গুণনীয়ক উপপাদ্য (Factor Theorem)

গুণনীয়ক উপপাদ্য (Factor Theorem)

যদি f(x) কোনো একটি বহুপদী সংখ্যামালা যার মাত্রা $n\left( {n \ge 1} \right)$ এবং a যেকোনো একটি বাস্তব সংখ্যা হয় , তাহলে 

• ( x-a ) , f(x) এর একটি উৎপাদক হবে , যদি f(a) = 0 হয় 
• বিপরীতক্রমে f(a) = 0 হবে , যদি ( x-a ) , f(x) এর একটি উৎপাদক হয় 

প্রমাণ : ভাগশেষ উপপাদ্য থেকে বলতে পারি, একটি বহুপদী সংখ্যামালা f(x) কে ( x-a ) দিয়ে ভাগ করলে একটি বহুপদী সংখ্যামালা q(x) পাবো যাতে  $f\left( x \right) = \left( {x - a} \right)q\left( x \right) + f\left( a \right)$

(i) যদি f(a) = 0 হয় , তবে $f\left( x \right) = \left( {x - a} \right)q\left( x \right)$ পাবো । 

অতএব ( x-a ) , f(x) এর একটি উৎপাদক হবে । 

(ii) আবার যদি ( x-a ) , f(x) এর একটি উৎপাদক হয় তাহলে একটি বহুপদী সংখ্যামালা g(x) পাবো যাতে $f\left( x \right) = \left( {x - a} \right)g\left( x \right)$ হবে । 

x = a বসিয়ে পাবো $f\left( a \right) = \left( {a - a} \right)g\left( a \right) = 0$ ( প্রমাণিত )

উদাহরণ : k এর মান কত হলে $\left( {3x - 2} \right)$ , $15{x^2} - kx - 14$ এর একটি উৎপাদক হবে ?

মনে করি $f\left( x \right) = 15{x^2} - kx - 14$

এখন $3x - 2 = 0 \Rightarrow x = \frac{2}{3}$

অর্থাৎ $\left( {3x - 2} \right)$ রৈখিক বহুপদী সংখ্যামালার শূন্য $\frac{2}{3}$

যেহেতু $\left( {3x - 2} \right)$ , $15{x^2} - kx - 14$ এর একটি উৎপাদক 

অতএব $f\left( {\frac{2}{3}} \right) = 0$

অতএব 

$\begin{array}{l} 15{\left( {\frac{2}{3}} \right)^2} - k\left( {\frac{2}{3}} \right) - 14 = 0\\  \Rightarrow 15 \times \frac{4}{9} - \frac{2}{3}k - 14 = 0\\  \Rightarrow \frac{{20}}{3} - \frac{2}{3}k - 14 = 0\\  \Rightarrow 20 - 42 - 2k = 0\\  \Rightarrow 2k =  - 22\\  \Rightarrow k =  - 11\\ \end{array}$

অতএব k = -11 হলে ,  $\left( {3x - 2} \right)$ , $15{x^2} - kx - 14$ এর একটি উৎপাদক হবে । 

উদাহরণ : n , যেকোনো যুগ্ম ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা হলে দেখাই যে ${x^n} - {y^n}$ বহুপদী সংখ্যামালাটির একটি উৎপাদক হবে x+y ।

মনে করি  ${x^n} - {y^n}$ কে x+y দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল Q এবং x বর্জিত ভাগশেষ R 

ভাজ্য = ভাজক $\times$ ভাগফল +ভাগশেষ 

অতএব ${x^n} - {y^n} = \left( {x + y} \right)Q + R$ ( এটি একটি অভেদ )

যেহেতু R ভাগশেষটি x বর্জিত , সুতরাং x এর মান যাই হোকনা কেন তাতে R এর মান পরিবর্তিত হবেনা। তাই উপরের অভেদে x এর জায়গায় (-y) লিখে পাই 

$\begin{array}{l} {\left( { - y} \right)^n} - {y^n} = \left( { - y + y} \right)Q + R\\  \Rightarrow {y^n} - {y^n} = R\\  \Rightarrow R = 0 \end{array}$

( যেহেতু n যুগ্ম ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা তাই ${\left( { - y} \right)^n} = {y^n}$ )

সুতরাং ${x^n} - {y^n}$ বহুপদী সংখ্যামালাটির একটি উৎপাদক হবে x+y যখন n একটি যুগ্ম ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা । 

*****