সামন্তরিকের ষষ্ঠ উপপাদ্য

Submitted by arpita pramanik on Thu, 08/27/2020 - 21:55

সামন্তরিকের ষষ্ঠ উপপাদ্য (Parallelogram Theorem)

কোনো চতুর্ভুজের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখন্ডিত করলে চতুর্ভুজটিকে সামন্তরিক বলে । 

 

প্রমাণ:

পৰ মনে করি ABCD চতুর্ভুজের O হল AC ও BD কর্ণের মধ্যবিন্দু । 

অর্থাৎ AO = CO এবং BO = DO  

আমাদের প্রমাণ করতে হবে ABCD একটি সামান্তরিক । 

প্রমাণ : ত্রিভুজ AOB এবং ত্রিভুজ COD এর 

AO = CO  

BO = DO 

[tex]\angle AOB[/tex] = বিপ্রতীপ কোণ [tex]\angle DOC[/tex]

অতএব ত্রিভুজ AOB [tex] \cong [/tex] ত্রিভুজ COD

অতএব AB = DC ( এরা সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু )

[tex]\angle BAO = \angle DCO[/tex] কিন্তু এরা একান্তর কোণ 

অতএব AB ।। DC 

অর্থাৎ চতুর্ভুজটির একজোড়া বিপরীত বাহু সমান এবং সমান্তরাল । 

অতএব অপর জোড়া বিপরীত বাহুও সমান এবং সমান্তরাল হবে । 

অতএব ABCD একটি সামন্তরিক। 

 

প্রয়োগ : ABCD একটি সামন্তরিকের AC ও BD কর্ণ দুটি O বিন্দুতে মিলিত হয়েছে । AC কর্ণের উপর P ও R দুটি এমন বিন্দু যাতে AP = CR হয়। প্রমাণ করতে হবে চতুর্ভুজ PBRD একটি সামন্তরিক । 

পৰ ABCD একটি সামন্তরিকের AC ও BD কর্ণ দুটি O বিন্দুতে মিলিত হয়েছে। AC কর্ণের উপর P ও R দুটি এমন বিন্দু যাতে AP = CR হয় ।

আমাদের প্রমাণ করতে হবে চতুর্ভুজ PBRD একটি সামন্তরিক। 

প্রমাণ : যেহেতু ABCD একটি সামন্তরিক , সুতরাং তার কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখন্ডিত করবে । 

অর্থাৎ , OA = OC এবং OB = OD হবে । 

এখন OP =OA - AP 

অতএব OP = OC - CR ( যেহেতু OA = OC এবং AP = CR )

অতএব OP = OR 

সুতরাং PBRD চতুর্ভুজের OP = OR এবং OB = OD অর্থাৎ PBRD চতুর্ভুজের PR এবং BD দুটি কর্ণদ্বয় পরস্পরকে O বিন্দুতে সমদ্বিখন্ডিত করেছে । 

সুতরাং PBRD একটি সামন্তরিক । 

 

ABCD একটি সামন্তরিকের DA ও DC বাহুকে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে এমন ভাবে বাড়ানো হল যাতে AP = DA এবং CQ = DC হয়। প্রমাণ করতে হবে যে P , B , Q তিনটি সমরেখ । 

পৰ

ABCD একটি সামান্তরিকের DA ও DC বাহুকে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে এমন ভাবে বাড়ানো হল যাতে AP = DA এবং CQ = DC হয় ।

আমাদের প্রমাণ করতে হবে যে P , B , Q তিনটি সমরেখ । 

অঙ্কন : P , B ; B , Q এবং C , Q যুক্ত করলাম । 

প্রমাণ : যেহেতু ABCD একটি সামান্তরিক তাই DA = CB এবং DA ।। CB .

দেওয়া আছে AP = DA 

অতএব AP = CB এবং AP ।। CB 

অতএব চতুর্ভুজ APBC একটি সামন্তরিক । 

সুতরাং PB ।। AC ..........(i)

আবার ABCD একটি সামন্তরিক তাই DC = AB এবং DC ।। AB .

দেওয়া আছে CQ = DC

অতএব CQ =  AB এবং CQ ।। AB 

অতএব চতুর্ভুজ ABQC একটি সামন্তরিক । 

সুতরাং BQ ।। AC .............(ii)

(i) ও (ii) থেকে পাই 

PB ।। BQ 

আবার যেহেতু B বিন্দুটি দুটি সরলরেখাতেই আছে সুতরাং PB ও BQ  একই সরলরেখাতেই আছে । সুতরাং P , B ও Q বিন্দু তিনটি সমরেখ । 

*****

Comments

Related Items

আয়তক্ষেত্র, বর্গক্ষেত্র ও ত্রিভূজ

আয়তক্ষেত্র,বর্গক্ষেত্র ও ত্রিভূজ

সমবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য

সমবিন্দু সরলরেখা, ত্রিভুজের বাহুগুলির লম্বসমদ্বিখণ্ডকদ্বয় সমবিন্দু , ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু থেকে বিপরীত বাহুগুলির উপর অঙ্কিত লম্ব তিনটি সমবিন্দু , ত্রিভুজের কোণগুলির অন্তর্সমদ্বিখণ্ডক তিনটি সমবিন্দু। প্রমাণ করতে হবে একটি ত্রিভুজের দুটি কোণের বহিঃসমদ্বিখণ্ডক ...

জ্যামিতিক অঙ্কন - সম্পাদ্য

জ্যামিতিক অঙ্কন ---সম্পাদ্য

লগারিদম (Logarithm)

কোনো ধনাত্মক রাশি যদি অপর একটি ধনাত্মক রাশির ঘাতের সমান হয় , তবে ওই ধনাত্মক ঘাতের সূচককে ( Index of Power ) বলে প্রথম সারিটির লগারিদম (Logarithm) ।

ক্ষেত্রফল সংক্রান্ত উপপাদ্য

ক্ষেত্রফল হল কোনো ক্ষেত্রের পরিমাপ (Magnitude or measure). এই পরিমাপটি কোনো একক (Unit) সমেত প্রকাশ করা হয়। যেমন 50 বর্গ মিটার কোনো ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল। কোনো সমতলিক ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের ধর্ম , ক্ষেত্রফল সংক্রান্ত উপপাদ্য (Theorems of Area) ...