ক্ষেত্রফল সংক্রান্ত উপপাদ্য (Theorems on Area)
ক্ষেত্রফল বলতে কি বোঝায় ?
ক্ষেত্রফল হল কোনো ক্ষেত্রের পরিমাপ ( Magnitude or measure ) . এই পরিমাপটি কোনো একক ( Unit ) সমেত প্রকাশ করা হয়। যেমন 50 বর্গ মিটার কোনো ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ।
দুটি সমতলিক ক্ষেত্রের আকার ও মাপ যদি একই হয় তবে তাদের ক্ষেত্রফল একই রকম হয় । কিন্তু আবার দুটি সমতলিক ক্ষেত্রের আকার ও পরিমাপ ভিন্ন হলেও তাদের ক্ষেত্রফল একই রকম হতে পারে । যেমন
এখানে দুটি চিত্র দেওয়া আছে একটি বর্গাকার ও অন্যটি আয়তকার । বর্গাকার ক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য হল 4 সেমি ও আয়তকার ক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ হল যথাক্রমে 2 সেমি ও 8 সেমি। কিন্তু তাদের প্রত্যেকের ক্ষেত্রফল হল 16 বর্গসেমি ।
কোনো সমতলিক ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের ধর্ম
- A ও B দুটি সমতলিক ক্ষেত্র সর্বসম হলে A এর ক্ষেত্রফল = B এর ক্ষেত্রফল হবে ।
- একটি সমতলিক ক্ষেত্রকে দুটি আলাদা আলাদা ( যদি একটি ক্ষেত্র অপরটির ক্ষেত্রের কোনও জায়গা না নেয় ) অংশ A ও B তে বিভুক্ত করলে ,
সমগ্র সমতলিক ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = A অংশের ক্ষেত্রফল + B অংশের ক্ষেত্রফল
ক্ষেত্রফল সংক্রান্ত উপপাদ্য ( Theorems of Area)
একই ভূমি এবং একই সমান্তরাল যুগলের মধ্যে অবস্থিত সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল সমান
মনে করি ABCD ও EBCF দুটি সামান্তরিক একই ভূমি BC এবং একই সামান্তরিক যুগল AF ও BC এর মধ্যে অবস্থিত ।
আমাদের প্রমাণ করতে হবে যে ABCD ও EBCF সামান্তরিক দুটির ক্ষেত্রফল সমান ।
প্রমাণ : এখন ত্রিভুজ ABE ও ত্রিভুজ CDF এর
AB = DC ( যেহেতু সামান্তরিকের বিপরীত বাহু )
BE = CF ( যেহেতু সামান্তরিকের বিপরীত বাহু )
[tex]\angle BAE = \angle CDF[/tex] ( যেহেতু AB ।। DC এবং AF হল ছেদক )
অতএব ত্রিভুজ ABE [tex] \cong [/tex] ত্রিভুজ CDF
সুতরাং ত্রিভুজ ABE এর ক্ষেত্রফল = ত্রিভুজ CDF এর ক্ষেত্রফল
এখন সমগ্র চতুর্ভুজ ABCF - ত্রিভুজ ABE = সমগ্র চতুর্ভুজ ABCF - ত্রিভুজ CDF
সামান্তরিক EBCF = সামান্তরিক ABCD
অর্থাৎ ABCD ও EBCF সামান্তরিক দুটির ক্ষেত্রফল সমান ।
প্রয়োগ : ABCD ও ABEF দুটি সামান্তরিক AB রেখার বিপরীত দিকে এমন ভাবে আছে যাতে D , A ও F তিনটি বিন্দু সমরেখ না হয়। প্রমাণ করতে হবে DCEF একটি সামান্তরিক এবং ABCD সামান্তরিক আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল + ABEF সামান্তরিক আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = DCEF সামান্তরিক আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ।
ABCD ও ABEF দুটি সামান্তরিক AB রেখার বিপরীত দিকে এমন ভাবে আছে যাতে D , A ও F তিনটি বিন্দু সমরেখ না হয় ।
প্রমাণ করতে হবে
- DCEF একটি সামান্তরিক
- ABCD সামান্তরিক আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল + ABEF সামান্তরিক আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = DCEF সামান্তরিক আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ।
প্রমাণ : ABCD একটি সামান্তরিক । 
অতএব AB ।। DC এবং AB = DC .............(i)
আবার ABEF একটি সামান্তরিক ।
অতএব AB ।। EF এবং AB = EF ............(ii)
(i) ও (ii) থেকে পাই
DC ।। EF এবং DC = EF
অতএব চতুর্ভুজ DCEF একটি সামান্তরিক ।
সুতরাং DF = CE .
এখন ত্রিভুজ ADF ও ত্রিভুজ BCE এর
AD = BC ( যেহেতু ABCD সামান্তরিকের বিপরীত বাহু )
AF = BE ( যেহেতু ABEF সামান্তরিকের বিপরীত বাহু )
DF = CE
অতএব ত্রিভুজ ADF [tex] \cong [/tex] ত্রিভুজ BCE
অতএব ত্রিভুজ ADF = ত্রিভুজ BCE
এখন বহুভুজ DAFEC এর ক্ষেত্রফল - ত্রিভুজ ADF = বহুভুজ DAFEC এর ক্ষেত্রফল - ত্রিভুজ BCE
DCEF সামান্তরিক আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = বহুভুজ DAFEBC এর ক্ষেত্রফল
বহুভুজ DAFEBC এর ক্ষেত্রফল = DCEF সামান্তরিক আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল
ABCD সামান্তরিক আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল + ABEF সামান্তরিক আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = DCEF সামান্তরিক আকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ।
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = ভূমি [tex] \times [/tex] উচ্চতা এর প্রমাণ
মনে করি ABCD একটি সামান্তরিক
প্রমাণ করতে হবে ABCD সামান্তরিক আকারের ক্ষেত্রফল = ভূমি [tex] \times [/tex] উচ্চতা
অঙ্কন : BC কে ভূমি করে BC ও AD সমান্তরাল যুগলের মধ্যে একটি আয়তক্ষেত্র BCFE অঙ্কন করা হল। যা বর্ধিত AD ও AD কে যথাক্রমে E ও F বিন্দুতে ছেদ করেছে ।
প্রমাণ : সামান্তরিক ABCD ও আয়তক্ষেত্র BCFE একই ভূমি BC এবং একই সমান্তরাল যুগল BC ও ED এর মধ্যে অবস্থিত ।
সুতরাং ABCD সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = BCFE আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল
আমরা জানি BCFE আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল
= দৈর্ঘ্য [tex] \times [/tex] প্রস্থ
= BC [tex] \times [/tex] EB
= ভূমি [tex] \times [/tex] উচ্চতা
অতএব ABCD সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = ভূমি [tex] \times [/tex] উচ্চতা
অতএব সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = ভূমি [tex] \times [/tex] উচ্চতা
একই ভূমির উপর এবং একই সমান্তরাল যুগলের মধ্যে অবস্থিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল সামান্তরিকের ক্ষেত্রফলের অর্ধেক ।
মনে করি ত্রিভুজ ABC এবং সামান্তরিক EBCF একই ভূমি BC এবং একই সমান্তরাল যুগল EF ও BC এর মধ্যে অবস্থিত ।
প্রমাণ করতে হবে ত্রিভুজ ABC = [tex]\frac{1}{2}[/tex] সামান্তরিক EBCF
অঙ্কন : BA এর সমান্তরাল করে CD সরলরেখা টানা হল যা বর্ধিত EF কে D বিন্দুতে ছেদ করে ।
প্রমাণ : ABCD একটি সামান্তরিক যার BC ।। AD এবং AB ।। DC ও AC হল কর্ণ।
অতএব ত্রিভুজ ABC = [tex]\frac{1}{2}[/tex] সামান্তরিক ABCD
আবার সামান্তরিক EBCF এবং সামান্তরিক ABCD একই ভূমি BC এবং একই সমান্তরাল যুগল ED ও BC এর মধ্যে অবস্থিত .
অতএব সামান্তরিক EBCF = সামান্তরিক ABCD
অতএব ত্রিভুজ ABC = [tex]\frac{1}{2}[/tex] সামান্তরিক EBCF .
আমরা জানি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = [tex]\frac{1}{2}[/tex] ভূমি [tex] \times [/tex] উচ্চতা
আবার ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = [tex]\frac{1}{2}[/tex] সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল
অতএব সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = ভূমি [tex] \times [/tex] উচ্চতা
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = [tex]\frac{1}{2} \times [/tex] ভূমি [tex] \times [/tex] উচ্চতা প্রমাণ
মনে করি ABC একটি ত্রিভুজ যার ভূমি BC এবং [tex]AF \bot BC[/tex]
প্রমাণ করতে হবে [tex]\frac{1}{2} \times BC \times AF[/tex]
অঙ্কন : BC কে ভূমি করে BC এমন একটি আয়তক্ষেত্র BCED অঙ্কন করা হল যাতে , D , A ,E সমরেখ হয় ।
প্রমাণ : ত্রিভুজ ABC ও আয়তক্ষেত্র BCED একই ভূমি BC এবং একই সমান্তরাল যুগল BC ও DE এর মধ্যে অবস্থিত ।
অতএব ত্রিভুজ ABC এর ক্ষেত্রফল = [tex]\frac{1}{2} \times [/tex] আয়তক্ষেত্র BCED এর ক্ষেত্রফল
= [tex]\frac{1}{2} \times BC \times DB[/tex]
= [tex]\frac{1}{2} \times BC \times AF[/tex] ( যেহেতু DB = AF )
= [tex]\frac{1}{2} \times [/tex] ভূমি [tex] \times [/tex] উচ্চতা
প্রয়োগ : ABCD সামান্তরিকের ভিতর P যেকেনো একটি বিন্দু। প্রমাণ করতে হবে APD ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল + BPC ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = [tex]\frac{1}{2} \times [/tex] সামান্তরিক ABCD এর ক্ষেত্রফল ।
ABCD সামান্তরিকের ভিতর P যেকেনো একটি বিন্দু ।
প্রমাণ করতে হবে APD ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল + BPC ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = [tex]\frac{1}{2} \times [/tex] সামান্তরিক ABCD এর ক্ষেত্রফল ।
অঙ্কন : P বিন্দু দিয়ে AD বাহুর সমান্তরাল করে EF অঙ্কন করা হল যা AB ও DC কে যথাক্রমে E ও F বিন্দুতে ছেদ করে ।
প্রমাণ : AEFD চতুর্ভুজের AE ।। DF ( যেহেতু AB ।। DC )
এবং AD ।। EF ( অঙ্কনানুসারে )
অতএব AEFD চতুর্ভুজটি হল একটি সামান্তরিক ।
এখন ত্রিভুজ ADP এবং সামান্তরিক AEFD একই ভূমি AD এবং একই সমান্তরাল যুগল EF ও AD এর মধ্যে অবস্থিত
সুতরাং ত্রিভুজ ADP এর ক্ষেত্রফল = [tex]\frac{1}{2} \times [/tex] AEFD সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল ...........(i)
অনুরূপভাবে প্রমাণ করা যায় ত্রিভুজ BPD ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = [tex]\frac{1}{2} \times [/tex] BCFE সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল ...........(ii)
এখন (i) + (ii) করে পাই
ত্রিভুজ ADP এর ক্ষেত্রফল + ত্রিভুজ BPD ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = [tex]\frac{1}{2} \times [/tex] AEFD সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল + [tex]\frac{1}{2} \times [/tex] BCFE সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল
অতএব ত্রিভুজ ADP এর ক্ষেত্রফল + ত্রিভুজ BPD ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = [tex]\frac{1}{2} \times [/tex] সামান্তরিক ABCD এর ক্ষেত্রফল ।
প্রয়োগ : ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের AB = AC ; BC বাহুর উপরে O যেকোনো একটি বিন্দু। O বিন্দু থেকে AB ও AC বাহুর উপরে লম্ব দূরত্ব যথাক্রমে OP এবং OQ ; B বিন্দু থেকে AC বাহুর উপরে লম্ব দূরত্ব BD ; প্রমাণ করতে হবে OP + OQ = BD .
ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের AB = AC ; BC বাহুর উপরে O যেকোনো একটি বিন্দু। O বিন্দু থেকে AB ও AC বাহুর উপরে লম্ব দূরত্ব যথাক্রমে OP এবং OQ ; B বিন্দু থেকে AC বাহুর উপরে লম্ব দূরত্ব BD.
প্রমাণ করতে হবে OP + OQ = BD
অঙ্কন : A , O যুক্ত করলাম ।
প্রমাণ : AOB ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = [tex]\frac{1}{2} \times AB \cdot OP[/tex]..........(i)
AOC ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = [tex]\frac{1}{2} \times AC \cdot OQ[/tex].............(ii)
(i) + (ii) করে পাই
AOB ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল + AOC ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = [tex]\frac{1}{2}AB \cdot OP + \frac{1}{2} \times AC \cdot OQ[/tex]
অতএব ত্রিভুজ ABC এর ক্ষেত্রফল = [tex]\frac{1}{2}AC \cdot OP + \frac{1}{2} \times AC \cdot OQ[/tex] ( যেহেতু AB = AC )
[tex]\begin{array}{l}
\Rightarrow \frac{1}{2}AC \cdot BD = \frac{1}{2}AC\left( {OP + OQ} \right)\\
\Rightarrow BD = OP + OQ
\end{array}[/tex]
প্রয়োগ: ABC সমবাহু ত্রিভুজের ভিতর O যেকোনো একটি বিন্দু। O বিন্দু থেকে BC , AC এবং AB বাহুর উপর লম্ব যথাক্রমে OP , OQ এবং OR ; প্রমাণ করতে হবে ত্রিভুজটির উচ্চতা = OP + OQ + OR .
ABC সমবাহু ত্রিভুজের ভিতর O যেকোনো একটি বিন্দু । O বিন্দু থেকে BC , AC এবং AB বাহুর উপর লম্ব যথাক্রমে OP , OQ এবং OR . A বিন্দু থেকে BC বাহুর উপর AD লম্ব টানা হল । সুতরাং AD হল ABC ত্রিভুজের উচ্চতা ।
আমাদের প্রমাণ করতে হবে AD = OP + OQ + OR .
অঙ্কন : O , A ; O , B এবং O , C যুক্ত করলাম ।
প্রমাণ : ত্রিভুজ ABC এর ক্ষেত্রফল = [tex]\frac{1}{2}BC \cdot AD[/tex]
ত্রিভুজ BOC এর ক্ষেত্রফল = [tex]\frac{1}{2}BC \cdot OP[/tex].............(i)
ত্রিভুজ AOB এর ক্ষেত্রফল = [tex]\frac{1}{2}AB \cdot OR[/tex].............(ii)
ত্রিভুজ AOC এর ক্ষেত্রফল = [tex]\frac{1}{2}AC \cdot OQ[/tex]............(iii)
এখন (i) + (ii) + (iii)
ত্রিভুজ BOC এর ক্ষেত্রফল + ত্রিভুজ AOB এর ক্ষেত্রফল + ত্রিভুজ AOC এর ক্ষেত্রফল = [tex]\frac{1}{2}BC \cdot OP[/tex] + [tex]\frac{1}{2}AB \cdot OR[/tex] + [tex]\frac{1}{2}AC \cdot OQ[/tex]
অতএব ত্রিভুজ ABC এর ক্ষেত্রফল = [tex]\frac{1}{2}BC \cdot OP + \frac{1}{2}BC \cdot OR + \frac{1}{2}BC \cdot OQ[/tex]
( যেহেতু ABC সমবাহু ত্রিভুজ এর AB = BC = CA )
অতএব [tex]\frac{1}{2}BC \cdot AD[/tex] = [tex]\frac{1}{2}BC \cdot \left( {OP + OR + OQ} \right)[/tex]
[tex]\begin{array}{l}
\Rightarrow AD = OP + OR + OQ\\
\Rightarrow AD = OP + OQ + OR
\end{array}[/tex]
একই ভূমি ও একই সমান্তরাল যুগলের মধ্যে অবস্থিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল সমান ।
মনে করি ত্রিভুজ ABC এবং ত্রিভুজ BCD একই ভূমি BC এবং একই সমান্তরাল যুগল AD ও BC এর মধ্যে অবস্থিত ।
প্রমাণ করতে হবে ত্রিভুজ ABC এর ক্ষেত্রফল = ত্রিভুজ BCD এর ক্ষেত্রফল
অঙ্কন : BA এর সমান্তরাল করে CE সরলরেখা টানা হল যা বর্ধিত AD কে E বিন্দুতে ছেদ করে ।
প্রমাণ : ABCE চতুর্ভুজের
AB ।। CE ( অঙ্কনানুসারে ) এবং AE ।। BC ( কল্পনানুসারে )
অতএব ABCE চতুর্ভুজটি হল সামান্তরিক ।
এখন চতুর্ভুজ ABCE ও ত্রিভুজ ABC একই ভূমি BC এবং একই সমান্তরাল যুগল AE ও BC এর মধ্যে অবস্থিত ।
অতএব ত্রিভুজ ABC = [tex]\frac{1}{2} \times [/tex] চতুর্ভুজ ABCE
আবার চতুর্ভুজ ABCE ও ত্রিভুজ BCD একই ভূমি BC এবং একই সমান্তরাল যুগল AE ও BC এর মধ্যে অবস্থিত ।
অতএব ত্রিভুজ BCD = [tex]\frac{1}{2} \times [/tex] চতুর্ভুজ ABCE
অতএব ত্রিভুজ ABC = ত্রিভুজ BCD
প্রয়োগ : প্রমাণ করতে হবে যে কোনো ত্রিভুজের মধ্যমা ত্রিভুজটিকে দুটি সমান ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট ত্রিভুজে বিভক্ত করে ।
মনে করি ABC একটি ত্রিভুজ এবং AD হল তার মধ্যমা অর্থাৎ BD = DC .
আমাদের প্রমাণ করতে হবে ত্রিভুজ ABD এর ক্ষেত্রফল = ত্রিভুজ ACD এর ক্ষেত্রফল ।
অঙ্কন : A থেকে BC ভূমির উপর AO লম্ব টানা হল ।
প্রমাণ : ত্রিভুজ ABD এর ক্ষেত্রফল
= [tex]\frac{1}{2} \times [/tex] ভূমি [tex] \times [/tex] উচ্চতা
= [tex]\frac{1}{2}BD \cdot AO[/tex]
আবার ত্রিভুজ ACD এর ক্ষেত্রফল
= [tex]\frac{1}{2} \times [/tex] ভূমি [tex] \times [/tex] উচ্চতা
= [tex]\frac{1}{2}DC \cdot AO[/tex]
= [tex]\frac{1}{2}BD \cdot AO[/tex] ( যেহেতু BD = DC )অতএব ত্রিভুজ ABD এর ক্ষেত্রফল = ত্রিভুজ ACD এর ক্ষেত্রফল ।
প্রয়োগ : ABC ত্রিভুজের AD মধ্যমার উপর P যেকোনো একটি বিন্দু প্রমাণ করতে হবে যে ত্রিভুজ APB এর ক্ষেত্রফল = ত্রিভুজ APC এর ক্ষেত্রফল
ABC ত্রিভুজের AD মধ্যমার উপর P যেকোনো একটি বিন্দু ।
প্রমাণ করতে হবে যে ত্রিভুজ APB এর ক্ষেত্রফল = ত্রিভুজ APC এর ক্ষেত্রফল
প্রমাণ : AD হল ত্রিভুজ ABC এর মধ্যমা ।
অতএব ত্রিভুজ ABD এর ক্ষেত্রফল = ত্রিভুজ ACD এর ক্ষেত্রফল......(i)
আবার ত্রিভুজ BPC ত্রিভুজের PD হল মধ্যমা
অতএব ত্রিভুজ BPD এর ক্ষেত্রফল = ত্রিভুজ CPD এর ক্ষেত্রফল ............(ii)
এখন (i) - (ii) করে পাই
ত্রিভুজ ABD এর ক্ষেত্রফল - ত্রিভুজ BPD এর ক্ষেত্রফল = ত্রিভুজ ACD এর ক্ষেত্রফল - ত্রিভুজ CPD এর ক্ষেত্রফল
ত্রিভুজ ABP এর ক্ষেত্রফল = ত্রিভুজ ACP এর ক্ষেত্রফল
প্রয়োগ : ABC ত্রিভুজের AB , BC ও CA বাহুগুলির মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D , E ও F . প্রমাণ করতে হবে যে ত্রিভুজ DEF = [tex]\frac{1}{4}[/tex] ত্রিভুজ ABC .
ABC ত্রিভুজের AB , BC ও CA বাহুগুলির মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D , E ও F .
প্রমাণ করতে হবে যে ত্রিভুজ DEF = [tex]\frac{1}{4}[/tex] ত্রিভুজ ABC .
প্রমাণ : E ও F যথাক্রমে BC ও AC এর মধ্যবিন্দু . অতএব AD ।। EF
আবার D ও E হল যথাক্রমে AB ও BC এর মধ্যবিন্দু . অতএব DE ।। AF
সুতরাং ADEF হল একটি সামান্তরিক এবং DF হল কর্ণ ।
অতএব ত্রিভুজ ADF = ত্রিভুজ DEF
অনুরূপভাবে প্রমাণ করা যায় ত্রিভুজ BDE = ত্রিভুজ DEF এবং ত্রিভুজ CEF = ত্রিভুজ DEF .
সুতরাং ত্রিভুজ ABC
= ত্রিভুজ ADF + ত্রিভুজ BDE + ত্রিভুজ CEF + ত্রিভুজ DEF
= ত্রিভুজ DEF + ত্রিভুজ DEF + ত্রিভুজ DEF + ত্রিভুজ DEF
= 4 ত্রিভুজ DEF
অতএব ত্রিভুজ DEF = [tex]\frac{1}{4}[/tex] ত্রিভুজ ABC
*****
- 9873 views
