ভাগশেষ উপপাদ্য (Remainder Theorem)
f(x) একটি বহুপদী সংখ্যামালা যার মাত্রা [tex]n\left( {n \ge 1} \right)[/tex] এবং a যেকোনো একটি বাস্তব সংখ্যা । f(x) কে ( x-a ) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হবে f(a) ।
প্রমাণ : মনে করি f(x) একটি বহুপদী সংখ্যামালা ।
f(x) কে ( x-a ) দ্বারা ভাগ করলে অনন্য ভাগফল q(x) এবং অনন্য ভাগশেষ r(x) পাই ।
অতএব [tex]f\left( x \right) = \left( {x - a} \right)q\left( x \right) + r\left( x \right)..........(i)[/tex]
r(x) এর মাত্রা ( x-a ) এর মাত্রা অপেক্ষা সর্বদা কম হবে। এখানে দেখা যাচ্ছে ( x-a ) এর মাত্রা হল 1 ।
অতএব r(x) এর মাত্রা এর মাত্রা হবে শূন্য ।
অতএব r(x) একটি ধ্রূবক ।
মনে করি r(x) = R
অতএব (i) নং থেকে পাই
[tex]f\left( x \right) = \left( {x - a} \right)q\left( x \right) + R[/tex] ( এটি একটি অভেদ )
x = a বসিয়ে পাই
[tex]\begin{array}{l}
f\left( a \right) = \left( {a - a} \right)q\left( a \right) + R\\
\Rightarrow f\left( a \right) = R
\end{array}[/tex]
( প্রমাণিত )
উদাহরণ : [tex]f\left( x \right) = {x^3} - 2{x^2} + 6x - 1[/tex] বহুপদী সংখ্যামালাকে ( x - 2 ) দিয়ে ভাগ করলে কি ভাগশেষ পাওয়া যায় ?
এখন [tex]x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2[/tex]
অতএব ( x - 2 ) বহুপদী সংখ্যামালা শূন্য হবে যখন x = 2 হবে ।
ভাগশেষ উপপাদ্য থেকে আমরা জানি [tex]f\left( x \right) = {x^3} - 2{x^2} + 6x - 1[/tex] কে ( x - 2 ) দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ হবে f(2) .
অতএব নির্ণেয় ভাগশেষ
[tex]\begin{array}{l}
f\left( 2 \right)\\
= {2^3} - 2 \times {2^2} + 6 \times 2 - 1\\
= 8 - 8 + 12 - 1\\
= 11
\end{array}[/tex]
উদাহরণ : ( x-2 ) , [tex]f\left( x \right) = {x^3} - x - 6[/tex] এই বহুপদী রাশিমালার উৎপাদক কিনা পরীক্ষা করি ।
এখন [tex]x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2[/tex]
অতএব ( x - 2 ) বহুপদী সংখ্যামালা শূন্য হবে যখন x = 2 হবে ।
ভাগশেষ উপপাদ্য থেকে আমরা জানি [tex]f\left( x \right) = {x^3} - x - 6[/tex] কে ( x - 2 ) দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ হবে f(2) .
অতএব নির্ণেয় ভাগশেষ
[tex]\begin{array}{l}
f\left( 2 \right)\\
= {2^3} - 2 - 6\\
= 8 - 8\\
= 0
\end{array}[/tex]
সুতরাং দেখা যাচ্ছে ভাগশেষ শূন্য ।
অতএব ( x-2 ) , [tex]f\left( x \right) = {x^3} - x - 6[/tex] এই বহুপদী রাশিমালার উৎপাদক ।
উদাহরণ : যদি [tex]a{x^2} + 3x - 5[/tex] এবং [tex]{x^2} - 2x + a[/tex] বহুপদী সংখ্যামালাদ্বয়কে ( x-3 ) দ্বারা ভাগ করলে একই ভাগশেষ থাকে তবে a এর মান নির্ণয় করো ।
মনে করি [tex]f\left( x \right) = a{x^2} + 3x - 5[/tex] এবং [tex]g\left( x \right) = {x^2} - 2x + a[/tex]
f(x) কে ( x-3 ) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ পাই
[tex]\begin{array}{l}
f\left( 3 \right)\\
= a \times {3^2} + 3 \times 3 - 5\\
= 9a + 9 - 5\\
= 9a + 4
\end{array}[/tex]
g(x) কে ( x-3 ) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ পাই
[tex]\begin{array}{l}
g\left( 3 \right)\\
= {3^2} - 2 \times 3 + a\\
= 9 - 6 + a\\
= 3 + a
\end{array}[/tex]
প্রশ্নানুসারে
[tex]\begin{array}{l}
9a + 4 = 3 + a\\
\Rightarrow 8a = - 1\\
\Rightarrow a = - \frac{1}{8}
\end{array}[/tex]
*****
