সামন্তরিকের ষষ্ঠ উপপাদ্য

Submitted by arpita pramanik on Thu, 08/27/2020 - 21:55

সামন্তরিকের ষষ্ঠ উপপাদ্য (Parallelogram Theorem)

কোনো চতুর্ভুজের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখন্ডিত করলে চতুর্ভুজটিকে সামন্তরিক বলে । 

 

প্রমাণ:

পৰ মনে করি ABCD চতুর্ভুজের O হল AC ও BD কর্ণের মধ্যবিন্দু । 

অর্থাৎ AO = CO এবং BO = DO  

আমাদের প্রমাণ করতে হবে ABCD একটি সামান্তরিক । 

প্রমাণ : ত্রিভুজ AOB এবং ত্রিভুজ COD এর 

AO = CO  

BO = DO 

[tex]\angle AOB[/tex] = বিপ্রতীপ কোণ [tex]\angle DOC[/tex]

অতএব ত্রিভুজ AOB [tex] \cong [/tex] ত্রিভুজ COD

অতএব AB = DC ( এরা সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু )

[tex]\angle BAO = \angle DCO[/tex] কিন্তু এরা একান্তর কোণ 

অতএব AB ।। DC 

অর্থাৎ চতুর্ভুজটির একজোড়া বিপরীত বাহু সমান এবং সমান্তরাল । 

অতএব অপর জোড়া বিপরীত বাহুও সমান এবং সমান্তরাল হবে । 

অতএব ABCD একটি সামন্তরিক। 

 

প্রয়োগ : ABCD একটি সামন্তরিকের AC ও BD কর্ণ দুটি O বিন্দুতে মিলিত হয়েছে । AC কর্ণের উপর P ও R দুটি এমন বিন্দু যাতে AP = CR হয়। প্রমাণ করতে হবে চতুর্ভুজ PBRD একটি সামন্তরিক । 

পৰ ABCD একটি সামন্তরিকের AC ও BD কর্ণ দুটি O বিন্দুতে মিলিত হয়েছে। AC কর্ণের উপর P ও R দুটি এমন বিন্দু যাতে AP = CR হয় ।

আমাদের প্রমাণ করতে হবে চতুর্ভুজ PBRD একটি সামন্তরিক। 

প্রমাণ : যেহেতু ABCD একটি সামন্তরিক , সুতরাং তার কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখন্ডিত করবে । 

অর্থাৎ , OA = OC এবং OB = OD হবে । 

এখন OP =OA - AP 

অতএব OP = OC - CR ( যেহেতু OA = OC এবং AP = CR )

অতএব OP = OR 

সুতরাং PBRD চতুর্ভুজের OP = OR এবং OB = OD অর্থাৎ PBRD চতুর্ভুজের PR এবং BD দুটি কর্ণদ্বয় পরস্পরকে O বিন্দুতে সমদ্বিখন্ডিত করেছে । 

সুতরাং PBRD একটি সামন্তরিক । 

 

ABCD একটি সামন্তরিকের DA ও DC বাহুকে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে এমন ভাবে বাড়ানো হল যাতে AP = DA এবং CQ = DC হয়। প্রমাণ করতে হবে যে P , B , Q তিনটি সমরেখ । 

পৰ

ABCD একটি সামান্তরিকের DA ও DC বাহুকে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে এমন ভাবে বাড়ানো হল যাতে AP = DA এবং CQ = DC হয় ।

আমাদের প্রমাণ করতে হবে যে P , B , Q তিনটি সমরেখ । 

অঙ্কন : P , B ; B , Q এবং C , Q যুক্ত করলাম । 

প্রমাণ : যেহেতু ABCD একটি সামান্তরিক তাই DA = CB এবং DA ।। CB .

দেওয়া আছে AP = DA 

অতএব AP = CB এবং AP ।। CB 

অতএব চতুর্ভুজ APBC একটি সামন্তরিক । 

সুতরাং PB ।। AC ..........(i)

আবার ABCD একটি সামন্তরিক তাই DC = AB এবং DC ।। AB .

দেওয়া আছে CQ = DC

অতএব CQ =  AB এবং CQ ।। AB 

অতএব চতুর্ভুজ ABQC একটি সামন্তরিক । 

সুতরাং BQ ।। AC .............(ii)

(i) ও (ii) থেকে পাই 

PB ।। BQ 

আবার যেহেতু B বিন্দুটি দুটি সরলরেখাতেই আছে সুতরাং PB ও BQ  একই সরলরেখাতেই আছে । সুতরাং P , B ও Q বিন্দু তিনটি সমরেখ । 

*****

Comments

Related Items

লেখচিত্র (Graph)

লেখচিত্র বলতে কি বোঝায় এবং ইহার প্রয়োজনীয়তা সম্মন্ধে তাহাদের স্পষ্ট ধারণা থাকা আবশ্যক। প্রাত্যহিক জীবনে লেখচিত্রের ব্যবহার অপরিহার্য। রোগীর তাপমাত্রা হ্রাস বৃদ্ধি , শিল্প প্রতিষ্ঠানে উৎপাদন হার , দ্রব্যমূলের হ্রাস বৃদ্ধি ইত্যাদি বহু তথ্য

বীজগণিত - পূর্বপাঠের পুনরালোচনা

পূর্বপাঠের পুনরালোচনা - চিহ্ন সংক্রান্ত সূত্র (Formula of Sign) , সূচক নিয়মাবলী (Law of Indices), উৎপাদক ও সমাধান সংক্রান্ত নিয়মাবলী (Some Laws of Factor and Solution), বিভিন্ন সূত্রাবলি (Different Formula)

সূচকের নিয়মাবলি (Laws of Index)

কোনো সংখ্যাকে সেই সংখ্যা দ্বারা একাধিকবার গুণ করার প্রক্রিয়াকে প্রকাশ করা হয় সংখ্যাটির মাথার ডানদিকে সংখ্যাটিকে যত সংখ্যক বার গুণ করা হয়েছে সেই সংখ্যাটি বসিয়ে। এই প্রক্রিয়াকে সূচকের নিয়ম বলে।

ব্যাপকতর ত্রৈরাশিক (Rules of Three)

ত্রৈরাশিক পদ্ধতির প্রতিষ্ঠিত সূত্রটিকে সম্প্রসারিত আকারে ব্যবহার করাকে ব্যাপকতর ত্রৈরাশিক বলে। প্রতিটি বিষয়ের মান দুটি দিয়ে ভগ্নাংশ তৈরির ক্ষেত্রে ভগ্নাংশটি প্রকৃত না অপ্রকৃত হবে তার সিদ্ধান্ত নেবার সময় ধরে নিতে হবে যে অপর বিষয়গুলির মান অপরিবর্তিত থাকছে ।

পাটিগনিত - পূর্বপাঠের পুনরালোচনা

পূর্বপাঠের পুনরালোচনা- গড় (Mean), সরল গড়, গড় মানের চেয়ে মোট কমের পরিমান = গড় মানের চেয়ে মোট বেশীর পরিমান, গড়মানকে তথ্যগুলির কেন্দ্রীয় মান বা প্রতিনিধিত্ব মূলক মান হিসাবে ধরা হয়ে থাকে ...