদক । 

 

উদাহরণ : যদি [tex]a{x^2} + 3x - 5[/tex] এবং [tex]{x^2} - 2x + a[/tex] বহুপদী সংখ্যামালাদ্বয়কে ( x-3 ) দ্বারা ভাগ করলে একই ভাগশেষ থাকে তবে a এর মান নির্ণয় করো । 

মনে করি [tex]f\left( x \right) = a{x^2} + 3x - 5[/tex] এবং [tex]g\left( x \right) = {x^2} - 2x + a[/tex]

f(x) কে ( x-3 ) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ পাই 

[tex]\begin{array}{l}
f\left( 3 \right)\\
 = a \times {3^2} + 3 \times 3 - 5\\
 = 9a + 9 - 5\\
 = 9a + 4
\end{array}[/tex]

g(x) কে ( x-3 ) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ পাই 

[tex]\begin{array}{l}
g\left( 3 \right)\\
 = {3^2} - 2 \times 3 + a\\
 = 9 - 6 + a\\
 = 3 + a
\end{array}[/tex]

প্রশ্নানুসারে 

[tex]\begin{array}{l}
9a + 4 = 3 + a\\
 \Rightarrow 8a =  - 1\\
 \Rightarrow a =  - \frac{1}{8}
\end{array}[/tex]

*****

Comments

Related Items

সামন্তরিকের পঞ্চম উপপাদ্য

পঞ্চম উপপাদ্য : সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।

সামন্তরিকের চতুর্থ উপপাদ্য

কোনো চতুর্ভুজের বিপরীত কোণগুলি সমান হলে , চতুর্ভুজটি একটি সামান্তরিক হবে।

সামন্তরিকের তৃতীয় উপপাদ্য

কোনো চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলি সমান হলে , চতুর্ভুজটি একটি সামান্তরিক হবে।

সামন্তরিকের দ্বিতীয় উপপাদ্য

কোনো সামান্তরিকের (i) প্রতিটি কর্ণ সামান্তরিককে দুটি সর্বসম ত্রিভুজে বিভক্ত করে (ii) বিপরীত বাহুগুলির দৈর্ঘ্য সামন। (iii) বিপরীত কোণ গুলি মানে সমান।

সামন্তরিকের প্রথম উপপাদ্য

কোনো চতুর্ভুজের একজোড়া বিপরীত বাহু সমান এবং সমান্তরাল হলে অপর জোড়া বিপরীত বাহুও সমান এবং সমান্তরাল হবে অর্থাৎ চতুর্ভুজটি একটি সামান্তরিক হবে।