সমাহার বৃদ্ধি ও হ্রাস (Uniform increase and decrease) :
চক্রবৃদ্ধি সুদের নিয়মাবলি ও সূত্র অনুসরণ করে কোনো বস্তু অথবা কোনো জিনিসের সমাহার বৃদ্ধি এবং হ্রাস অথবা চূড়ান্ত মূল্য নির্ধারণ সংক্রান্ত সমস্যার সমাধান করা যায় ।
যদি বর্তমান মূল্য P হয় এবং বাৎসরিক বদ্ধি r% হয়,
তখন ,
- n বছর পর মূল্য হবে [tex] = P{\left( {1 + \frac{r}{{100}}} \right)^n}[/tex]
- n বছর আগে মূল্য ছিল [tex] = \frac{P}{{{{\left( {1 + \frac{r}{{100}}} \right)}^n}}}[/tex]
আবার যদি বর্তমান মূল্য P হয় এবং বাৎসরিক হ্রাসের হার r% হয় ,
তখন,
- n বছর পর মূল্য হবে [tex] = P{\left( {1 - \frac{r}{{100}}} \right)^n}[/tex]
- n বছর আগে মূল্য ছিল [tex] = \frac{P}{{{{\left( {1 - \frac{r}{{100}}} \right)}^n}}}[/tex]
- অবচয় বা হ্রাসের পরিমাণ [tex] = P - P{\left( {1 - \frac{r}{{100}}} \right)^n}[/tex]
যদি মূলধন বা আসল P হয় এবং সুদের হার প্রথম, দ্বিতীয় ও তৃতীয় বছরে যথাক্রমে [tex]{r_1}\% [/tex] , [tex]{r_2}\% [/tex] এবং [tex]{r_3}\% [/tex] হয়, তখন তিন বছর পরে সবৃদ্ধিমুল A হবে
[tex]A = P\left( {1 + \frac{{{r_1}}}{{100}}} \right)\left( {1 + \frac{{{r_2}}}{{100}}} \right)\left( {1 + \frac{{{r_3}}}{{100}}} \right)[/tex]
কয়েকটি প্রমাণ
যদি বর্তমান মূল্য P হয় এবং বাৎসরিক বদ্ধি r% হয় , তখন n বছর আগে মূল্য ছিল [tex] = \frac{P}{{{{\left( {1 + \frac{r}{{100}}} \right)}^n}}}[/tex]
যদি এই বছর জিনিসটার দাম 100 টাকা হয় তাহলে গত বছর তার দাম ছিল (100 - r) টাকা
অতএব জিনিসটার দাম এই বছর P টাকা হল গতবছর দাম ছিল [tex]\frac{{\left( {100 - r} \right)}}{{100}} \times P[/tex] টাকা ।
এখন
[tex]\begin{array}{l}
\frac{{\left( {100 - r} \right)}}{{100}} \times P = \\
P\left( {1 - \frac{r}{{100}}} \right)\\
= P{\left( {1 + \frac{r}{{100}}} \right)^{ - 1}}\\
= \frac{P}{{\left( {1 + \frac{r}{{100}}} \right)}}
\end{array}[/tex]
অর্থাৎ এক বছর আগে জিনিসটার দাম হত [tex]\frac{P}{{\left( {1 + \frac{r}{{100}}} \right)}}[/tex] টাকা ।
আবার গত বছর জিনিসটার দাম 100 টাকা হলে তার আগের বছর তার দাম ছিল (100 - r) টাকা .
অতএব জিনিসটার দাম গতবছর [tex]\frac{P}{{\left( {1 + \frac{r}{{100}}} \right)}}[/tex] টাকা হলে তার আগের বছরে দাম ছিল [tex]\left( {\frac{{100 - r}}{{100}}} \right) \times \frac{P}{{\left( {1 + \frac{r}{{100}}} \right)}}[/tex] টাকা ।
এখন
[tex]\begin{array}{l}
\left( {\frac{{100 - r}}{{100}}} \right) \times \frac{P}{{\left( {1 + \frac{r}{{100}}} \right)}}\\
= \left( {1 - \frac{r}{{100}}} \right) \times \frac{P}{{\left( {1 + \frac{r}{{100}}} \right)}}\\
= \frac{P}{{\left( {1 + \frac{r}{{100}}} \right)}} \times {\left( {1 + \frac{r}{{100}}} \right)^{ - 1}}\\
= \frac{P}{{\left( {1 + \frac{r}{{100}}} \right) \times \left( {1 + \frac{r}{{100}}} \right)}}\\
= \frac{P}{{{{\left( {1 + \frac{r}{{100}}} \right)}^2}}}
\end{array}[/tex]
অর্থাৎ দুবছর আগে জিনিসটার দাম ছিল [tex]\frac{P}{{{{\left( {1 + \frac{r}{{100}}} \right)}^2}}}[/tex] টাকা ।
একই রকম ভাবে n বছর আগে জিনিসটার দাম ছিল [tex]\frac{P}{{{{\left( {1 + \frac{r}{{100}}} \right)}^n}}}[/tex] টাকা ।
যদি বর্তমান মূল্য P হয় এবং বাৎসরিক হ্রাসের হার r% হয় ,তখন n বছর পর মূল্য হবে [tex] = P{\left( {1 - \frac{r}{{100}}} \right)^n}[/tex]
এক বছর পরে জিনিসটার দাম কমবে [tex]{\frac{{r \cdot P}}{{100}}}[/tex] টাকা ।
তখন এক বছর পরে জিনিসটির দাম হবে [tex]\left( {P - \frac{{r \cdot P}}{{100}}} \right)[/tex] টাকা = [tex]P\left( {1 - \frac{r}{{100}}} \right)[/tex] টাকা ।
দুবছর পরে জিনিসটার দাম কমবে [tex]\frac{r}{{100}} \cdot P\left( {1 - \frac{r}{{100}}} \right)[/tex] টাকা ।
দু-বছর পরে জিনিসটার দাম হবে [tex][P\left( {1 - \frac{r}{{100}}} \right) - \frac{r}{{100}} \cdot P\left( {1 - \frac{r}{{100}}} \right)][/tex] টাকা = [tex]P\left( {1 - \frac{r}{{100}}} \right)\left( {1 - \frac{r}{{100}}} \right)[/tex] টাকা = [tex]P{\left( {1 - \frac{r}{{100}}} \right)^2}[/tex]
অনুরূপভাবে n বছর পরে জিনিসটির দাম হবে [tex]P{\left( {1 - \frac{r}{{100}}} \right)^n}[/tex] টাকা ।
যদি বর্তমান মূল্য P হয় এবং বাৎসরিক হ্রাসের হার r% হয় ,তখন n বছর আগে মূল্য ছিল [tex] = \frac{P}{{{{\left( {1 - \frac{r}{{100}}} \right)}^n}}}[/tex]
কোনো জিনিসের মূল্য যদি এই বছর 100 টাকা হয় তবে গতবছর ছিল (100 + r) টাকা ।
অতএব এই বছর জিনিসটির দাম P টাকা হলে গতবছর ছিল [tex]\frac{{\left( {100 + r} \right)}}{{100}} \times P[/tex] টাকা ।
এখন
[tex]\begin{array}{l}
\frac{{\left( {100 + r} \right)}}{{100}} \times P\\
= P\left( {1 + \frac{r}{{100}}} \right)\\
= P{\left( {1 - \frac{r}{{100}}} \right)^{ - 1}}\\
= \frac{P}{{\left( {1 - \frac{r}{{100}}} \right)}}
\end{array}[/tex]
অর্থাৎ এক বছর আগে জিনিসটির মূল্য ছিল [tex]\frac{P}{{\left( {1 - \frac{r}{{100}}} \right)}}[/tex] টাকা ।
আবার এক বছর আগে জিনিসটার মূল্য [tex]\frac{P}{{\left( {1 - \frac{r}{{100}}} \right)}}[/tex] টাকা হলে দুবছর আগে জিনিসটার মূল্য ছিল [tex]\frac{{\left( {100 + r} \right)}}{{100}} \times \frac{P}{{\left( {1 - \frac{r}{{100}}} \right)}}[/tex] টাকা ।
এখন
[tex]\begin{array}{l}
\frac{{\left( {100 + r} \right)}}{{100}} \times \frac{P}{{\left( {1 - \frac{r}{{100}}} \right)}}\\
= \left( {1 + \frac{r}{{100}}} \right) \times \frac{P}{{\left( {1 - \frac{r}{{100}}} \right)}}\\
= \frac{P}{{\left( {1 - \frac{r}{{100}}} \right)}} \times {\left( {1 - \frac{r}{{100}}} \right)^{ - 1}}\\
= \frac{P}{{{{\left( {1 - \frac{r}{{100}}} \right)}^2}}}
\end{array}[/tex]
অতএব দুবছর আগে জিনিসটির মূল্য ছিল [tex]\frac{P}{{{{\left( {1 - \frac{r}{{100}}} \right)}^2}}}[/tex] টাকা ।
অনুরূপভাবে প্রমাণ করা যায় n বছর আগে জিনিসটির মূল্য ছিল [tex]\frac{P}{{{{\left( {1 - \frac{r}{{100}}} \right)}^n}}}[/tex] টাকা ।
যদি মূলধন বা আসল P হয় এবং সুদের হার প্রথম , দ্বিতীয় ও তৃতীয় বছরে যথাক্রমে [tex]{r_1}\% [/tex] , [tex]{r_2}\% [/tex] এবং [tex]{r_3}\% [/tex] হয়, তখন তিন বছর পরে সবৃদ্ধিমুল A হবে
[tex]A = P\left( {1 + \frac{{{r_1}}}{{100}}} \right)\left( {1 + \frac{{{r_2}}}{{100}}} \right)\left( {1 + \frac{{{r_3}}}{{100}}} \right)[/tex]
মূলধন P এবং প্রথম বছর [tex]{r_1}\% [/tex] সুদের জন্য সবৃদ্ধিমুল হবে [tex]P\left( {1 + \frac{{{r_1}}}{{100}}} \right)[/tex] = [tex]{P_2}[/tex] = দ্বিতীয় বছরের মূলধন ।
অতএব [tex]{P_2}[/tex] মূলধনএবং দ্বিতীয় বছরে [tex]{r_2}\% [/tex] সুদের জন্য সবৃদ্ধিমূল হবে [tex]{P_2}\left( {1 + \frac{{{r_2}}}{{100}}} \right) = {P_3}[/tex] = তৃতীয় বছরের মূলধন ।
আবার তৃতীয় বছরের মূলধন [tex]{P_3}[/tex] এবং [tex]{r_3}\% [/tex] সুদের জন্য সবৃদ্ধিমুল হবে [tex]{P_3}\left( {1 + \frac{{{r_3}}}{{100}}} \right)[/tex]
এখন
[tex]\begin{array}{l}
{P_3}\left( {1 + \frac{{{r_3}}}{{100}}} \right)\\
= {P_2}\left( {1 + \frac{{{r_2}}}{{100}}} \right)\left( {1 + \frac{{{r_3}}}{{100}}} \right)\\
= P\left( {1 + \frac{{{r_1}}}{{100}}} \right)\left( {1 + \frac{{{r_2}}}{{100}}} \right)\left( {1 + \frac{{{r_3}}}{{100}}} \right)
\end{array}[/tex]
যদি মূলধন বা আসল P হয় এবং সুদের হার প্রথম , দ্বিতীয় ও তৃতীয় বছরে যথাক্রমে [tex]{r_1}\% [/tex] , [tex]{r_2}\% [/tex] এবং [tex]{r_3}\% [/tex] হয় , তখন তিন বছর পরে সবৃদ্ধিমুল A হবে
[tex]A = P\left( {1 + \frac{{{r_1}}}{{100}}} \right)\left( {1 + \frac{{{r_2}}}{{100}}} \right)\left( {1 + \frac{{{r_3}}}{{100}}} \right)[/tex]
*****
- 3391 views
