জটিল রাশির বর্গমূল নির্ণয় (To find the square root of Complex Numbers)
মনে করি , [tex]a + ib[/tex] জটিল রাশি ( যেখানে a , b হল বাস্তব এবং [tex]b \ne 0[/tex] ) এর বর্গমূল নির্ণয় করতে হবে ।
ধরি [tex]\sqrt {a + ib} = x + iy[/tex] , যেখানে x , y বাস্তব ।
তাহলে
[tex]\begin{array}{l}
{\left( {\sqrt {a + ib} } \right)^2} = {\left( {x + iy} \right)^2}\\
\Rightarrow a + ib = {x^2} + 2ixy - {y^2}
\end{array}[/tex]
দুটি জটিল রাশির সমতা থেকে পাই
[tex]\begin{array}{l}
a = {x^2} - {y^2}\\
b = 2xy
\end{array}[/tex]
আমরা জানি
[tex]\begin{array}{l}
{\left( {{x^2} + {y^2}} \right)^2} = {\left( {{x^2} - {y^2}} \right)^2} + 4{x^2}{y^2}\\
\Rightarrow {x^2} + {y^2} = \sqrt {{{\left( {{x^2} - {y^2}} \right)}^2} + {{\left( {2xy} \right)}^2}} \\
\Rightarrow {x^2} + {y^2} = \sqrt {{a^2} + {b^2}}
\end{array}[/tex]
অতএব
[tex]\begin{array}{l}
{x^2} = \frac{1}{2}\left( {a + \sqrt {{a^2} + {b^2}} } \right)\\
\Rightarrow x = \pm \frac{{\sqrt {a + \sqrt {{a^2} + {b^2}} } }}{{\sqrt 2 }}\\
{y^2} = \frac{1}{2}\left( {\sqrt {{a^2} + {b^2}} - a} \right)\\
\Rightarrow y = \pm \frac{{\sqrt {\sqrt {{a^2} + {b^2}} - a} }}{{\sqrt 2 }}
\end{array}[/tex]
যদি b > 0 হলে x এবং y এর মান ধনাত্মক অথবা x এবং y দুটোর মান ঋণাত্মক হবে। কারণ b = 2xy .
এখন
[tex]\begin{array}{l}
\sqrt {a + ib} \\
= x + iy\\
= \pm \left( {\frac{{\sqrt {a + \sqrt {{a^2} + {b^2}} } }}{{\sqrt 2 }} + i\frac{{\sqrt {\sqrt {{a^2} + {b^2}} - a} }}{{\sqrt 2 }}} \right)
\end{array}[/tex]
হবে।
আবার যদি b < 0 হয় , তাহলে x এবং y বিপরীত চিহ্ন যুক্ত হবে ।
তখন
[tex]\begin{array}{l}
\sqrt {a + ib} \\
= x - iy\\
= \pm \left( {\frac{{\sqrt {a + \sqrt {{a^2} + {b^2}} } }}{{\sqrt 2 }} - i\frac{{\sqrt {\sqrt {{a^2} + {b^2}} - a} }}{{\sqrt 2 }}} \right)
\end{array}[/tex]
হবে ।
► 1 এর ঘনমূল নির্ণয় (To find the Cube Roots of Unity)
মনে করি 1 এর ঘনমূল x , অর্থাৎ [tex]\sqrt[3]{1} = x[/tex]
অতএব
[tex]\begin{array}{l}
{x^3} = 1\\
\Rightarrow {x^3} - 1 = 0\\
\Rightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right) = 0
\end{array}[/tex]
দেখা যাচ্ছে হয় [tex]\left( {x - 1} \right) = 0[/tex] অথবা [tex]\left( {{x^2} + x + 1} \right) = 0[/tex]
যদি [tex]\left( {x - 1} \right) = 0[/tex] হয় , তাহলে x = 1 হবে।
যদি [tex]\left( {{x^2} + x + 1} \right) = 0[/tex] হয় , তাহলে
[tex]\begin{array}{l}
\left( {{x^2} + x + 1} \right) = 0\\
\Rightarrow {x^2} + 2x \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{4} + 1 = 0\\
\Rightarrow {x^2} + 2x \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 0\\
\Rightarrow {\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} = - \frac{3}{4}\\
\Rightarrow x + \frac{1}{2} = \pm i\frac{{\sqrt 3 }}{2}\\
\Rightarrow x = - \frac{1}{2} \pm i\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{ - 1 \pm i\sqrt 3 }}{2}
\end{array}[/tex]
অতএব 1 এর তিনটি ঘনমূল হল 1 , [tex]\frac{{ - 1 + i\sqrt 3 }}{2}[/tex] এবং [tex]\frac{{ - 1 - i\sqrt 3 }}{2}[/tex]
দেখা যাচ্ছে মূল তিনটির মধ্যে একটি বাস্তব ও বাকি দুটি অবাস্তব ।
►1 এর ঘনমূলের তিনটি ধর্ম (Three Properties of Cube Root of Unity)
(1) 1 এর অবাস্তব ঘনমূল দুটি একটি অন্য টির বর্গ
এখন 1 এর একটি অবাস্তব ঘনমূল হল [tex]\frac{{ - 1 + i\sqrt 3 }}{2}[/tex]
[tex]\begin{array}{l}
{\left( {\frac{{ - 1 + i\sqrt 3 }}{2}} \right)^2}\\
= \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^2} + 2 \cdot \left( { - 1} \right) \cdot i\sqrt 3 + {{\left( {i\sqrt 3 } \right)}^2}}}{4}\\
= \frac{{1 - 2i\sqrt 3 - 3}}{4}\\
= \frac{{ - 2 - 2i\sqrt 3 }}{4}\\
= \frac{{ - 1 - i\sqrt 3 }}{2}
\end{array}[/tex]
অনুরূপে আমরা প্রমাণ করতে পারি [tex]{\left( {\frac{{ - 1 - i\sqrt 3 }}{2}} \right)^2} = \frac{{ - 1 + i\sqrt 3 }}{2}[/tex]
(2) 1 এর অবাস্তব দুটি ঘনমূলের গুণফল 1 হয়
1 এর দুটি অবাস্তব ঘনমূল হল [tex]\frac{{ - 1 - i\sqrt 3 }}{2},\frac{{ - 1 + i\sqrt 3 }}{2}[/tex]
এখন তাদের গুণফল হল
[tex]\begin{array}{l}
\frac{{ - 1 - i\sqrt 3 }}{2} \times \frac{{ - 1 + i\sqrt 3 }}{2}\\
= \frac{{\left( { - 1 - i\sqrt 3 } \right) \times \left( { - 1 + i\sqrt 3 } \right)}}{4}\\
= \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^2} - {{\left( {i\sqrt 3 } \right)}^2}}}{4}\\
= \frac{{1 + 3}}{4}\\
= \frac{4}{4} = 1
\end{array}[/tex]
(3) 1 এর ঘনমূল তিনটির সমষ্টি শূন্য হয়
1 এর তিনটি ঘনমূল হল 1 , [tex]\frac{{ - 1 + i\sqrt 3 }}{2}[/tex] এবং [tex]\frac{{ - 1 - i\sqrt 3 }}{2}[/tex]
তাদের যোগফল হল
[tex]\begin{array}{l}
1 + \frac{{ - 1 + i\sqrt 3 }}{2} + \frac{{ - 1 - i\sqrt 3 }}{2}\\
= \frac{{2 - 1 + i\sqrt 3 - 1 - i\sqrt 3 }}{2}\\
= \frac{{2 - 2}}{2}\\
= \frac{0}{2} = 0
\end{array}[/tex]
[ 1 এর ঘনমূল তিনটিকে সাধারণত 1 , [tex]\omega [/tex] এবং [tex]{\omega ^2}[/tex] দ্বারা প্রকাশ করা হয় ।
যেখানে [tex]\omega = \frac{{ - 1 + i\sqrt 3 }}{2}[/tex] এবং [tex]{\omega ^2} = \frac{{ - 1 - i\sqrt 3 }}{2}[/tex]
[tex]\begin{array}{l}
{\omega ^4} = {\omega ^3} \cdot \omega = \omega \\
{\omega ^5} = {\omega ^3} \cdot {\omega ^2} = {\omega ^2}\\
{\omega ^6} = {\left( {{\omega ^3}} \right)^2} = 1
\end{array}[/tex]
অর্থাৎ [tex]{\omega ^3} = 1[/tex]]
