ভাগশেষ উপপাদ্য

ভাগশেষ উপপাদ্য (Remainder Theorem)

f(x) একটি বহুপদী সংখ্যামালা যার মাত্রা $n\left( {n \ge 1} \right)$ এবং a যেকোনো একটি বাস্তব সংখ্যা । f(x) কে ( x-a ) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হবে f(a) ।

প্রমাণ : মনে করি f(x) একটি বহুপদী সংখ্যামালা । 

f(x) কে ( x-a ) দ্বারা ভাগ করলে অনন্য ভাগফল q(x) এবং অনন্য ভাগশেষ r(x) পাই । 

অতএব $f\left( x \right) = \left( {x - a} \right)q\left( x \right) + r\left( x \right)..........(i)$

r(x) এর মাত্রা ( x-a ) এর মাত্রা অপেক্ষা সর্বদা কম হবে। এখানে দেখা যাচ্ছে ( x-a ) এর মাত্রা হল 1 ।

অতএব r(x) এর মাত্রা এর মাত্রা হবে শূন্য । 

অতএব r(x) একটি  ধ্রূবক । 

মনে করি r(x) = R 

অতএব (i) নং থেকে পাই 

$f\left( x \right) = \left( {x - a} \right)q\left( x \right) + R$ ( এটি একটি অভেদ )

x = a বসিয়ে পাই 

$\begin{array}{l} f\left( a \right) = \left( {a - a} \right)q\left( a \right) + R\\  \Rightarrow f\left( a \right) = R \end{array}$

( প্রমাণিত )

উদাহরণ : $f\left( x \right) = {x^3} - 2{x^2} + 6x - 1$ বহুপদী সংখ্যামালাকে ( x - 2 ) দিয়ে ভাগ করলে কি ভাগশেষ পাওয়া যায় ?

এখন $x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$

অতএব ( x - 2 ) বহুপদী সংখ্যামালা শূন্য হবে যখন x = 2 হবে । 

ভাগশেষ উপপাদ্য থেকে আমরা জানি $f\left( x \right) = {x^3} - 2{x^2} + 6x - 1$ কে ( x - 2 ) দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ হবে f(2) .

অতএব নির্ণেয় ভাগশেষ 

$\begin{array}{l} f\left( 2 \right)\\  = {2^3} - 2 \times {2^2} + 6 \times 2 - 1\\  = 8 - 8 + 12 - 1\\  = 11 \end{array}$

উদাহরণ : ( x-2 ) , $f\left( x \right) = {x^3} - x - 6$ এই বহুপদী রাশিমালার উৎপাদক কিনা পরীক্ষা করি । 

এখন $x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$

অতএব ( x - 2 ) বহুপদী সংখ্যামালা শূন্য হবে যখন x = 2 হবে । 

ভাগশেষ উপপাদ্য থেকে আমরা জানি $f\left( x \right) = {x^3} - x - 6$ কে ( x - 2 ) দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ হবে f(2) .

অতএব নির্ণেয় ভাগশেষ 

$\begin{array}{l} f\left( 2 \right)\\  = {2^3} - 2 - 6\\  = 8 - 8\\  = 0 \end{array}$

সুতরাং দেখা যাচ্ছে ভাগশেষ শূন্য । 

অতএব  ( x-2 ) , $f\left( x \right) = {x^3} - x - 6$ এই বহুপদী রাশিমালার উৎপাদক । 

উদাহরণ : যদি $a{x^2} + 3x - 5$ এবং ${x^2} - 2x + a$ বহুপদী সংখ্যামালাদ্বয়কে ( x-3 ) দ্বারা ভাগ করলে একই ভাগশেষ থাকে তবে a এর মান নির্ণয় করো । 

মনে করি $f\left( x \right) = a{x^2} + 3x - 5$ এবং $g\left( x \right) = {x^2} - 2x + a$

f(x) কে ( x-3 ) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ পাই 

$\begin{array}{l} f\left( 3 \right)\\  = a \times {3^2} + 3 \times 3 - 5\\  = 9a + 9 - 5\\  = 9a + 4 \end{array}$

g(x) কে ( x-3 ) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ পাই 

$\begin{array}{l} g\left( 3 \right)\\  = {3^2} - 2 \times 3 + a\\  = 9 - 6 + a\\  = 3 + a \end{array}$

প্রশ্নানুসারে 

$\begin{array}{l} 9a + 4 = 3 + a\\  \Rightarrow 8a =  - 1\\  \Rightarrow a =  - \frac{1}{8} \end{array}$

*****