বহুপদী সংখ্যামালার ধর্ম (Properties of Polynomials) :
দুটি বহুপদীয় রাশির যোগফল, বিয়োগফল ও গুণফল সর্বদা বহুপদীয় রাশি হয় ।
উদাহরণ : কোনো বিদ্যালয়ে ছাত্র ছাত্রীরা মোট [tex]\left( {{x^2} + 8} \right)[/tex] টি চারাগাছ লাগিয়েছে। কিন্তু শিক্ষক শিক্ষিকা ও অতিথিরা যথাক্রমে [tex]\left( {3{x^2} + 2x + 5} \right)[/tex] টি এবং [tex]\left( {{x^3} + 1} \right)[/tex] টি চারাগাছ লাগিয়েছে। তাহলে সবাই মিলে মোট কতগুলি চারাগাছ লাগানো হয়েছে
মনে করি [tex]f\left( x \right) = {x^2} + 8[/tex] , [tex]g\left( x \right) = 3{x^2} + 2x + 5[/tex] এবং [tex]h\left( x \right) = {x^3} + 1[/tex]
অতএব
[tex]\begin{array}{l}
f\left( x \right) + g\left( x \right) + h\left( x \right)\\
= {x^2} + 8 + 3{x^2} + 2x + 5 + {x^3} + 1\\
= {x^3} + 4{x^2} + 2x + 14
\end{array}[/tex]
সবাই মিলে মোট [tex]{x^3} + 4{x^2} + 2x + 14[/tex] টি চারাগাছ লাগানো হয়েছে ।
উদারহণ : মনে করি [tex]f\left( x \right) = {x^2} + 8[/tex] এবং [tex]g\left( x \right) = 3{x^2} + 2x + 5[/tex] এই দুটি বহুপদী সংখ্যামালার বিয়োগফল নির্ণয় করতে হবে ।
[tex]\begin{array}{l}
g\left( x \right) - f\left( x \right)\\
= \left( {3{x^2} + 2x + 5} \right) - \left( {{x^2} + 8} \right)\\
= 3{x^2} + 2x + 5 - {x^2} - 8\\
= 2{x^2} + 2x - 3
\end{array}[/tex]
দেখা যাচ্ছে তাদের বিয়োগফল একটি বহুপদী সংখ্যামালা
উদাহরণ : মনে করি [tex]f\left( x \right) = {x^2} + 8[/tex] এবং [tex]g\left( x \right) = 3{x^2} + 2x + 5[/tex] এই দুটি বহুপদী সংখ্যামালার গুণফল নির্ণয় করতে হবে ।
[tex]\begin{array}{l}
g\left( x \right) \times f\left( x \right)\\
= \left( {3{x^2} + 2x + 5} \right) \times \left( {{x^2} + 8} \right)\\
= 3{x^2} \times \left( {{x^2} + 8} \right) + 2x \times \left( {{x^2} + 8} \right) + 5 \times \left( {{x^2} + 8} \right)\\
= 3{x^4} + 24{x^2} + 2{x^3} + 16x + 5{x^2} + 40\\
= 3{x^4} + 2{x^3} + 29{x^2} + 16x + 40
\end{array}[/tex]
উদাহরণ : y = 1 এর জন্য [tex]f\left( y \right) = {y^3} + 2y - 5[/tex] এর মান নির্ণয় কর
y = 1 , [tex]f\left( y \right) = {y^3} + 2y - 5[/tex] এই অপেক্ষকে বসিয়ে পাই
[tex]f\left( 1 \right) = {1^3} + 2 \times 1 - 5 = 1 + 2 - 5 = - 2[/tex]
একটি সংখ্যা c কে f(x) বহুপদী সংখ্যামালার শূন্য বলা হবে যদি f(c) = 0 হয় ।
উদাহরণ : [tex]f\left( x \right) = 8 - x[/tex] এই বহুপদী সংখ্যামালার শূন্য কি হবে ?
[tex]\begin{array}{l}
f\left( 1 \right) = 8 - 1 = 7\\
f\left( 2 \right) = 8 - 2 = 6\\
f\left( 3 \right) = 8 - 3 = 5\\
f\left( 4 \right) = 8 - 4 = 4\\
f\left( 5 \right) = 8 - 5 = 3\\
f\left( 6 \right) = 8 - 6 = 2\\
f\left( 7 \right) = 8 - 7 = 1\\
f\left( 8 \right) = 8 - 8 = 0
\end{array}[/tex]
দেখা যাচ্ছে x = 8 এর জন্য বহুপদী সংখ্যামালা শূন্য হবে ।
বিকল্প পদ্ধতি :
[tex]f\left( x \right) = 8 - x[/tex] এই বহুপদী সংখ্যামালা শূন্য হলে x এর মান কি হবে তা নির্ণয় করি
[tex]\begin{array}{l}
8 - x = 0\\
\Rightarrow x = 8
\end{array}[/tex]
উদাহরণ : 6 এই বহুপদী সংখ্যার পদ শূন্য কি হবে তা নির্ণয় করি ।
[tex]6 = 6{x^0}[/tex] দেখা যাচ্ছে x এর পরিবর্তে কোনো সংখ্যা বসালে 6 বহুপদী সংখ্যার পদ শূন্য পাবনা। কিন্তু এখানে [tex]x \ne 0[/tex] বসাতে হবে। কারণ [tex]{0^0}[/tex] হল অসংজ্ঞাত ।
অতএব শূন্য ছাড়া কোনো ধ্রূবক বহুপদী সংখ্যার শূন্য নেই ।
কিন্তু শূন্য বহুপদী সংখ্যার শূন্য কী হবে ?
প্রত্যেক বাস্তব সংখ্যার শূন্য বহুপদী সংখ্যার শূন্য। কারণ 0 কে লেখা যায় [tex]0 \cdot {x^3}[/tex] . x এর পরিবর্তে যেকোনো বাস্তব সংখ্যা বসালে [tex]0 \cdot {x^3}[/tex] এর মান শূন্য হবে। যেমন [tex]0 \cdot {5^3} = 0[/tex] , [tex]0 \cdot {3^3} = 0[/tex] ইত্যাদি। কিন্তু [tex]0 \cdot {x^0}[/tex] এর ক্ষেত্রে [tex]x \ne 0[/tex] বসাতে হবে। কারণ [tex]{0^0}[/tex] হল অসংজ্ঞাত ।
ভাগ পদ্ধতি ( Division Algorithm )
যদি কোনো বহুপদী রাশিমালা অপেক্ষক f(x) এমন হয় যে f(a) = 0 তখন অপেক্ষকটি ( x-a ) দ্বারা বিভাজ্য হবে। অর্থাৎ বহুপদী সংখ্যামালা সর্বদাই তার উৎপাদক দ্বারা বিভাজ্য হবে ।
বিভাজ্যতার কয়েকটি গুরুত্বপূর্ণ সূত্র
সূত্র 1.
[tex]{x^n} - {a^n}[/tex] এই সংখ্যামালাটি সর্বদা x - a দ্বারা বিভাজ্য হবে যদি n যেকোনো ধনাত্মক জোড় অথবা বিজোড় সংখ্যা হয় ।
এই ভাগ পদ্ধতিটি হল
[tex]\begin{array}{l}
\frac{{{x^n} - {a^n}}}{{x - a}} = {x^{n - 1}} + {x^{n - 2}}a + {x^{n - 3}}{a^2} + ........... + x{a^{n - 2}} + {a^{n - 1}}\\
\Rightarrow {x^n} - {a^n} = \left( {x - a} \right)\left( {{x^{n - 1}} + {x^{n - 2}}a + {x^{n - 3}}{a^2} + ........... + x{a^{n - 2}} + {a^{n - 1}}} \right)
\end{array}[/tex]
সূত্র 2.
[tex]{x^n} - {a^n}[/tex] এই সংখ্যামালাটি x + a দ্বারা বিভাজ্য হবে যদি n একটি ধনাত্মক জোড় সংখ্যা হয়। ( কিন্তু n বিজোড় সংখ্যা হলে বিভাজ্য হবে না )
এই ভাগ প্রক্রিয়াটি হল
[tex]\begin{array}{l}
\frac{{{x^n} - {a^n}}}{{x + a}} = {x^{n - 1}} - {x^{n - 2}}a + {x^{n - 3}}{a^2} - ............... + {a^{n - 2}}x - {a^{n - 1}}\\
\Rightarrow {x^n} - {a^n} = \left( {x + a} \right)\left( {{x^{n - 1}} - {x^{n - 2}}a + {x^{n - 3}}{a^2} - ............... + {a^{n - 2}}x - {a^{n - 1}}} \right)
\end{array}[/tex]
সূত্র 3.
[tex]{x^n} + {a^n}[/tex] এই সংখ্যামালাটি x + a দ্বারা বিভাজ্য হবে যদি n একটি ধনাত্মক অযুগ্ম সংখ্যা হয়। ( কিন্তু যদি n যুগ্ম হয় তাহলে বিভাজ্য হবে না) ।
এই ভাগ প্রক্রিয়াটি হল
[tex]\begin{array}{l}
\frac{{{x^n} + {a^n}}}{{x + a}} = {x^{n - 1}} - {x^{n - 2}}a + {x^{n - 3}}{a^2} - .......... + {\left( { - 1} \right)^{n - 2}}x{a^{n - 2}} + {\left( { - 1} \right)^{n - 1}}x{a^{n - 1}}\\
\Rightarrow {x^n} + {a^n} = \left( {x + a} \right)\left( {{x^{n - 1}} - {x^{n - 2}}a + {x^{n - 3}}{a^2} - .......... + {{\left( { - 1} \right)}^{n - 2}}x{a^{n - 2}} + {{\left( { - 1} \right)}^{n - 1}}x{a^{n - 1}}} \right)
\end{array}[/tex]
সূত্র ৪.
[tex]{x^n} + {a^n}[/tex] এই সংখ্যামালাটি n যুগ্ম অথবা অযুগ্ম যাই হোকনা কেন x - a দ্বারা কখনোই বিভাজ্য হবে না ।
বিশেষ জ্ঞাতব্য :
যদি n অযুগ্ম সংখ্যা হয়
- [tex]{x^n} - {a^n}[/tex] এই সংখ্যামালাটি x - a দ্বারা বিভাজ্য হবে ।
- [tex]{x^n} - {a^n}[/tex] এই সংখ্যামালাটি x + a দ্বারা বিভাজ্য হবে না ।
- [tex]{x^n} + {a^n}[/tex] এই সংখ্যামালাটি x + a দ্বারা বিভাজ্য হবে ।
- [tex]{x^n} + {a^n}[/tex] এই সংখ্যামালাটি x - a দ্বারা বিভাজ্য হবে না ।
যদি n যুগ্ম সংখ্যা হয়
- [tex]{x^n} - {a^n}[/tex] এই সংখ্যামালাটি x - a দ্বারা বিভাজ্য হবে ।
- [tex]{x^n} - {a^n}[/tex] এই সংখ্যামালাটি x + a দ্বারা বিভাজ্য হবে ।
- [tex]{x^n} + {a^n}[/tex] এই সংখ্যামালাটি x + a দ্বারা বিভাজ্য হবে না ।
- [tex]{x^n} + {a^n}[/tex] এই সংখ্যামালাটি x - a দ্বারা বিভাজ্য হবে না ।
*****
