দশম অধ্যায় : দ্বিঘাত করণী (Quadratic Surds)
সূচনা (Introduction) : আমরা এর আগে স্বভাবিক সংখ্যা, পূর্ণ সংখ্যা, পূর্ণবর্গ সংখ্যা, ধনাত্মক ও ঋণাত্মক সংখ্যা, জোড় ও বিজোড় সংখ্যা, মৌলিক ও যৌগিক সংখ্যা ভগ্নাংশ ও দশমিক সংখ্যা, মূলদ ও অমূলদ সংখ্যা সম্মদ্ধে জেনেছি । আমরা জানি 2 এর বর্গ 4 তাই 4 এর বর্গমূল 2, অঙ্কের ভাষায় [tex]\sqrt 4 = 2[/tex] আবার -2 ও হয় , সুতরাং 4 এর বর্গমূল (+2) এবং (-2) হবে ।
তেমনি
[tex]\begin{array}{l} {5^3} = 125 \Rightarrow \sqrt[3]{{125}} = 5\\ {3^4} = 81 \Rightarrow \sqrt[4]{{81}} = 3\\ {2^5} = 32 \Rightarrow \sqrt[5]{{32}} = 2 \end{array}[/tex]
বর্গমূল চিহ্নটির ক্ষেত্রে সাধারণত [tex]\sqrt {} [/tex] ব্যবহার করা হয়, ঘনমূল [tex]\sqrt[3]{{}}[/tex] চিহ্ন দিয়ে, চতুর্থমূল [tex]\sqrt[4]{{}}[/tex] চিহ্ন দিয়ে, এবং পঞ্চমমুল [tex]\sqrt[5]{{}}[/tex] চিহ্ন দিয়ে বোঝানো হয় ।
যে মূলগুলি উপরে উল্লেখ করা হয়েছে তাদের মান দুটি পূর্ণ সংখ্যার অনুপাতে প্রকাশ করা যায় অর্থাৎ মানগুলি প্রত্যেকে মূলদ হবে । কিন্তু সব সময় তা হয় না । যেমন [tex]\sqrt 2 ,\sqrt 3 ,\sqrt[3]{5}[/tex] ইত্যাদির মান সম্পূর্ণরূপে নির্ণয় করা যায় না ।
কোনো ধনাত্মক মূলদ সংখ্যার যে সব মূল এর মান সম্পূর্ণরূপে নির্ণয় করা যায় না তাদের করণী (Surd) বলে ।
যেমন [tex]\sqrt 2, \sqrt 3, \sqrt[3]{5}[/tex] ইত্যাদি হল করণী, কিন্তু [tex]\sqrt 4 ,\sqrt[3]{8},\sqrt[3]{{27}}[/tex] ইত্যাদি করণী আকারে থাকলেও করণী নয় । কারণ এদের মান সম্পূর্ণরূপে নির্ণয় করা যায় ।
মূলদ সংখ্যা (Rational number) : কোনো সংখ্যাকে যদি দুটি পূর্ণ সংখ্যার অনুপাতের আকারে প্রকাশ করা হয় তবে সেই সংখ্যাকে মূলদ সংখ্যা (Rational number) বলে । যেমন -3, 1, 10, [tex]\frac{2}{3}, - \frac{3}{5},\frac{3}{6}[/tex] ইত্যাদি ।
অমূলদ সংখ্যা (Irrational number) : যে সব সংখ্যাকে দুটি পূর্ণ সংখ্যার আকারে প্রকাশ করা যায় না তাদের অমূলদ সংখ্যা (Irrational number) বলে । যেমন [tex]\sqrt 2 ,\sqrt 3 ,\sqrt[3]{5},\pi [/tex] ইত্যাদি ।
দেখা যাচ্ছে যে [tex]\sqrt 2 ,\sqrt 3 ,\sqrt[3]{5}[/tex] এরা করণী এবং অমূলদ সংখ্যা , কিন্তু [tex]\pi [/tex] করণী নয় অথচ অমূলদ সংখ্যা । তাই আমরা বলতে পারি সব করণী অমূলদ সংখ্যা কিন্তু সব মূলদ সংখ্যা করণী নয় ।
করণীর বিভিন্ন আকার (Different types of Surds) :
(১) শুদ্ধ করণী (Pure Surds) : যদি কোনো করণীকে সরল করে, কোনো মূলদ সংখ্যাকে (1 ব্যাতীত) করণী চিহ্নের বাইরে আনা অসম্ভব হয়, তবে সেই করণীকে বলে শুদ্ধ করণী । যেমন: [tex]\sqrt 5, \sqrt {11} [/tex] ইত্যাদি ।
(২) মিশ্র করণী (Mixed Surds) : যে সব করণীকে সরল আকারে লিখলে দেখা যায় যে এদের প্রত্যেকটির একটি মূলদ ও একটি অমূলদ অংশ আছে, সেই ধরণের করণীকে মিশ্র করণী বলে ।
যেমন: [tex]\sqrt {18} = \sqrt {9 \times 2} = 3\sqrt 2 [/tex], [tex]\sqrt {48} = \sqrt {3 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2} = 4\sqrt 3 [/tex] হল মিশ্র করণী । এখানে 3, 4 হল মূলদ সংখ্যা এবং [tex]\sqrt 2, \sqrt 3 [/tex] হল অমূলদ সংখ্যা ।
(৩) সদৃশ করণী (Similar Surds) -র দুটি করণীর অমূলদ অংশ একই হলে তাদের সদৃশ করণী বলে । যেমন: [tex]\sqrt 2, 3\sqrt 2 [/tex] ; [tex]11\sqrt 5, 3\sqrt 5 [/tex] ইত্যাদি ।
(৪) অসদৃশ করণী (Dissimilar Surds) : সরল করার পর দুটি করণীর অমূলদ অংশ আলাদা হলে তাদের অসদৃশ করণী বলে । যেমন: [tex]11\sqrt 5, 3\sqrt 7 [/tex] ; [tex]10\sqrt 2, 3\sqrt 3 [/tex] ইত্যাদি ।
(৫) সরল করণী (Simple Surds) : যে সকল করণীতে একটি মাত্র পদ থাকে তাদের সরল করণী বলে । যেমন : [tex]\sqrt 2, \sqrt 3, \sqrt 7, 5\sqrt 5 [/tex] ইত্যাদি ।
(৬) দ্বিপদ করণী (Binomial Surds) : দুটি পদযুক্ত (দুটি পদই করণী বা একটি পদ করণী অপরটি মূলদ সংখ্যা হয়) করণীকে দ্বিপদ করণী বলে । যেমন: [tex] 2 + \sqrt 6, 2\sqrt 3 - \sqrt 5 [/tex] ইত্যাদি ।
(৭) যৌগিক করণী (Compound Surds) : একাধিক করণীর অথবা মূলদ সংখ্যা ও একাধিক করণীর বীজগাণিতিক সমষ্টিকে যৌগিক করণী বলে । যেমন : [tex] 1 + \sqrt 5, 2 \sqrt 2 + 3 \sqrt 5 - \sqrt 6, \sqrt 2 + \sqrt 3 [/tex] ইত্যাদি ।
মন্তব্য - দুটি পদযুক্ত যৌগিক করণীকে দ্বিপদ করণী বলে ।
(৮) সমমূলীয় করণী (Equiradical Surds) : দুই বা ততোধিক করণীর মূল সমান হলে ওদের সমমূলীয় করণী বলে । যেমন : [tex]\sqrt 3 , \sqrt 2 , \sqrt 5 [/tex] এবং [tex]\sqrt[7]{5}, \sqrt[7]{7},\sqrt[7]{{11}}[/tex] ইত্যাদি ।
এখানে মনে রাখা দরকার দুটি করণী সমমূলীয় না হলেও তাদের সমমূলীয় করণীর আকারে প্রকাশ করা যায় ।
যেমন: [tex]\sqrt[3]{2}, \sqrt[4]{2}[/tex] এই দুটি করণী সমমূলীয় নয়, এখন লক্ষ কর
[tex]\begin{array}{l} \sqrt[3]{2} = \sqrt[3]{{{{\left( 2 \right)}^{\frac{4}{4}}}}} = \sqrt[{3 \times 4}]{{{2^4}}} = \sqrt[{12}]{{{2^4}}}\\
\sqrt[4]{2} = \sqrt[4]{{{{\left( 2 \right)}^{\frac{3}{3}}}}} = \sqrt[{4 \times 3}]{{{2^3}}} = \sqrt[{12}]{{{2^3}}} \end{array}[/tex]
এখন দুটি করণীর মূল সমান ।
করণীর ক্রম (Order of Surds) : একটি শুদ্ধ বা মিশ্র করণীতে উপস্থিত মূল নির্ণায়ক সূচককে করণীর ক্রম বলে । যেমন : [tex]\sqrt[3]{{11}}[/tex] এই করণীর ক্রম হল 3 ।
করণীর তুলনা (Difference of Surds) : দুই বা ততোধিক সমমূলীয় করণীর (সমমূলীয় না হলে তাকে সমমূলীয়র আকারে প্রকাশ করতে হবে) মূল নির্ণায়ক সূচক বাদে মানের তারতম্য অনুসারে করণীর তুলনা করা হয় ।
যেমন : [tex]\sqrt 5 > \sqrt 3 [/tex] কারণ 5 > 3 (সমমূলীয় করণী) ।
কিন্তু [tex]\sqrt 5, \sqrt[4]{3}[/tex] সমমূলীয় করণী নয় তাই এদের তুলনা হবে না ।
করণীর সরলতম আকার (Simple form of Surds) : করণীর মূল চিহ্নের ভেতর থেকে যদি কোনো মূলদ উৎপাদক (1 বর্জিত) মূল চিহ্নের বাইরে আনা সম্ভব হয়, তখন করণীর যে রূপ পাওয়া যায় তাকে করণীর সরলতম আকার বলা হয় ।
যেমন: [tex]\sqrt {45} = \sqrt {3 \times 3 \times 5} = 3\sqrt 5 [/tex] [tex]\sqrt {45} [/tex] এর সরলতম আকার হল [tex]3\sqrt 5 [/tex]
করণীর যোগ ও বিয়োগ (Addition and Subtraction of Surds) :- করণীর যোগফল ও বিয়োগফল নির্ণয় করতে হলে প্রথমে করণীগুলিকে সরলতম আকারে প্রকাশ করতে হবে । করণীগুলির যোগ অথবা বিয়োগ সাধারণ বীজগাণিতিক প্রক্রিয়ার নিয়মে করা হয় ।
যেমন: [tex]\sqrt 2 + \sqrt 8 = \sqrt 2 + 2\sqrt 2 = 3\sqrt 2 [/tex]
[tex]\sqrt {50} - \sqrt {12} = \sqrt {25 \times 2} - \sqrt {4 \times 3} = 5\sqrt 2 - 2\sqrt 3 [/tex]
করণীর গুণ ও ভাগ (Multiplication and Division of Surds) :- দুটি শুদ্ধ করণীর গুণ, সূচকের নিয়মাবলী অনুযায়ী হয় ।
[সূচকের নিয়মাবলী : যদি [tex]a \ne 0[/tex] এবং m ও n ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা হয় তবে [tex]{a^m} \times {a^n} = {a^{m + n}}[/tex] তাছাড়া [tex]{\left( {{a^m}} \right)^n} = {a^{mn}},{\left( {ab} \right)^m} = {a^m}.{b^m}\left( {b \ne 0} \right)\left( {a \ne 0} \right)[/tex]
যেমন: [tex]\sqrt 3 \times \sqrt 3 = {\left( 3 \right)^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}} = {3^1} = 3[/tex]
[tex]\sqrt 5 \times \sqrt 7 = {5^{\frac{1}{2}}} \times {7^{\frac{1}{2}}} = {\left( {5 \times 7} \right)^{\frac{1}{2}}} = {35^{\frac{1}{2}}} = \sqrt {35} [/tex]
অনুরূপে দুটি মিশ্র করণীর গুণ সূচক ও বীজগাণিতিক প্রক্রিয়া অনুযায়ী হয় ।
সমমূলীয় করণীসমূহের গুণফল নির্ণয়ের ক্ষেত্রে সাধারণ বীজগাণিতিক প্রক্রিয়ার মতন মূলদ ও অমূলদ অংশ গুলি পৃথক পৃথক গুণ করে গুণফল নির্ণয় করতে হবে । যদি করণীগুলি বিভিন্ন ক্রমের হয় তবে ওদের সমমূলীয় করণীর আকারে প্রকাশ করে গুণফল নির্ণয় করতে হয় । অমূলদ অংশ বা করণীর অংশের গুণের ক্ষেত্রে সূচকের নিয়মাবলী অনুযায়ী হবে ।
[tex]\begin{array}{l} 2\sqrt 5 \times 3\sqrt 2 = 2 \times 3 \times \sqrt {5 \times 2} = 6\sqrt {10} \\ \sqrt 3 \times \sqrt[3]{2}\\
= {3^{\frac{1}{2}}} \times {2^{\frac{1}{3}}}\\ = {3^{\frac{3}{6}}} \times {2^{\frac{2}{6}}}\\ = {27^{\frac{1}{6}}} \times {4^{\frac{1}{6}}}\\ = {\left( {27 \times 4} \right)^{\frac{1}{6}}}\\ = {108^{\frac{1}{6}}} = \sqrt[6]{{108}} \end{array}[/tex]
দুটি যৌগিক করণীর গুণফল নির্ণয় সূচক ও বীজগাণিতিক বহুপদী সংখ্যার গুণফল নির্ণয় প্রক্রিয়া অনুযায়ী হয় ।
যেমন:
[tex]\begin{array}{l}
\left( {2 + \sqrt 3 } \right)\left( {4 + \sqrt 3 } \right)\\
= 2 \times 4 + 2 \times \sqrt 3 + 4 \times \sqrt 3 + \sqrt 3 \times \sqrt 3 \\
= 8 + 2\sqrt 3 + 4\sqrt 3 + 3\\
= 11 + 6\sqrt 3
\end{array}[/tex]
করণীর ভাগ সম্পর্কে আলোচনার আগে করণী নিরসক উৎপাদক এবং অনুবন্দি বা প্রতিযোগী করণী সম্পর্কে জানতে হবে ।
করণী নিরসক উৎপাদক :- কোনো করণীর সাথে যে উৎপাদক গুণ করলে গুণফলটি করণী মুক্ত হবে তাকে ওই করণীর করণী নিরসক বলে ।
যেমন:
[tex]\sqrt a [/tex] এর করণী নিরসক উৎপাদক হল [tex]\sqrt a [/tex]
[tex]b + \sqrt a [/tex] এর করণী নিরসক উৎপাদক হল [tex]b - \sqrt a [/tex] অথবা [tex]-b + \sqrt a [/tex]
অনুবন্দি বা পূরককরণী (Conjugate or Complementary Surds) : যখন একটি দ্বিপদ করণীর দুটি পদের মান অন্য দ্বিপদ করণীর দুটি পদের মানের সমান হয় এবং ঐ দ্বিপদ করণীর অমূলদ পদটি বা যেকোনো একটি অমূলদ পদ বিপরীত চিহ্ন যুক্ত হয় তখন একটিকে অপরটির অনুবন্দি বা পূরক করণী বলা হয় । যেমন: [tex]b + \sqrt a [/tex] এর অনুবন্দি করণী হল [tex]b - \sqrt a [/tex] .অথবা [tex]3\sqrt 3 + \sqrt 5 [/tex] এর অনুবন্দি করণী হল [tex]3\sqrt 3 - \sqrt 5 [/tex]
ভাগ (Division) : একটি করণীকে অপর একটি করণী দিয়ে ভাগ করতে হলে প্রথমে ওই দুটি করণীকে যথাক্রমে লব ও হর ধরে একটি ভগ্নাংশের আকারে প্রকাশ করে নিতে হবে, তারপর সেই ভগ্নাংশের হরকে করণী নিরসন করে ভাগফল নির্ণয় করতে হবে ।
যেমন:
[tex]\begin{array}{l}
4 \div \left( {3 - \sqrt 2 } \right)\\
= \frac{4}{{\left( {3 - \sqrt 2 } \right)}}\\
= \frac{{4\left( {3 + \sqrt 2 } \right)}}{{\left( {3 + \sqrt 2 } \right)\left( {3 - \sqrt 2 } \right)}}\\
= \frac{{4\left( {3 + \sqrt 2 } \right)}}{{9 - 2}}\\
= \frac{{4\left( {3 + \sqrt 2 } \right)}}{7}
\end{array}[/tex]
[tex]\begin{array}{l}
\left( {\sqrt 5 + 2} \right) \div \left( {\sqrt 3 - 1} \right)\\
= \frac{{\left( {\sqrt 5 + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}}\\
= \frac{{\left( {\sqrt 5 + 2} \right)\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt 3 - 1} \right)\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}}\\
= \frac{{\sqrt 5 \times \sqrt 3 + \sqrt 5 + 2 \times \sqrt 3 + 2}}{{3 - 1}}\\
= \frac{{\sqrt {15} + \sqrt 5 + 2\sqrt 3 + 2}}{2}
\end{array}[/tex]
দ্বিঘাত করণী (Quadratic Surds) : আমাদের একটি প্রশ্ন থেকেই যায়, এই অধ্যায়ের নাম কেন দ্বিঘাত করণী হল । যে করণীর ক্রম 2 তাকে দ্বিঘাত করণী বলে । এই অধ্যায়ে আমরা কেবল করণীর দ্বিতীয় ক্রম নিয়ে প্রশ্ন উত্তর করেছি, তাই এই অধ্যায়কে দ্বিঘাত করণী বলা হয় ।
*****
