দুটি জটিল রাশির গুণফল ও ভাগফলের মডিউলাস এবং আরগুমেন্ট নির্ণয়

Submitted by arpita pramanik on Thu, 08/27/2020 - 16:21

দুটি জটিল রাশির গুণফল ও ভাগফলের মডিউলাস এবং আরগুমেন্ট নির্ণয় (To find the Modulus and the Arguments of the Product and Quotient of two complex number)

মনে করি দুটি জটিল রাশি হল 

[tex]\begin{array}{l}
{z_1} = {r_1}\left( {\cos {\theta _1} + i\sin {\theta _1}} \right)\\
{z_2} = {r_2}\left( {\cos {\theta _2} + i\sin {\theta _2}} \right)
\end{array}[/tex]

অতএব [tex]\left| {{z_1}} \right| = {r_1}[/tex] ও  [tex]\left| {{z_2}} \right| = {r_2}[/tex]

এবং [tex]\arg {z_1} = {\theta _1}[/tex] ও [tex]\arg {z_2} = {\theta _2}[/tex]

যেখানে [tex] - \pi  < {\theta _1} \le \pi [/tex] এবং [tex] - \pi  < {\theta _2} \le \pi [/tex]

 

(1) [tex]{z_1} \cdot {z_2}[/tex] এর মডিউলাস এবং আরগুমেন্ট নির্ণয় (To find the Modulus and the Arguments of the Product of two complex number)

[tex]\begin{array}{l}
{z_1} \cdot {z_2}\\
 = \left( {{r_1}\cos {\theta _1} + i{r_1}\sin {\theta _1}} \right) \cdot \left( {{r_2}\cos {\theta _2} + i{r_2}\sin {\theta _2}} \right)\\
 = {r_1}{r_2}\cos {\theta _1}\cos {\theta _2} + {i^2}{r_1}{r_2}\cos {\theta _1}\sin {\theta _2} + i{r_1}{r_2}\sin {\theta _1}\cos {\theta _2} + i{r_1}{r_2}\sin {\theta _1}\sin {\theta _2}\\
 = {r_1}{r_2}\left[ {\cos {\theta _1}\cos {\theta _2} - \sin {\theta _1}\sin {\theta _2} + i\left( {\sin {\theta _1}\cos {\theta _2} + \cos {\theta _1}\sin {\theta _2}} \right)} \right]\\
 = {r_1}{r_2}\left[ {\cos \left( {{\theta _1} + {\theta _2}} \right) + i\sin \left( {{\theta _1} + {\theta _2}} \right)} \right]\\
 = r\left( {\cos \theta  + i\sin \theta } \right)
\end{array}[/tex]

যেখানে [tex]r = {r_1}{r_2}[/tex] এবং [tex]\theta  = {\theta _1} + {\theta _2}[/tex]

এখন [tex]\left| {{z_1} \cdot {z_2}} \right| = r = {r_1}{r_2} = \left| {{z_1}} \right| \cdot \left| {{z_2}} \right|[/tex]

দুটি জটিল রাশির গুণফলের মডিউলাস = তাদের পৃথক পৃথক ভাবে মডিউলাস এর গুণফলের সঙ্গে সমান । 

আবার [tex] - \pi  < {\theta _1} \le \pi [/tex] এবং [tex] - \pi  < {\theta _2} \le \pi [/tex] অতএব [tex] - 2\pi  < \theta  \le 2\pi [/tex] যেখানে [tex]\theta  = {\theta _1} + {\theta _2}[/tex]

[tex] - \pi  < \theta  + m \le \pi [/tex] যেখানে m = 0 অথবা [tex]2\pi [/tex] অথবা [tex] - 2\pi [/tex] 

সুতরাং 

[tex]\begin{array}{l}
\arg \left( {{z_1}{z_2}} \right)\\
 = \theta  + m\\
 = {\theta _1} + {\theta _2} + m\\
 = \arg {z_1} + \arg {z_2} + m
\end{array}[/tex]

যেখানে m = 0 অথবা [tex]2\pi [/tex] অথবা [tex] - 2\pi [/tex] 

(i) যদি [tex] - \pi  < \arg {z_1} + \arg {z_2} \le \pi [/tex] হয় , তবে [tex]\arg \left( {{z_1}{z_2}} \right) = \arg {z_1} + \arg {z_2}[/tex] হবে। 

(ii) যদি [tex] - 2\pi  < \arg {z_1} + \arg {z_2} \le  - \pi [/tex] হয় , তবে [tex]\arg \left( {{z_1}{z_2}} \right) = \arg {z_1} + \arg {z_2} + 2\pi [/tex] হবে। 

এবং (iii) যদি [tex]\pi  < \arg {z_1} + \arg {z_2} \le 2\pi [/tex] হয় , তবে [tex]\arg \left( {{z_1}{z_2}} \right) = \arg {z_1} + \arg {z_2} - 2\pi [/tex] হবে। 

 

(2) [tex]\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}}[/tex] এর মডিউলাস এবং আরগুমেন্ট নির্ণয় (To find the Modulus and Argument of [tex]\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}}[/tex] [tex]\left( {{z_2} \ne 0} \right)[/tex] )  

[tex]\begin{array}{l}
\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}}\\
 = \frac{{{r_1}\left( {\cos {\theta _1} + i\sin {\theta _1}} \right)}}{{{r_2}\left( {\cos {\theta _2} + i\sin {\theta _2}} \right)}}\\
 = \frac{{{r_1}\left( {\cos {\theta _1} + i\sin {\theta _1}} \right)\left( {\cos {\theta _2} - i\sin {\theta _2}} \right)}}{{{r_2}\left( {\cos {\theta _2} + i\sin {\theta _2}} \right)\left( {\cos {\theta _2} - i\sin {\theta _2}} \right)}}\\
 = \frac{{{r_1}\left( {\cos {\theta _1}\cos {\theta _2} - i\sin {\theta _2}\cos {\theta _1} + i\sin {\theta _1}\cos {\theta _2} + \sin {\theta _1}\sin {\theta _2}} \right)}}{{{r_2}\left( {{{\cos }^2}{\theta _2} + {{\sin }^2}{\theta _2}} \right)}}\\
 = \frac{{{r_1}}}{{{r_2}}}\left[ {\cos \left( {{\theta _1} - {\theta _2}} \right) + i\sin \left( {{\theta _1} - {\theta _2}} \right)} \right]\\
 = r\left[ {\cos \theta  + i\sin \theta } \right]
\end{array}[/tex]

যেখানে [tex]r = \frac{{{r_1}}}{{{r_2}}}[/tex] এবং [tex]\theta  = {\theta _1} - {\theta _2}[/tex]

সুতরাং [tex]\left| {\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}}} \right| = \sqrt {{r^2}\left( {{{\cos }^2}\theta  + {{\sin }^2}\theta } \right)}  = r[/tex]

অতএব [tex]\left| {\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}}} \right| = r = \frac{{{r_1}}}{{{r_2}}} = \frac{{\left| {{z_1}} \right|}}{{\left| {{z_2}} \right|}}[/tex]

অর্থাৎ দুটি জটিল রাশির ভাগফলের মডিউলাস = জটিল রাশি দুটির মডিউলাসের ভাগফল । 

এখন [tex] - \pi  < {\theta _2} \le \pi [/tex] অতএব [tex] - \pi  \le  - {\theta _2} < \pi [/tex] এবং [tex] - \pi  < {\theta _1} \le \pi [/tex]

সুতরাং [tex] - 2\pi  < {\theta _1} - {\theta _2} < 2\pi  \Rightarrow  - 2\pi  < \theta  < 2\pi [/tex]

বা , [tex] - \pi  < \theta  + m < \pi [/tex] যেখানে m এর মান 0 অথবা [tex]2\pi [/tex] বা -[tex]2\pi [/tex]

[tex]\begin{array}{l}
\arg \frac{{{z_1}}}{{{z_2}}}\\
 = \theta  + m\\
 = {\theta _1} - {\theta _2} + m\\
 = \arg {z_1} - \arg {z_2} + m
\end{array}[/tex]

যেখানে m এর মান 0 অথবা [tex]2\pi [/tex] বা -[tex]2\pi [/tex]

 

 

Comments

Related Items

করণীর কার্যপ্রণালী (Operations with Surds)

করণীর যোগফল ও বিয়োগফল(Addition and subtraction of Surds): করণীর যোগফল বা বিয়োগফল নির্ণয় করতে হলে নিম্নলিখিত পদ্ধতি অবলম্বন করতে হবে ।

বিভিন্ন প্রকার করণী (Different types of Surds)

সমমূলীয় ও অসমমূলীয় করণী (Equiradical and unequiradical surds): একাধিক করণী ক্রম সমান হলে তাদের সমমূলীয় করণী বলে ।

দ্বিঘাত করণীর কয়েকটি ধর্ম (Properties of Quadratic Surds)

1. দুটি অসদৃশ দ্বিঘাত করণীর গুণফল মূলদ রাশি হতে পারে না, 2. একটি সরল দ্বিঘাত করণী কখনও একটি মূলদ রাশি ও একটি দ্বিঘাত করণীর যোগফল বা অন্তরফল সমান হতে পারে না ।, 3. একটি সরল দ্বিঘাত করণী কখনও দুটি অসদৃশ সরল দ্বিঘাত করণীর যোগফল বা অন্তরফলের সমান হতে পারে না ।

করণীর সংক্ষিপ্তকরণ (Summary of Surds)

করণীর সংক্ষিপ্তকরণ (Summary of Surds) 1. একটি ধনাত্মক রাশি কোনো মূল সঠিকভাবে নির্ণয় করা সম্ভব না হলে সেই মূলকে করণী বলে । 2. কোনো করণীর মূল সূচক সংখ্যা n হলে তাকে nতম ক্রমের করণী বলে ।

সূচক সংক্রান্ত সমীকরণ ও অভেদ

সূচক সংক্রান্ত সমীকরণ ও অভেদ গুলির আলোচনা [Equations and Identities Involving Indices]