Madhyamik Examination (WBBSE) - 2020 MATHEMATICS (Bengali Version)

2020

MATHEMATICS

Compulsory

Time — 3 Hours 15 Minutes

(First 15 minutes for reading the question paper)

Full Marks — 90 — For Regular Candidates

Full Marks — 100 — For External Candidates

[1, 2, 3, 4 প্রশ্নগুলির উত্তর প্রশ্নসংখ্যা লিখে অবশ্যই ক্রমানুযায়ী উত্তরপত্রের প্রথম দিকে লিখতে হবে । এর জন্য প্রয়োজনবোধে গণনা ও চিত্র অঙ্কন উত্তরপত্রের ডানদিকে মার্জিন ট্রেনে করতে হবে । কোনো প্রকার সারণি বা গণকযন্ত্র ব্যবহার করা যাবে না । গণনার প্রয়োজনে পাই $\pi$ -এর আসন্ন মান ${{22} \over 7}$ ধরে নিতে হবে । দরকার মতো গ্রাফ পেপার দেওয়া হবে । পাটিগণিতের অঙ্ক বীজগাণিতিক পদ্ধতিতে করা যেতে পারে ।]

[দৃষ্টিহীন পরীক্ষার্থীদের জন্য 11 নং প্রশ্নের বিকল্প দেওয়া আছে 14 নং পৃষ্ঠায় ]

[ 16 নং প্রশ্ন কেবলমাত্র বহিরাগত পরীক্ষার্থীদের জন্য 15 এবং 16 নং পৃষ্ঠায় দেওয়া আছে ]

1.  নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলির প্রতিটি ক্ষেত্রে সঠিক উত্তরটি নির্বাচন করো :        1x6=6

     (i)  কোনো মূলধন 10 বছরে দ্বিগুণ হলে, বার্ষিক সরল সুদের হার—

          (a) 5%      (b) 10%        (c) 15%       (d) 20%

     (ii)  ${x^2} - 7x + 3 = 0$ সমীকরণের বীজদ্বয়ের গুণফল

           (a) 7      (b) -7      (c) 3      (d) -3

     (iii) O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AB ও CD জ্যা দুটির দৈর্ঘ্য সমান, $\angle AOB = {60^ \circ }$ হলে, $\angle COD$ এর মান হবে —

           (a) 30°      (b) 60°      (c) 120°      (d) 180°          

     (iv)  দুটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর আয়তনের অনুপাত 1 : 4 এবং তাদের ভুমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত 4: 5 হলে তাদের উচ্চতার অনুপাত —

            (a) 1 : 5      (b) 5 : 4      (c) 25 : 16      (d) 25 : 64

     (v) যদি $\sin \theta  - \cos \theta  = 0$,  $({O^ \circ } < \theta  < {90^ \circ })$ এবং $\sec \theta  + \cos ec \theta  = x$, হয় তাহলে এর মান —

           (a) 1      (b) 2       (c) $\sqrt 2$        (d) $2 \sqrt 2$

     (vi) 1, 3, 2, 8, 10, 8, 3, 2, 8, 8 এর সংখ্যাগুরু মান —

           (a) 2      (b) 3        (c) 8      (d) 10

2.  শূন্যস্থান পূরণ করো (যে কোনো পাঁচটি ):      1x5=5

     (i) আনিসুর 500 টাকা 9 মাসের জন্য এবং ডেভিড 600 টাকা 5 মাসের জন্য একটি যৌথ ব্যবসায় নিয়োজিত করে । তাদের লভ্যাংশের অনুপাত হবে _____ ।

     (ii) $a{x^2} + 2bx + c = 0(a \ne 0)$, দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান হলে b² = _____ হবে ।

     (iii) দুটি কোণের সমষ্টি _____ হলে তাদেরকে পরস্পরের সম্পূরক বলা হয় ।

     (iv) $\sin 3\theta$ এর সর্বোচ্চ মান _____ ।

     (v) একটি নিরেট গোলক গলিয়ে একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার চোঙ তৈরি করা হলে গোলক এবং চঙের _____ এর সমান হবে ।

     (vi) কিছু ছাত্রের বয়স হলো (বছর) 10, 11, 9, 7, 13, 8, 14; এদের বয়সের মধ্যমা হল _____ বছর ।

3.  সত্য বা মিথ্যা লেখো (যে কোনো পাঁচটি) :        1x5=5

     (i) বার্ষিক ${r \over 2}$ % সরল সুদের হারে 2p টাকার t বছরের সুদে আসলে হলো $\left( {2p + {{prt} \over {100}}} \right)$ টাকা ।

     (ii) 2a = 3b = 4c হলে a : b : c = 2 : 3 : 4 হবে ।

     (iii)  একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্যের অনুপাত 5 : 12 : 13, হলে ত্রিভুজটি সর্বদা সমকোণী ত্রিভুজ হবে ।

     (iv)  একটি রশ্মির প্রান্তবিন্দুকে কেন্দ্র করে, রশ্মিটিকে ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে ঘোরার জন্য উৎপন্ন কোণটি ধনাত্মক হবে ।

     (v)  n যদি যুগ্ম সংখ্যা হয়, তবে মধ্যমা হবে $\left ({n \over 2} \right )$ -তম ও $\left ({n \over 2} - 1 \right )$ -তম পর্যবেক্ষণের গড় ।

     (vi)  একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ভূমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য অর্ধেক এবং উচ্চতা দ্বিগুণ করা হলে শঙ্কুটির আয়তন একই থাকে ।

4.   যে কোনো দশটি প্রশ্নের উত্তর দাও :      2x10=20

     (i)  কোনো আসল ও তার 5 বছরের সবৃদ্ধি মূলের অনুপাত 5 : 6, হলে, বার্ষিক সরল সুদের হার নির্ণয় করো ।

     (ii)  A এবং B কোনো ব্যবসায় 1,050 টাকা লাভ করে । A এর মূলধন 900 টাকা এবং লভ্যাংশ 630 টাকা হলে B এর মূলধন কত ?

     (iii) $x \propto y,y \propto z$ এবং $z \propto x$ হলে, ধ্রুবক তিনটির গুণফল নির্ণয় করো ।

     (iv) $5{x^2} - 2x + 3 = 0$ দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদুটি $\alpha$ ও $\beta$ হলে ${1 \over \alpha } + {1 \over \beta }$ এর মান নির্ণয় করো ।

     (v) ABCD আয়তকার চিত্রের অভ্যন্তরে O বিন্দু এমনভাবে অবস্থিত যে OB = 6 সেমি, OD = 8 সেমি এবং OA = 5 সেমি । OC -র দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো ।

     (vi) ABC সমকোণী ত্রিভুজের $\angle ABC = {90^ \circ }$, AB = 3 সেমি, BC = 4 সেমি এবং B বিন্দু থেকে AC বাহুর উপর  লম্ব RD যা AC বাহুর সঙ্গে D বিন্দুতে মিলিত হয় । BD এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো ।

     (vii) দুটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 8 সেমি এবং 3 সেমি । তাদের কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব 13 সেমি । বৃত্ত দুটির সরল সাধারণ স্পর্শকের দৈর্ঘ্য কত ?

     (viii) একটি ঘড়ির ঘন্টার কাঁটা 1 ঘন্টায় যে কোণ আবর্তন করে তার বৃত্তীয় মান কত ?

     (ix) $\tan 4\theta \tan 6\theta  = 1$ এবং $6\theta$ ধনাত্মক সূক্ষ্মকোণ হলে, $\theta$ -র মান নির্ণয় করো ।

     (x) একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর উচ্চতা 12 সেমি এবং আয়তন $100 \pi$ ঘন সেমি । শঙ্কুরটির তির্যক উচ্চতা নির্ণয় করো ।

     (xi) দুটি গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত 1 : 4 হলে, তাদের আয়তনের অনুপাত নির্ণয় করো ।

     (xii) যদি ${u_i} = {{{x_i} - 35} \over {10}}$, $\Sigma {f_i}{u_i} = 30$ এবং $\Sigma {f_i} = 60$ হয়; তাহলে $\overline x$ এর মান নির্ণয় করো ।

 5.   যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও :             5

       (i) তোমার কাকার কারখানায় একটি মেশিনের মূল্য প্রতি বছর 10% হারে হ্রাস প্রাপ্ত হয় ।  মেসিনটির বর্তমান মূল্য টাকা 6000 টাকা হলে 3 বছর পরে ঐ মেসিনের মূল্য কত হবে ?

       (ii) তিন বন্ধু যথাক্রমে 1,20,000 টাকা, 1,50,000 টাকা ও 1,10,000 টাকা মূলধন নিয়ে একটি বাস ক্রয় করে । প্রথম জন ড্রাইভার ও বাকি দুজন কন্ডাক্টরের কাজ করে । তারা ঠিক করে যে সেই আয়ের ${2 \over 5}$ অংশ কাজের জন্য 3 : 2 : 2 অনুপাতে ভাগ করবে এবং বাকি টাকা মূলধনের অনুপাতে ভাগ করে নেবে । কোনো এক মাসে যদি 29,260 টাকা আয় হয়, তবে কে কত টাকা পাবে নির্ণয় করো ।

 6.   যে কোনো একটি প্রশ্নের সমাধান কারো :         3

       (i)  ${1 \over {x - 3}} - {1 \over {x + 5}} = {1 \over 6}$

       (ii)  দুটি ক্রমিক ধনাত্মক অযুগ্ম সংখ্যার গুণফল 143 হলে সমীকরণটি গঠন করো এবং শ্রীধর আচার্যের সূত্র প্রয়োগ করে সংখ্যাটি দুটি নির্ণয় করো ।

 7.   যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও :         3

      (i) $x = 2 + \sqrt 3$ এবং $x + y = 4$ হলে $xy + {1 \over {xy}}$ এর সরলতা মান নির্ণয় করো ।

      (ii) $a \propto b$ এবং $b \propto c$ হলে প্রমাণ করো $a^3 + b^3 + c^3 \propto 3abc$ ।

 8.   যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও :        3

       (i) $x:a = y:b = z:c$ হলে দেখাও ${{{x^3}} \over {{a^3}}}{{{y^3}} \over {{b^3}}}{{{z^3}} \over {{c^3}}} = {{3xyz} \over {abc}}$ ।

       (ii) যদি ${{ay - bx} \over c} = {{cx - az} \over b} = {{bz - cy} \over a}$ হয়, তবে প্রমাণ করো ${x \over a} = {y \over b} = {z \over c}$ ।

 9.   যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও :         5

       (i) প্রমাণ করো, একই বৃত্তাংশস্থ সকল কোণই সমান ।

       (ii) প্রমাণ করো, বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে যে দুটি স্পর্শক অঙ্কন করা যায় তাদের স্পর্শবিন্দু দুটির সঙ্গে বহিঃস্থ বিন্দুর সংযোজক সরলরেখাংশ দুটির দৈর্ঘ্য সমান ।

 10.   যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও :          3

         (i) দুটি বৃত্ত পরস্পরকে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করেছে । PA ও PB যথাক্রমে দুটি বৃত্তের ব্যাস হলে, প্রমাণ কর A, Q, B বিন্দুত্রয় সমরেখ ।

         (ii) সমকোণী ত্রিভুজ ABC এর $\angle A = {90^ \circ }$, BC এর উপর AD লম্ব, প্রমাণ করো   ।

 11.   যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও :        5

        (i) 4 সেমি এবং 3 সেমি দৈর্ঘ্যের সরলরেখাংশ দুটির মধ্যসমানুপাতী অঙ্কন করো ।

        (ii) 3 সেমি ব্যাসার্ধের একটি বৃত্ত অঙ্কন করো । বৃত্তের উপর একটি বিন্দু A তে একটি স্পর্শক অঙ্কন করো ।

 12.  যে কোনো দুটি প্রশ্নের উত্তর দাও :           3x2=6 

        (i) যদি $\sin {17^ \circ } = {x \over y}$ হয়, তাহলে দেখাও $\sec {17^ \circ } - \sin {73^ \circ } = {{{x^2}} \over {y\sqrt {{y^2} - {x^2}} }}$

        (ii) দুটি কোণের সমষ্টি 135° এবং তাদের অন্তর ${\pi \over {12}}$ হলে, কোণ দুটির ষষ্টিক ও বৃত্তীয় মান লেখো ।

        (iii) মান নির্ণয় করো :  ${{5{{\cos }^2}{\pi  \over 3} + 4{{\sec }^2}{\pi  \over 6} - {{\tan }^2}{\pi  \over 4}} \over {{{\sin }^2}{\pi  \over 6} + {{\cos }^2}{\pi  \over 6}}}$

 

 13.   যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও :         5

         (i) একটি হ্রদের h মিটার ওপর একটি বিন্দু থেকে কোনো মেঘের উন্নতি কোণ $\alpha$ এবং হ্রদের ওপর ওর প্রতিবিম্বের অবনতি কোণ $\alpha$ । প্রমাণ করো, যে বিন্দু থেকে মেঘ দেখা যাচ্ছে সেখান থেকে মেঘের দূরত্ব ${{2h\sec \alpha } \over {\tan \beta  - \tan \alpha }}$ ।

         (ii) দুটি স্তম্ভের উচ্চতা যথাক্রমে 180 মিটার এবং 60 মিটার । দ্বিতীয় স্তম্ভটির গোড়া থেকে প্রথমটির চূড়ার উন্নতি কোণ 60° হলে, প্রথমটির গোড়া থেকে দ্বিতীয়টির চূড়ার উন্নতি কোণ নির্ণয় করো ।

 14.  যে কোনো দুটি প্রশ্নের উত্তর দাও :        4x2=8

        (i) একটি ফাঁপা লম্ব বৃত্তাকার চোঙাকৃতি লোহার নলের বহির্ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 5 সেমি এবং অন্তর্ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 4 সেমি । নলটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল 1188 বর্গসেমি হলে নলটির দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো ।

       (ii)  9 সেমি অন্তর্ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি অর্ধগোলাকার পাত্র সম্পূর্ণ জলপূর্ণ আছে । এই জল 3 সেমি এবং 4 সেমি উচ্চতা বিশিষ্ট চোঙাকৃতি বোতলে ভর্তি করে রাখা হবে । পাত্রটি খালি করতে কতগুলি এইরূপ বোতল দরকার তা নির্ণয় করো ।

       (iii)  একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ভূমিতলের ব্যাস 21 মিটার এবং উচ্চতা 14 মিটার । প্রতি বর্গমিটার 1.50 টাকা হিসেবে পার্শ্বতল রঙ করতে কত টাকা খরচ পড়বে ?

15.   যে কোনো দুটি প্রশ্নের উত্তর দাও :         4 x 2 = 8

        (i) ছাত্রীদের প্রাপ্ত নম্বরের গড় নির্ণয় করো যদি তাদের প্রাপ্ত নম্বরের ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা নিম্নরূপ হয় :        

নম্বর	ছাত্রী সংখ্যা
10 -এর কম	6
20 --এর কম	10
30 -এর কম	18
40 -এর কম	30
50 -এর কম	46

(ii) নীচের পরিসংখ্যাটি বিভাজন থেকে তথ্যটির মধ্যমা নির্ণয় করো :

শ্রেণী-সীমানা	পরিসংখ্যা
0 - 10	4
10 - 20	7
20 - 30	10
30 - 40	15
40 - 50	10
50 - 60	8
60 - 70	5

   (iii) নীচের শ্রেণি-বিন্যাসিত পরিসংখ্যা বিভাজনের সংখ্যাগুরু মান নির্ণয় করো :

শ্রেণী	পরিসংখ্যা
3 - 6	2
6 - 9	6
9 - 12	12
12 - 15	24
15 - 18	21
18 - 21	12
21 - 24	3

                                           [দৃষ্টিহীন পরীক্ষার্থীদের জন্য বিকল্প প্রশ্ন ]

11.  যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও :        5

       (i) দুটি প্রদত্ত দৈর্ঘ্যের সরলরেখাংশের মধ্য সমানুপাতী অঙ্কন প্রণালী বর্ণনা করো ।

       (ii) প্রদত্ত একটি বৃত্তের উপরিস্থিত একটি বিন্দুতে স্পর্শকের অঙ্কন প্রণালী বর্ণনা করো ।

                                    [বহিরাগত পরীক্ষার্থীদের জন্য অতিরিক্ত প্রশ্ন ]

 16   (a)  যে কোনো তিনটি প্রশ্নের উত্তর দাও :         2x3=6

         (i) বিক্রয়মূল্যের উপর 20% লাভ হলে ক্রয়মূল্যের উপর শতকরা লাভ ?

         (ii) যদি $x = 3\cos \theta ;y = 3\sin \theta$ হয় তবে ${x^2} + {y^2}$ এর মান নির্ণয় করো  ।

         (iii) সরল কর :  $\sqrt {98}  + \sqrt 8  - 2\sqrt {32}$

         (iv) একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙ এবং লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ভূমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত 3 : 4 এবং তাহাদের উচ্চতার অনুপাত  2 : 3; চোঙ ও শঙ্কুর আয়তনের অনুপাত কত ?

     (b)  যে কোনো চারটি প্রশ্নের উত্তর দাও :           1x4=4

           (i) কোন মূলধন বার্ষিক $6 {1 \over 4}$% সরল সুদের হারে কত বছরে দ্বিগুণ হবে ?

           (ii) একটি বৃত্তের ব্যাস AB এবং P বৃত্তের উপর যে কোনো একটি বিন্দু । $\angle PAB = 30^o$ হলে $\angle PBA$ এর মান কত হবে ?

           (iii) 22° 30' কে রেডিয়ানে প্রকাশ করো ।

           (iv) একটি নিরেট গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 10.5 সেমি হলে, তার সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল কত ?

           (v)  x : y = 2 : 3 এবং y : z = 4 : 7, হলে x : z নির্ণয় করো ।

                                           *************