বহুপদী সংখ্যামালার ধর্ম

বহুপদী সংখ্যামালার ধর্ম (Properties of Polynomials) :

দুটি বহুপদীয় রাশির যোগফল, বিয়োগফল ও গুণফল সর্বদা বহুপদীয় রাশি হয় । 

উদাহরণ : কোনো বিদ্যালয়ে ছাত্র ছাত্রীরা মোট $\left( {{x^2} + 8} \right)$ টি চারাগাছ লাগিয়েছে। কিন্তু শিক্ষক শিক্ষিকা ও অতিথিরা যথাক্রমে $\left( {3{x^2} + 2x + 5} \right)$ টি এবং $\left( {{x^3} + 1} \right)$ টি চারাগাছ লাগিয়েছে। তাহলে সবাই মিলে মোট কতগুলি চারাগাছ লাগানো হয়েছে 

মনে করি $f\left( x \right) = {x^2} + 8$ , $g\left( x \right) = 3{x^2} + 2x + 5$ এবং $h\left( x \right) = {x^3} + 1$

অতএব 

$\begin{array}{l} f\left( x \right) + g\left( x \right) + h\left( x \right)\\  = {x^2} + 8 + 3{x^2} + 2x + 5 + {x^3} + 1\\  = {x^3} + 4{x^2} + 2x + 14 \end{array}$

সবাই মিলে মোট ${x^3} + 4{x^2} + 2x + 14$ টি  চারাগাছ লাগানো হয়েছে । 

উদারহণ : মনে করি $f\left( x \right) = {x^2} + 8$ এবং $g\left( x \right) = 3{x^2} + 2x + 5$ এই দুটি বহুপদী সংখ্যামালার বিয়োগফল নির্ণয় করতে হবে । 

$\begin{array}{l} g\left( x \right) - f\left( x \right)\\  = \left( {3{x^2} + 2x + 5} \right) - \left( {{x^2} + 8} \right)\\  = 3{x^2} + 2x + 5 - {x^2} - 8\\  = 2{x^2} + 2x - 3 \end{array}$

দেখা যাচ্ছে তাদের বিয়োগফল একটি বহুপদী সংখ্যামালা 

উদাহরণ : মনে করি $f\left( x \right) = {x^2} + 8$ এবং $g\left( x \right) = 3{x^2} + 2x + 5$ এই দুটি বহুপদী সংখ্যামালার গুণফল নির্ণয় করতে হবে । 

$\begin{array}{l} g\left( x \right) \times f\left( x \right)\\  = \left( {3{x^2} + 2x + 5} \right) \times \left( {{x^2} + 8} \right)\\  = 3{x^2} \times \left( {{x^2} + 8} \right) + 2x \times \left( {{x^2} + 8} \right) + 5 \times \left( {{x^2} + 8} \right)\\  = 3{x^4} + 24{x^2} + 2{x^3} + 16x + 5{x^2} + 40\\  = 3{x^4} + 2{x^3} + 29{x^2} + 16x + 40 \end{array}$

উদাহরণ : y = 1 এর জন্য $f\left( y \right) = {y^3} + 2y - 5$ এর মান নির্ণয় কর 

y = 1 , $f\left( y \right) = {y^3} + 2y - 5$ এই অপেক্ষকে বসিয়ে পাই 

$f\left( 1 \right) = {1^3} + 2 \times 1 - 5 = 1 + 2 - 5 =  - 2$

একটি সংখ্যা c কে f(x) বহুপদী সংখ্যামালার শূন্য বলা হবে যদি f(c) = 0 হয় । 

উদাহরণ : $f\left( x \right) = 8 - x$ এই বহুপদী সংখ্যামালার শূন্য কি হবে ?

$\begin{array}{l} f\left( 1 \right) = 8 - 1 = 7\\ f\left( 2 \right) = 8 - 2 = 6\\ f\left( 3 \right) = 8 - 3 = 5\\ f\left( 4 \right) = 8 - 4 = 4\\ f\left( 5 \right) = 8 - 5 = 3\\ f\left( 6 \right) = 8 - 6 = 2\\ f\left( 7 \right) = 8 - 7 = 1\\ f\left( 8 \right) = 8 - 8 = 0 \end{array}$

দেখা যাচ্ছে x = 8 এর জন্য বহুপদী সংখ্যামালা শূন্য হবে । 

বিকল্প পদ্ধতি : 

$f\left( x \right) = 8 - x$ এই বহুপদী সংখ্যামালা শূন্য হলে x এর মান কি হবে তা নির্ণয় করি 

$\begin{array}{l} 8 - x = 0\\  \Rightarrow x = 8 \end{array}$

উদাহরণ : 6 এই বহুপদী সংখ্যার পদ শূন্য কি হবে তা নির্ণয় করি । 

$6 = 6{x^0}$ দেখা যাচ্ছে x এর পরিবর্তে কোনো সংখ্যা বসালে 6 বহুপদী সংখ্যার পদ শূন্য পাবনা। কিন্তু এখানে $x \ne 0$ বসাতে হবে। কারণ ${0^0}$ হল অসংজ্ঞাত । 

অতএব শূন্য ছাড়া কোনো ধ্রূবক বহুপদী সংখ্যার শূন্য নেই । 

কিন্তু শূন্য বহুপদী সংখ্যার শূন্য কী হবে ?

প্রত্যেক বাস্তব সংখ্যার শূন্য বহুপদী সংখ্যার শূন্য। কারণ 0 কে লেখা যায় $0 \cdot {x^3}$ . x এর পরিবর্তে যেকোনো বাস্তব সংখ্যা বসালে $0 \cdot {x^3}$ এর মান শূন্য হবে। যেমন $0 \cdot {5^3} = 0$ , $0 \cdot {3^3} = 0$ ইত্যাদি। কিন্তু $0 \cdot {x^0}$ এর ক্ষেত্রে $x \ne 0$ বসাতে হবে। কারণ ${0^0}$ হল অসংজ্ঞাত ।

ভাগ পদ্ধতি ( Division Algorithm )

যদি কোনো বহুপদী রাশিমালা অপেক্ষক f(x) এমন হয় যে f(a) = 0 তখন অপেক্ষকটি ( x-a ) দ্বারা বিভাজ্য হবে। অর্থাৎ বহুপদী সংখ্যামালা সর্বদাই তার উৎপাদক দ্বারা বিভাজ্য হবে । 

বিভাজ্যতার কয়েকটি গুরুত্বপূর্ণ সূত্র 

সূত্র 1.

${x^n} - {a^n}$ এই সংখ্যামালাটি সর্বদা x - a দ্বারা বিভাজ্য হবে যদি n যেকোনো ধনাত্মক জোড় অথবা বিজোড় সংখ্যা হয় । 

এই ভাগ পদ্ধতিটি হল 

$\begin{array}{l} \frac{{{x^n} - {a^n}}}{{x - a}} = {x^{n - 1}} + {x^{n - 2}}a + {x^{n - 3}}{a^2} + ........... + x{a^{n - 2}} + {a^{n - 1}}\\  \Rightarrow {x^n} - {a^n} = \left( {x - a} \right)\left( {{x^{n - 1}} + {x^{n - 2}}a + {x^{n - 3}}{a^2} + ........... + x{a^{n - 2}} + {a^{n - 1}}} \right) \end{array}$

সূত্র 2.

${x^n} - {a^n}$ এই সংখ্যামালাটি x + a দ্বারা বিভাজ্য হবে যদি n একটি ধনাত্মক জোড় সংখ্যা হয়। ( কিন্তু n বিজোড় সংখ্যা হলে বিভাজ্য হবে না ) 

এই ভাগ প্রক্রিয়াটি হল 

$\begin{array}{l} \frac{{{x^n} - {a^n}}}{{x + a}} = {x^{n - 1}} - {x^{n - 2}}a + {x^{n - 3}}{a^2} - ............... + {a^{n - 2}}x - {a^{n - 1}}\\  \Rightarrow {x^n} - {a^n} = \left( {x + a} \right)\left( {{x^{n - 1}} - {x^{n - 2}}a + {x^{n - 3}}{a^2} - ............... + {a^{n - 2}}x - {a^{n - 1}}} \right) \end{array}$

সূত্র 3.

${x^n} + {a^n}$ এই সংখ্যামালাটি x + a দ্বারা বিভাজ্য হবে যদি n একটি ধনাত্মক অযুগ্ম সংখ্যা হয়। ( কিন্তু যদি n যুগ্ম হয় তাহলে বিভাজ্য হবে না) ।

এই ভাগ প্রক্রিয়াটি হল 

$\begin{array}{l} \frac{{{x^n} + {a^n}}}{{x + a}} = {x^{n - 1}} - {x^{n - 2}}a + {x^{n - 3}}{a^2} - .......... + {\left( { - 1} \right)^{n - 2}}x{a^{n - 2}} + {\left( { - 1} \right)^{n - 1}}x{a^{n - 1}}\\  \Rightarrow {x^n} + {a^n} = \left( {x + a} \right)\left( {{x^{n - 1}} - {x^{n - 2}}a + {x^{n - 3}}{a^2} - .......... + {{\left( { - 1} \right)}^{n - 2}}x{a^{n - 2}} + {{\left( { - 1} \right)}^{n - 1}}x{a^{n - 1}}} \right) \end{array}$

সূত্র ৪.

${x^n} + {a^n}$ এই সংখ্যামালাটি n যুগ্ম অথবা অযুগ্ম যাই হোকনা কেন x - a দ্বারা কখনোই বিভাজ্য হবে না । 

বিশেষ জ্ঞাতব্য : 

যদি n অযুগ্ম সংখ্যা হয় 

1. ${x^n} - {a^n}$ এই সংখ্যামালাটি x - a দ্বারা বিভাজ্য হবে । 
2. ${x^n} - {a^n}$ এই সংখ্যামালাটি x + a দ্বারা বিভাজ্য হবে না । 
3. ${x^n} + {a^n}$ এই সংখ্যামালাটি x + a দ্বারা বিভাজ্য হবে । 
4. ${x^n} + {a^n}$ এই সংখ্যামালাটি x - a দ্বারা বিভাজ্য হবে না ।

যদি n যুগ্ম সংখ্যা হয় 

1. ${x^n} - {a^n}$ এই সংখ্যামালাটি x - a দ্বারা বিভাজ্য হবে । 
2. ${x^n} - {a^n}$ এই সংখ্যামালাটি x + a দ্বারা বিভাজ্য হবে । 
3. ${x^n} + {a^n}$ এই সংখ্যামালাটি x + a দ্বারা বিভাজ্য হবে না । 
4. ${x^n} + {a^n}$ এই সংখ্যামালাটি x - a দ্বারা বিভাজ্য হবে না ।

*****