সূচকের নিয়মাবলির প্রমাণ (Proof of Different laws of Indices)

সূচকের নিয়মাবলির প্রমাণ (Proof of the laws)

1. ${a^m} \cdot {a^n} = {a^{m + n}}$ এর প্রমাণ

 ${a^m} = a \times a \times a \times  \ldots  \times a,m$ সংখ্যক ${a^n} = a \times a \times a \times  \ldots  \times a,n$ সংখ্যক

${a^m} \cdot {a^n} = a \times a \times a \times  \ldots  \times a,m$ সংখ্যক $\cdot a \times a \times a \times  \ldots  \times a,n$ সংখ্যক

$= a \times a \times a \times  \ldots  \times a,m + n$ সংখ্যক

$= {a^{m + n}}$

2. ${a^m} \div {a^n} = \frac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = {a^{m - n}},m > n$ এর প্রমাণ

যেহেতু m ও n দুটি অখণ্ড সংখ্যা এবং $m > n,m - n$ অখণ্ড ধনাত্মক সংখ্যা ।

এখন ${a^n} \cdot {a^{m - n}} = {a^{n + m - n}} = {a^m}$ [1. থেকে প্রমানিত ]

${a^{m - n}} = \frac{{{a^m}}}{{{a^n}}}$  [ উভয় কে ${a^n}$ দিয়ে ভাগ দিয়ে পাই ]

3. ${\left( {{a^m}} \right)^n} = {a^{mn}}$ এর প্রমাণ

এখন ${\left( {{a^m}} \right)^n} = {a^m} \cdot {a^m} \cdot {a^m} \cdot  \ldots  \cdot {a^m},n$ সংখ্যক

$\begin{array}{l}  = {a^{m + m + m +  \ldots m}}\\  = {a^{mn}} \end{array}$

4. ${\left( {ab} \right)^m} = {a^m} \cdot {b^m}$ এর প্রমাণ

${\left( {ab} \right)^m} = ab \cdot ab \cdot ab \cdot  \ldots  \cdot ab,m$ সংখ্যক

$= a \times a \times a \times  \ldots  \times a,m$ সংখক$\cdot b \times b \times b \times  \ldots  \times b,m$ সংখ্যক

$= {a^m} \cdot {b^m}$

5. ${\left( {\frac{a}{b}} \right)^m} = \frac{{{a^m}}}{{{b^m}}}$ এর প্রমাণ

 এখন

$\begin{array}{l} {\left( {\frac{a}{b}} \right)^m} \times {b^m} = {\left( {\frac{a}{b} \times b} \right)^m} = {a^m}\\ {\left( {\frac{a}{b}} \right)^m} = \frac{{{a^m}}}{{{b^m}}} \end{array}$ [ আগের প্রমান থেকে পাই ]

[উভয়কে ${b^m}$ দিয়ে ভাগ করে পাই]

m যখন ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যা নয় তখন ${a^m}$ এর অর্থ ( Meaning of ${a^m}$ , when m is not a Positive Integer )

আমরা m ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যার জন্য আগের নিয়মাবলি প্রয়োগ করেছি । কিন্তু m যখন ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যা না হয়ে  m এর মান যদি শূন্য , ঋনাত্মক বা ভগ্নাংশ হয় তখন  সেক্ষেত্রে ${a^m}$ এর কোনো অর্থ হয় না ।

1) যখন m = 0

 $\begin{array}{l} m = 0\\ {a^m} = {a^0} \end{array}$

অর্থাৎ a কে শূন্যবার গুন করা বোঝায় যার কোনো অর্থ নেই ।

2)  যখন m < 0

$m < 0$

মনে করি $m =  - p$ যেখনে p হল ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যা ।

${a^m} = {a^{ - p}}$ ,a কে (-p) বার গুন করা বোঝায়।যা অর্থহীন । ভগ্ণাংশের ক্ষেত্রেও একই সমস্যা।তবুও সূচকের মূল সত্যটি সবক্ষেত্রে সত্য বলে ধরে নেওয়া হয় ।

m এর মান যখন শূন্য ঋনাত্মক এবং ভগ্নাংশ তখন নিম্নলিখিত ভাবে ${a^m}$ কে প্রকাশ করা হয় ।

1) ${a^0},\left( {a \ne 0} \right)$ এর অর্থ

$\begin{array}{l} {a^0} \cdot {a^m} = {a^m}\\  \Rightarrow {a^0} = \frac{{{a^m}}}{{{a^m}}} = 1,\left[ {a \ne 0} \right] \end{array}$ [সূচকের যেকোনো মানে মূল সূত্র সত্য]

[ উভয়কে ${a^m}$ দিয়ে ভাগ করে পাই ]

2) যখন $m < 0,\left( {a \ne 0} \right)$

মনে করি $m =  - p$ (p হল ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যা )

$\begin{array}{l} {a^{ - p}} \cdot {a^p} = {a^{ - p + p}} = {a^0} = 1\\ {a^{ - p}}.{a^p} = 1\\  \Rightarrow {a^{ - p}} = \frac{1}{{{a^p}}} \end{array}$ [ সূচকের যেকোনো মানে মূলসূত্র সত্য]

[ উভয়পক্ষকে ${a^p}$ দিয়ে ভাগ করে পাই $a \ne 0$ ]

অনুরূপে ${a^p} = \frac{1}{{{a^{ - p}}}},a \ne 0$ 

অতএব ${a^{ - p}}$ হয় ${a^p}$ এর অন্যোনক ।

3) যখন m ভগ্নাংশ হয় ।

মনে করি $m = \frac{p}{q}$, যেখানে p ও q হল ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যা ।

$\begin{array}{l} {\left( {{a^{\frac{p}{q}}}} \right)^q} = {a^{\frac{p}{q} \cdot q}} = {a^p}\\ {\left( {{a^{\frac{p}{q}}}} \right)^q} = {a^p}\\  \Rightarrow {a^{\frac{p}{q}}} = \sqrt[q]{{{a^p}}} \end{array}$ [সূচকের যে কোনো মানে মূল সূত্রটি সত্য ]

${a^{\frac{p}{q}}}$ কে ${a^p}$ এর q তম মূল বলে ।