লগারিদম (Logarithm)
সংজ্ঞা (Definition) : কোনো ধনাত্মক রাশি যদি অপর একটি ধনাত্মক রাশির ঘাতের সমান হয়, তবে ওই ধনাত্মক ঘাতের সূচককে (Index of Power) বলে প্রথম সারিটির লগারিদম (Logarithm) ।
যদি [tex]{a^x} = b[/tex] ( a এবং b যেকোনো রাশি এবং [tex]a \ne 1[/tex] ) হয়, তবে x কে a নিধনের সাপেক্ষে b এর লগারিদম বলে । এক্ষেত্রে [tex]{\log _a}b = x[/tex] লেখা হয় ।
বিপরীতক্রমে যদি [tex]{\log _a}b = x[/tex] হয় তবে [tex]{a^x} = b[/tex] হবে ।
মনে রাখতে হবে [tex]{\log _a}b[/tex] সংজ্ঞাত হবে যখন x > 0 , a > 0, [tex]a \ne 1[/tex]
লগারিদমের প্রকারভেদ (Type of Logarithm)
লগারিদম সাধারণত দই প্রকারের হয় ।
- সাধারণ লগারিদম (Common logarithm) বা ব্রিগসিয়ান লগারিদম (Briggsion Logarithm)
- স্বাভাবিক লগারিদম (Natural Logarithm) বা ন্যাপিয়ার লগারিদম (Naperian Logarithm)
সাধারণ লগারিদম (Common logarithm) বা ব্রিগসিয়ান লগারিদম ( Briggsion Logarithm )
এই লগারিদমের নিধন 10 । সাধারণত কোনো নিধন না থাকলে নিধনকে 10 ধরে নেওয়া হয় । সাধারণ লগারিদমের এই ধারণাটি প্রথম চালু করেছিলেন হেনরি ব্রিগস ( Henry Briggs ) । তাই তাঁর নাম অনুসারে কখনো কখনো এই লগারিদমকে ব্রিগসিয়ান লগারিদম (Briggsion Logarithm) বলা হয় ।
স্বাভাবিক লগারিদম ( Natural Logarithm ) বা ন্যাপিয়ার লগারিদম ( Naperian Logarithm )
এই লগারিদমে অমেয় রাশি ( Incommensurable ) e কে নিধন হিসাবে ব্যবহার করে বিভিন্ন ধনাত্মক বাস্তব রাশিকে নির্ণয় করা হয় । সাধারণ লগারিদমের এই ধারণাটি প্রথম পাওয়া যায় ইংরাজি গণিতজ্ঞ জন ন্যাপিয়ার এর লেখা বইতে । তাই তাঁর নাম অনুসারে এই লগারিদমকে ন্যাপিয়ার লগারিদম ( Naperian Logarithm ) বলা হয় । তবে কোনো বিশেষ ক্ষেত্রে সমুদয় লগের একই নিধন থাকলে সেক্ষেত্রেও নিধনকে উহ্য রাখা হয় । যেমন [tex]{\log _e}x[/tex] কে [tex]\log x[/tex] বা [tex]\ln x[/tex] লেখা হয় । কলনবিদ্যায় ( calculus ) এই লগারিদম ব্যবহৃত হয় । যেখানে e এর মান হচ্ছে 2.71828 অর্থাৎ e হল 2 ও 3 এর মধ্যবর্তী একটি তুরীয় অমূলদ সংখ্যা ।
লগারিদমের সূত্র ( Law of Logarithm )
- [tex]{\log _a}\left( {m \times n} \right) = {\log _a}m + {\log _a}n[/tex] , [ m , n বাস্তব > 0 , 0 < a([tex] \ne 1[/tex])]
- [tex]{\log _a}\left( {\frac{m}{n}} \right) = {\log _a}m - {\log _a}n[/tex] , [ m , n বাস্তব > 0, 0 < a([tex] \ne 1[/tex])]
- [tex]{\log _a}{m^n} = n{\log _a}m[/tex] , [ m বাস্তব > 0, 0 < a([tex] \ne 1[/tex])]
- নিধন পরিবর্তন সূত্র [tex]{\log _a}m = {\log _a}b \times {\log _b}m[/tex] , [m > 0 , 0 < a ([tex] \ne 1[/tex]) , 0 < b ([tex] \ne 1[/tex]) ]
লগারিদমের সূত্রের প্রমাণ ( Proof of Logarithm Laws)
1. [tex]{\log _a}\left( {m \times n} \right) = {\log _a}m + {\log _a}n[/tex] , [ m , n বাস্তব > 0 , 0 < a([tex] \ne 1[/tex])]
প্রমাণ : মনে করি [tex]{\log _a}m = x[/tex] এবং [tex]{\log _a}n = y[/tex]
অতএব [tex]{a^x} = m[/tex] , [tex]{a^y} = n[/tex]
এখন
[tex]\begin{array}{l}
mn = {a^x} \cdot {a^y} = {a^{x + y}}\\
\Rightarrow {\log _a}mn = x + y = {\log _a}m + {\log _a}n
\end{array}[/tex]
2. [tex]{\log _a}\left( {\frac{m}{n}} \right) = {\log _a}m - {\log _a}n[/tex] , [ m , n বাস্তব > 0, 0 < a([tex] \ne 1[/tex])]
প্রমাণ : মনে করি [tex]{\log _a}m = x[/tex] এবং [tex]{\log _a}n = y[/tex]
অতএব [tex]{a^x} = m[/tex] , [tex]{a^y} = n[/tex]
এখন
[tex]\begin{array}{l}
\frac{m}{n} = \frac{{{a^x}}}{{{a^y}}} = {a^{x - y}}\\
\Rightarrow {\log _a}\left( {\frac{m}{n}} \right) = x - y = {\log _a}m - {\log _a}n
\end{array}[/tex]
3. [tex]{\log _a}{m^n} = n{\log _a}m[/tex] , [ m বাস্তব > 0, 0 < a([tex] \ne 1[/tex])]
প্রমাণ : মনে করি [tex]{\log _a}{m^n} = x[/tex] এবং [tex]{\log _a}m = y[/tex]
অতএব [tex]{a^x} = {m^n}[/tex] এবং [tex]{a^y} = m[/tex]
এখন [tex]{a^x} = {m^n} = {\left( {{a^y}} \right)^n} = {a^{ny}}[/tex]
অতএব [tex]x = ny \Rightarrow {\log _a}{m^n} = n{\log _a}m[/tex]
4. নিধন পরিবর্তন সূত্র [tex]{\log _a}m = {\log _a}b \times {\log _b}m[/tex] , [m > 0 , 0 < a ([tex] \ne 1[/tex]) , 0 < b ([tex] \ne 1[/tex]) ]
মনে করি [tex]{\log _a}b = x[/tex] এবং [tex]{\log _b}m = y[/tex]
অতএব [tex]{a^x} = b[/tex] এবং [tex]{b^y} = m[/tex]
এখন
[tex]\begin{array}{l}
{b^y} = m\\
\Rightarrow {\left( {{a^x}} \right)^y} = m\\
\Rightarrow {a^{xy}} = m\\
\Rightarrow {\log _a}m = xy = {\log _a}b \cdot {\log _b}m
\end{array}[/tex]
সংক্ষিপ্তকরণ(Summarisation)
[tex]m,n,a,b > 0,a \ne 1,b \ne 1,p[/tex] যেকোনো বাস্তব রাশি হলে,
1. [tex]{\log _a}1 = 0[/tex]
2. [tex]{\log _a}a = 1[/tex]
3. [tex]{a^{{{\log }_a}m}} = m[/tex]
4. [tex]{\log _a}\left( {mn} \right) = {\log _a}m + {\log _a}n[/tex]
5. [tex]{\log _a}\left( {\frac{m}{n}} \right) = {\log _a}m - {\log _a}n[/tex]
6. [tex]{\log _a}{m^p} = p{\log _a}m[/tex]
7. [tex]{\log _a}m = {\log _b}m \times {\log _a}b[/tex]
8. [tex]{\log _a}b \times {\log _b}a = 1[/tex]
9. [tex]{\log _b}a = \frac{1}{{{{\log }_a}b}}[/tex]
10. [tex]{\log _b}m = \frac{{{{\log }_a}m}}{{{{\log }_a}b}}[/tex]
*****
