দুটি জটিল রাশির গুণফল ও ভাগফলের মডিউলাস এবং আরগুমেন্ট নির্ণয়

দুটি জটিল রাশির গুণফল ও ভাগফলের মডিউলাস এবং আরগুমেন্ট নির্ণয় (To find the Modulus and the Arguments of the Product and Quotient of two complex number)

মনে করি দুটি জটিল রাশি হল 

$\begin{array}{l} {z_1} = {r_1}\left( {\cos {\theta _1} + i\sin {\theta _1}} \right)\\ {z_2} = {r_2}\left( {\cos {\theta _2} + i\sin {\theta _2}} \right) \end{array}$

অতএব $\left| {{z_1}} \right| = {r_1}$ ও  $\left| {{z_2}} \right| = {r_2}$

এবং $\arg {z_1} = {\theta _1}$ ও $\arg {z_2} = {\theta _2}$

যেখানে $- \pi  < {\theta _1} \le \pi$ এবং $- \pi  < {\theta _2} \le \pi$

(1) ${z_1} \cdot {z_2}$ এর মডিউলাস এবং আরগুমেন্ট নির্ণয় (To find the Modulus and the Arguments of the Product of two complex number)

$\begin{array}{l} {z_1} \cdot {z_2}\\  = \left( {{r_1}\cos {\theta _1} + i{r_1}\sin {\theta _1}} \right) \cdot \left( {{r_2}\cos {\theta _2} + i{r_2}\sin {\theta _2}} \right)\\  = {r_1}{r_2}\cos {\theta _1}\cos {\theta _2} + {i^2}{r_1}{r_2}\cos {\theta _1}\sin {\theta _2} + i{r_1}{r_2}\sin {\theta _1}\cos {\theta _2} + i{r_1}{r_2}\sin {\theta _1}\sin {\theta _2}\\  = {r_1}{r_2}\left[ {\cos {\theta _1}\cos {\theta _2} - \sin {\theta _1}\sin {\theta _2} + i\left( {\sin {\theta _1}\cos {\theta _2} + \cos {\theta _1}\sin {\theta _2}} \right)} \right]\\  = {r_1}{r_2}\left[ {\cos \left( {{\theta _1} + {\theta _2}} \right) + i\sin \left( {{\theta _1} + {\theta _2}} \right)} \right]\\  = r\left( {\cos \theta  + i\sin \theta } \right) \end{array}$

যেখানে $r = {r_1}{r_2}$ এবং $\theta  = {\theta _1} + {\theta _2}$

এখন $\left| {{z_1} \cdot {z_2}} \right| = r = {r_1}{r_2} = \left| {{z_1}} \right| \cdot \left| {{z_2}} \right|$

দুটি জটিল রাশির গুণফলের মডিউলাস = তাদের পৃথক পৃথক ভাবে মডিউলাস এর গুণফলের সঙ্গে সমান । 

আবার $- \pi  < {\theta _1} \le \pi$ এবং $- \pi  < {\theta _2} \le \pi$ অতএব $- 2\pi  < \theta  \le 2\pi$ যেখানে $\theta  = {\theta _1} + {\theta _2}$

$- \pi  < \theta  + m \le \pi$ যেখানে m = 0 অথবা $2\pi$ অথবা $- 2\pi$ 

সুতরাং 

$\begin{array}{l} \arg \left( {{z_1}{z_2}} \right)\\  = \theta  + m\\  = {\theta _1} + {\theta _2} + m\\  = \arg {z_1} + \arg {z_2} + m \end{array}$

যেখানে m = 0 অথবা $2\pi$ অথবা $- 2\pi$ 

(i) যদি $- \pi  < \arg {z_1} + \arg {z_2} \le \pi$ হয় , তবে $\arg \left( {{z_1}{z_2}} \right) = \arg {z_1} + \arg {z_2}$ হবে। 

(ii) যদি $- 2\pi  < \arg {z_1} + \arg {z_2} \le  - \pi$ হয় , তবে $\arg \left( {{z_1}{z_2}} \right) = \arg {z_1} + \arg {z_2} + 2\pi$ হবে। 

এবং (iii) যদি $\pi  < \arg {z_1} + \arg {z_2} \le 2\pi$ হয় , তবে $\arg \left( {{z_1}{z_2}} \right) = \arg {z_1} + \arg {z_2} - 2\pi$ হবে। 

(2) $\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}}$ এর মডিউলাস এবং আরগুমেন্ট নির্ণয় (To find the Modulus and Argument of $\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}}$ $\left( {{z_2} \ne 0} \right)$ )  

$\begin{array}{l} \frac{{{z_1}}}{{{z_2}}}\\  = \frac{{{r_1}\left( {\cos {\theta _1} + i\sin {\theta _1}} \right)}}{{{r_2}\left( {\cos {\theta _2} + i\sin {\theta _2}} \right)}}\\  = \frac{{{r_1}\left( {\cos {\theta _1} + i\sin {\theta _1}} \right)\left( {\cos {\theta _2} - i\sin {\theta _2}} \right)}}{{{r_2}\left( {\cos {\theta _2} + i\sin {\theta _2}} \right)\left( {\cos {\theta _2} - i\sin {\theta _2}} \right)}}\\  = \frac{{{r_1}\left( {\cos {\theta _1}\cos {\theta _2} - i\sin {\theta _2}\cos {\theta _1} + i\sin {\theta _1}\cos {\theta _2} + \sin {\theta _1}\sin {\theta _2}} \right)}}{{{r_2}\left( {{{\cos }^2}{\theta _2} + {{\sin }^2}{\theta _2}} \right)}}\\  = \frac{{{r_1}}}{{{r_2}}}\left[ {\cos \left( {{\theta _1} - {\theta _2}} \right) + i\sin \left( {{\theta _1} - {\theta _2}} \right)} \right]\\  = r\left[ {\cos \theta  + i\sin \theta } \right] \end{array}$

যেখানে $r = \frac{{{r_1}}}{{{r_2}}}$ এবং $\theta  = {\theta _1} - {\theta _2}$

সুতরাং $\left| {\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}}} \right| = \sqrt {{r^2}\left( {{{\cos }^2}\theta  + {{\sin }^2}\theta } \right)}  = r$

অতএব $\left| {\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}}} \right| = r = \frac{{{r_1}}}{{{r_2}}} = \frac{{\left| {{z_1}} \right|}}{{\left| {{z_2}} \right|}}$

অর্থাৎ দুটি জটিল রাশির ভাগফলের মডিউলাস = জটিল রাশি দুটির মডিউলাসের ভাগফল । 

এখন $- \pi  < {\theta _2} \le \pi$ অতএব $- \pi  \le  - {\theta _2} < \pi$ এবং $- \pi  < {\theta _1} \le \pi$

সুতরাং $- 2\pi  < {\theta _1} - {\theta _2} < 2\pi  \Rightarrow  - 2\pi  < \theta  < 2\pi$

বা , $- \pi  < \theta  + m < \pi$ যেখানে m এর মান 0 অথবা $2\pi$ বা -$2\pi$

$\begin{array}{l} \arg \frac{{{z_1}}}{{{z_2}}}\\  = \theta  + m\\  = {\theta _1} - {\theta _2} + m\\  = \arg {z_1} - \arg {z_2} + m \end{array}$

যেখানে m এর মান 0 অথবা $2\pi$ বা -$2\pi$