Madhyamik Examination (WBBSE) - 2017 Mathematics [Bengali Version]

Madhyamik Examination (WBBSE) - 2017 Mathematics

1. নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলির প্রতিটি ক্ষেত্রে সঠিক উত্তরটি নির্বাচন করো :      1x6=6

(i) কোনো আসল ও তার বার্ষিক সবৃদ্ধিমূলের অনুপাত 25 : 28 হলে, বার্ষিক সুদের হার —

(a) 3%       (b) 12%       (c) [tex]10 {5 \over 7}[/tex]%       (d) 8%

(ii)  কোন শর্তে ax² + bx + c = 0 দ্বিঘাত সমীকরণটির একটি বীজ শূন্য হবে  ?

(a) a = 0       (b) b = 0       (c) c = 0      (d) কোনোটিই নয় 

(iii) দুটি বৃত্ত পরস্পরকে স্পর্শ বা ছেদ না করলে বৃত্ত দুটির সাধারণ স্পর্শকের সংখ্যা  —

(a) 2 টি       (b) 1 টি       (c) 3 টি       (d) 4 টি

(iv)  sin θ = cos θ হলে,  2θ এর মন  —

(a) 30°      (b) 60°      (c) 45°      (d) 90°

(v) একটি শঙ্কুর ভূমির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য এবং উচ্চতা প্রত্যেকটি দ্বিগুণ হলে, শঙ্কুটির আয়তন হয় পূর্বের শঙ্কুর আয়তনের  —

(a) 3 গুণ        (b) 4 গুণ       (c) 6 গুণ        (d) 8 গুণ

(vi)  2, 8, 2, 3, 8, 5, 9, 5, 6 সংখ্যাগুলির মধ্যমা  —

(a) 8       (b) 6.5       (c) 5.5        (d) 5

2. শূন্যস্থান পূরণ কর (যেকোনো পাঁচটি) :     1x5=5

(i) কোনো মূলধনের বার্ষিক শতকরা সুদের হারে —— বছরের সরল সুদ ও চক্রবৃদ্ধি সুদের পরিমাণ সমান ।

(ii)  ax² + bx + c = 0 (a # 0) দ্বিঘাত সমীকরণটির b² = 4ac হলে, বীজদ্বয় বাস্তব ও  —— হবে ।

(iii) দুটি ত্রিভুজের বাহুগুলির দৈর্ঘ্যের পরিমাপ সমানুপাতে থাকলে, ত্রিভুজ দুটি —— হবে ।

(iv)  [tex]{\cos ^2}\theta  - {\sin ^2}\theta  = {1 \over x},(x > 1) [/tex] হলে, [tex]{\cos ^4}\theta  - {\sin ^4}\theta [/tex] = —— ।

(v) একটি নিরেট অর্ধগোলকের তল সংখ্যা —— ।

(vi)  [tex]{x_1},{x_2},{x_3}, \cdots ,{x_n}[/tex] এই n সংখ্যক সংখ্যার গড় [tex]\overline x [/tex] হলে,  [tex]K{x_1},K{x_2},K{x_3} \cdots ,K{x_n}[/tex] এর গড়  —— [tex](K \ne 0)[/tex] ।

3. সত্য বা মিথ্যা লেখো (যেকোনো পাঁচটি):    1x5=5

(i) A 10,000 টাকা দিয়ে ব্যবসা শুরু করার 6 মাস পরে B 20,000 টাকা দিল । বৎসরান্তে তাদের লভ্যাংশের পরিমাণ সমান হবে ।

(ii) If [tex]x = 2 + \sqrt 3 [/tex] হলে, [tex]x + {1 \over x}[/tex] -এর মন হবে [tex]2\sqrt 3 [/tex] ।

(iii) 7 সেমি ও 3 সেমি ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট দুটি বৃত্ত বহিঃস্পর্শ করলে, তাদের কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব 4 সেমি হবে ।

(iv)  0° < θ < 90° হলে, sin θ > sin²θ হবে ।

(v) একটি অর্ধ গোলকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল 36π বর্গ সেমি হলে, ওর ব্যাসার্ধ 3 সেমি হবে ।

(vi) ওজাইভ দুটির ছেদবিন্দু থেকে x -অক্ষের ওপর লম্ব টানলে x -অক্ষ ও লম্বের ছেদবিন্দুর ভুজই হল মধ্যমা  ।

4.  নিম্নলিখিত গুলির উত্তর দাও (যে-কোনো দশটি):  2x10=20

(i)  r% হার চক্রবৃদ্ধি সুদে কোনো মূলধন 8 বছরে দ্বিগুণ হলে, কত বছরে চার গুণ হবে ?

(ii)  কোনো এক ব্যবসায় A -এর মূলধন B -এর মূলধনের দেড়গুণ । ওই ব্যবসায় বৎসরান্তে B 1,500 টাকা লভ্যাংশ পেলে, A কত টাকা লভ্যাংশ পাবে ?

(iii) সমাধান না করে 'p' -এর যে সকল মানের জন্য x² + (p - 3)x + p = 0 সমীকরণের বাস্তব ও সমান বীজ আছে তা নির্ণয় করো ।

(iv)  [tex] x \propto yz[/tex] এবং [tex] y \propto zx[/tex] হলে, দেখাও যে,  z (≠ 0) একটি ধ্রুবক ।

(v) দুটি সদৃশ ত্রিভুজের পরিসীমা যথাক্রমে 20 সেমি ও 16 সেমি । প্রথম ত্রিভুজের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য 9 সেমি হলে, দ্বিতীয় ত্রিভুজের অনুরূপ বাহুর দৈর্ঘ্য কত ?

(vi) [tex] \triangle ABC[/tex] -এর [tex] \angle ABC[/tex] = 90°, AB = 5 সেমি, BC = 12 সেমি হলে, ওই ত্রিভুজটির পরিব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য কত  ?

(vii) [tex] \triangle ABC[/tex] -এর AB = (2a - 1) সেমি, AC = [tex] 2 \sqrt 2a [/tex] সেমি এবং BC = (2a +1) সেমি হলে, [tex] \angle BAC[/tex] -এর মান লেখো ।

(viii) x = a secθ, y = b tanθ হলে, x এবং y -এর মধ্যে θ বর্জিত সম্পর্কটি নির্ণয় করো ।

(ix) tan (θ + 15°) = [tex] \sqrt 3[/tex] হলে, sinθ + cosθ -এর মান নির্ণয় করো ।.

(x) একটি গোলকের ব্যাস অপর একটি গোলকের ব্যাসের দ্বিগুণ । যদি বড়ো গোলকটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফলের সাংখ্যমান ছোটো গোলকটির আয়তনের সাংখ্যমানের সমান সমান হয়, তবে ছোট গোলকটির ব্যাসার্ধ কত  ?

(xi)  একটি আয়তঘনের তলসংখ্যা x, ধার সংখ্যা y, শীর্ষবিন্দুর সংখ্যা z এবং কর্ণের সংখ্যা P হলে, x - y + z + P এর মান কত ?.

(xii) 11, 12, 14, x - 2, x + 4, x + 9, 32, 38, 47 রাশিগুলি ঊর্ধ্বক্রমানুসারে সাজানো এবং তাদের মধ্যমা 24 হলে, x -এর মান নির্ণয় করো ।

5. যে-কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও:    5x1=5

(i) বার্ষিক 4% হার সুদে কত টাকার 2 বছরের সরল সুদ ও চক্রবৃদ্ধি সুদের অন্তত 80 টাকা হবে ?

(ii) A, B ও C যৌথভাবে 1,80,000 টাকা দিয়ে একটি ব্যবসা শুরু করল । A , B -এর থেকে 20,000 টাকা বেশি এবং B, C -এর থেকে 20,000 টাকা বেশি দিল । লাভের পরিমাণ 10,800 টাকা তাদের মধ্যে ভাগ করে দাও ।

6. যে-কোনো একটি সমাধান করো:   3x1=3

(i) সমাধান করো:  [tex]{1 \over {a + b + x}} = {1 \over a} + {1 \over b} + {1 \over x},\left[ {x \ne 0, - \left( {a + b} \right)} \right][/tex]

(ii) একটি অখন্ড ধনাত্মক সংখ্যার পাঁচগুণ, তার বর্গের দ্বিগুণ অপেক্ষা 3 কম হলে, সংখ্যাটি কত  ?

7.  যে-কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও:     3x1=3

(i) সরল করো :  [tex]{1 \over {\sqrt 2  + \sqrt 3 }} - {{\sqrt 3  + 1} \over {2 + \sqrt 3 }} + {{\sqrt 2  + 1} \over {3 + 2\sqrt 2 }}[/tex]

(ii) একটি হোস্টেলের ব্যয় আংশিক ধ্রুবক ও আংশিক ওই হোস্টেলের আবাসিকদের সংখ্যার সঙ্গে সরল ভেদে আছে । আবাসিক সংখ্যা 120 হলে, ব্যয় 2000 টাকা এবং আবাসিক সংখ্যা 100 হলে, ব্যয় 1700 টাকা হয় । ব্যয় 1880 টাকা হলে হোস্টেলের আবাসিক সংখ্যা কত হবে ?

8. যে-কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও:      3x1=3

(i) যদি [tex]{a \over {b + c}} = {b \over {c + a}} = {c \over {a + b}}[/tex] হয়, তবে প্রমাণ করো যে, প্রত্যেকটি অনুপাতের মান হয় {tex]{1 \over 2}[/tex] অথবা  -1 ।

(ii) যদি (b + c - a)x = (c + a - b)y = (a + b - c)z = 2 হয়, তবে দেখাও যে, [tex]\left( {{1 \over x} + {1 \over y}} \right)\left( {{1 \over y} + {1 \over z}} \right)\left( {{1 \over z} + {1 \over x}} \right) = abc[/tex]

9. যে-কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও:     5x1=5

(i) যে-কোনো ত্রিভুজের একটি বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল অপর দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান হলে, প্রমাণ করো যে, প্রথম বাহুর বিপরীত কোণটি সমকোণ হবে ।

(ii) প্রমাণ করো যে, কোনো বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে যে দুটি স্পর্শক অঙ্কন করা যায়, তাদের স্পর্শবিন্দু দুটির সঙ্গে বহিস্থ বিন্দুর সংযোজক সরলরেখাংশ দুটির দৈর্ঘ্য সমান ।

10. যে-কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও:   3x1=3

(i) প্রমাণ করো যে, কোনো চতুর্ভুজের কোণ চারটির সমদ্বিখণ্ডকগুলি পরস্পর মিলিত হয়ে যে চতুর্ভুজ গঠন করে, সেটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ ।

(ii) [tex] \triangle ABC[/tex] পরিকেন্দ্র O এবং [tex]OD \bot BC[/tex] । প্রমাণ করো যে, [tex] \angle BOD= \angle BAC[/tex].

11. যে-কোন একটি প্রশ্নের উত্তর দাও:     5x1=5

(i) 6 সেমি বাহুবিশিষ্ট একটি সমবাহু ত্রিভুজ অঙ্কন করো এবং ওই ত্রিভুজটির অন্তর্বৃত্ত অঙ্কন করো । (কেবলমাত্র অঙ্কনচিহ্ন দিতে হবে ) ।

(ii) 8 সেমি ও 6 সেমি বাহুবিশিষ্ট একটি আয়তক্ষেত্র অঙ্কন করো এবং ওই আয়তক্ষেত্রের সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট একটি বর্গক্ষেত্র অঙ্কন করো । (কেবলমাত্র অঙ্কনচিহ্ন দিতে হবে) ।

12. যেকোনো দুটি প্রশ্নের উত্তর দাও:      3x2=6

(i) কোনো চতুর্ভুজের তিনটি কোণের পরিমাপ [tex] {\pi \over 3}, {{5\pi} \over 6}[/tex] ও 90° হলে, চতুর্থ কোনটির ষষ্টিক ও বৃত্তীয় মান লেখো ।

(ii) [tex]{{\sin \theta } \over x} = {{\cos \theta } \over y}[/tex] হলে, প্রমাণ করো যে , [tex]\sin \theta  - \cos \theta  = {{x - y} \over {\sqrt {{x^2} + {y^2}} }}[/tex] ।

(iii) যদি tan 9° = [tex]{a \over b}[/tex] হয়, তবে প্রমাণ করো যে, [tex]{{{{\sec }^2}{{81}^ \circ }} \over {1 + {{\cot }^2}{{81}^ \circ }}} = {{{b^2}} \over {{a^2}}}[/tex] ।

13. যে-কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও:      5x1=5

(i) দুটি স্তম্ভের দূরত্ব 150 মিটার । একটির উচ্চতা অন্যটির তিনগুণ । স্তম্ভদ্বয়ের পাদদেশে সংযোগকারী রেখাংশের মধ্যবিন্দু থেকে তাদের শীর্ষের উন্নতি কোণদ্বয় পরস্পর পূরক । ছোটো স্তম্ভটির উচ্চতা নির্ণয় করো ।

(ii) একটি লাইটহাউস থেকে তার সঙ্গে একই সরলরেখায় অবস্থিত দুটি জাহাজের অবনতি কোণ যদি 60° ও 30° হয় এবং কাছের জাহাজটি যদি লাইটহাউস থেকে 150 মিটার দূরে থাকে, তবে লাইটহাউস থেকে দূরের জাহাজটির দূরত্ব কত ?

14. যে-কোনো দুটি প্রশ্নের উত্তর দাও :     4x2=8

(i) 4.2 ডেসিমি দৈর্ঘ্যের ধারবিশিষ্ট একটি নিরেট কাঠের ঘনক থেকে সবথেকে কম কাঠ নষ্ট করে যে নিরেট লম্ববৃত্তাকার শঙ্কু পাওয়া যাবে, তার আয়তন নির্ণয় করো ।

(ii)  9 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি অর্ধগোলকাকার পাত্র সম্পূর্ণ জলপূর্ণ আছে । এই জল 3 সেমি দৈর্ঘ্যের ব্যাস এবং 4 সেন্টিমিটার উচ্চতা বিশিষ্ট একটি চোঙাকৃতি বোতলে ভরতি করে রাখা হবে । পাত্রটি খালি করতে কতগুলি বোতল দরকার হবে ?

(iii)  একটি ঢাকনাসমেত চোঙাকৃতি জলের ট্যাংকের ভূমির ক্ষেত্রফল 616 বর্গমিটার এবং উচ্চতা 21 মিটার । ওই ট্যাঙ্কের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো ।

15. যে-কোনো দুটি প্রশ্নের উত্তর দাও :      4x2=8

(i) নীচের তথ্যের মধ্যমা 32 হলে, x ও y -এর মান নির্ণয় করো যখন পরিসংখ্যার সমষ্টি 100 :

(ii) নীচের পরিসংখ্যা বিভাজনের সংখ্যাগুরু মান নির্ণয় করো ।

(iii) নীচের তথ্যের ক্রমোযৌগিক পরিসংখ্যা (বৃহত্তর সূচক) তালিকা তৈরি করে ছক কাগজে ওজাইভ অঙ্কন করোঃ

****