সূচকের নিয়মাবলির প্রমাণ (Proof of the laws)
1. [tex]{a^m} \cdot {a^n} = {a^{m + n}}[/tex] এর প্রমাণ
[tex]{a^m} = a \times a \times a \times \ldots \times a,m[/tex] সংখ্যক [tex]{a^n} = a \times a \times a \times \ldots \times a,n[/tex] সংখ্যক
[tex]{a^m} \cdot {a^n} = a \times a \times a \times \ldots \times a,m[/tex] সংখ্যক [tex] \cdot a \times a \times a \times \ldots \times a,n[/tex] সংখ্যক
[tex] = a \times a \times a \times \ldots \times a,m + n[/tex] সংখ্যক
[tex] = {a^{m + n}}[/tex]
2. [tex]{a^m} \div {a^n} = \frac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = {a^{m - n}},m > n[/tex] এর প্রমাণ
যেহেতু m ও n দুটি অখণ্ড সংখ্যা এবং [tex]m > n,m - n[/tex] অখণ্ড ধনাত্মক সংখ্যা ।
এখন [tex]{a^n} \cdot {a^{m - n}} = {a^{n + m - n}} = {a^m}[/tex] [1. থেকে প্রমানিত ]
[tex]{a^{m - n}} = \frac{{{a^m}}}{{{a^n}}}[/tex] [ উভয় কে [tex]{a^n}[/tex] দিয়ে ভাগ দিয়ে পাই ]
3. [tex]{\left( {{a^m}} \right)^n} = {a^{mn}}[/tex] এর প্রমাণ
এখন [tex]{\left( {{a^m}} \right)^n} = {a^m} \cdot {a^m} \cdot {a^m} \cdot \ldots \cdot {a^m},n[/tex] সংখ্যক
[tex]\begin{array}{l}
= {a^{m + m + m + \ldots m}}\\
= {a^{mn}}
\end{array}[/tex]
4. [tex]{\left( {ab} \right)^m} = {a^m} \cdot {b^m}[/tex] এর প্রমাণ
[tex]{\left( {ab} \right)^m} = ab \cdot ab \cdot ab \cdot \ldots \cdot ab,m[/tex] সংখ্যক
[tex] = a \times a \times a \times \ldots \times a,m[/tex] সংখক[tex] \cdot b \times b \times b \times \ldots \times b,m[/tex] সংখ্যক
[tex] = {a^m} \cdot {b^m}[/tex]
5. [tex]{\left( {\frac{a}{b}} \right)^m} = \frac{{{a^m}}}{{{b^m}}}[/tex] এর প্রমাণ
এখন
[tex]\begin{array}{l}
{\left( {\frac{a}{b}} \right)^m} \times {b^m} = {\left( {\frac{a}{b} \times b} \right)^m} = {a^m}\\
{\left( {\frac{a}{b}} \right)^m} = \frac{{{a^m}}}{{{b^m}}}
\end{array}[/tex] [ আগের প্রমান থেকে পাই ]
[উভয়কে [tex]{b^m}[/tex] দিয়ে ভাগ করে পাই]
m যখন ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যা নয় তখন [tex]{a^m}[/tex] এর অর্থ ( Meaning of [tex]{a^m}[/tex] , when m is not a Positive Integer )
আমরা m ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যার জন্য আগের নিয়মাবলি প্রয়োগ করেছি । কিন্তু m যখন ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যা না হয়ে m এর মান যদি শূন্য , ঋনাত্মক বা ভগ্নাংশ হয় তখন সেক্ষেত্রে [tex]{a^m}[/tex] এর কোনো অর্থ হয় না ।
1) যখন m = 0
[tex]\begin{array}{l}
m = 0\\
{a^m} = {a^0}
\end{array}[/tex]
অর্থাৎ a কে শূন্যবার গুন করা বোঝায় যার কোনো অর্থ নেই ।
2) যখন m < 0
[tex]m < 0[/tex]
মনে করি [tex]m = - p[/tex] যেখনে p হল ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যা ।
[tex]{a^m} = {a^{ - p}}[/tex] ,a কে (-p) বার গুন করা বোঝায়।যা অর্থহীন । ভগ্ণাংশের ক্ষেত্রেও একই সমস্যা।তবুও সূচকের মূল সত্যটি সবক্ষেত্রে সত্য বলে ধরে নেওয়া হয় ।
m এর মান যখন শূন্য ঋনাত্মক এবং ভগ্নাংশ তখন নিম্নলিখিত ভাবে [tex]{a^m}[/tex] কে প্রকাশ করা হয় ।
1) [tex]{a^0},\left( {a \ne 0} \right)[/tex] এর অর্থ
[tex]\begin{array}{l}
{a^0} \cdot {a^m} = {a^m}\\
\Rightarrow {a^0} = \frac{{{a^m}}}{{{a^m}}} = 1,\left[ {a \ne 0} \right]
\end{array}[/tex] [সূচকের যেকোনো মানে মূল সূত্র সত্য]
[ উভয়কে [tex]{a^m}[/tex] দিয়ে ভাগ করে পাই ]
2) যখন [tex]m < 0,\left( {a \ne 0} \right)[/tex]
মনে করি [tex]m = - p[/tex] (p হল ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যা )
[tex]\begin{array}{l}
{a^{ - p}} \cdot {a^p} = {a^{ - p + p}} = {a^0} = 1\\
{a^{ - p}}.{a^p} = 1\\
\Rightarrow {a^{ - p}} = \frac{1}{{{a^p}}}
\end{array}[/tex] [ সূচকের যেকোনো মানে মূলসূত্র সত্য]
[ উভয়পক্ষকে [tex]{a^p}[/tex] দিয়ে ভাগ করে পাই [tex]a \ne 0[/tex] ]
অনুরূপে [tex]{a^p} = \frac{1}{{{a^{ - p}}}},a \ne 0[/tex]
অতএব [tex]{a^{ - p}}[/tex] হয় [tex]{a^p}[/tex] এর অন্যোনক ।
3) যখন m ভগ্নাংশ হয় ।
মনে করি [tex]m = \frac{p}{q}[/tex], যেখানে p ও q হল ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যা ।
[tex]\begin{array}{l}
{\left( {{a^{\frac{p}{q}}}} \right)^q} = {a^{\frac{p}{q} \cdot q}} = {a^p}\\
{\left( {{a^{\frac{p}{q}}}} \right)^q} = {a^p}\\
\Rightarrow {a^{\frac{p}{q}}} = \sqrt[q]{{{a^p}}}
\end{array}[/tex] [সূচকের যে কোনো মানে মূল সূত্রটি সত্য ]
[tex]{a^{\frac{p}{q}}}[/tex] কে [tex]{a^p}[/tex] এর q তম মূল বলে ।
