WBJEE - 2011 - Mathematics
1. xsinθ+(1−cosθ)y=asinθ এবং xsinθ−(1+cosθ)y+asinθ=0 সরলরেখা দুটির ছেদবিন্দুর সঞ্চারপথের সমীকরণ ।
(A) y=±ax (B) x=±ay (C) y2=4x (D) x2+y2=a2
Ans : (D)
2. যদি sinθ+cosθ=0 এবং 0<θ<π হয়, তবে θ =
(A) 0 (B) π4 (C) π2 (D) 3π4
Ans : (D)
3. cos 15° – sin 15° এর মান হল
(A) 0 (B) 1√2 (C) −1√2 (D) 12√2
Ans : (B)
4. ƒ(x) = cos 4x + tan 3x অপেক্ষকটির পর্যায় (period) হল
(A)π (B)π2 (C) π3 (D) π4
Ans : (A)
5. যদি y=2x3−2x2+3x−5 হয়, তাহলে x = 2 এবং △x=0.1 এর জন্য △y এর মান হবে :
(A) 2.002 (B) 1.9 (C) 0 (D) 0.9
Ans : (B)
6. 5√33 এর আসন্ন 4 দশমিক স্থান পর্যন্ত মান হবে :
(A) 2.0000 (B) 2.1001 (C) 2.0125 (D) 2.0500
Ans : (C)
7. 2∫−2(xcosx+sinx+1)dx এর মান ।
(A) 2 (B) 0 (C) – 2 (D) 4
Ans : (D)
8. f(x)=ecosx অপেক্ষকের উপর Rolle’s উপপাদ্যটি
(A) প্রযোজ্য হবে যখন π2≤x≤3π2 (B) প্রযোজ্য হবে যখন 0≤x≤π2
(C) প্রযোজ্য হবে যখন 0≤x≤π (D) প্রযোজ্য হবে যখন π4≤x≤π2
Ans : (A)
9. d2ydx2+8dydx+16y=0 অবকল সমীকরণটির সাধারণ সমাধান হল ।
(A) (A+Bx)e5x (B) (A+Bx)e4x (C) (A+Bx2)e4x (D) (A+Bx4)e4x
Ans : (B)
10. যদি x2+y2=4 হয়, তবে ydydx+x=
(A) 4 (B) 0 (C) 1 (D) -1
Ans : (B)
11. ∫x3dy1+x8=
(A) 4tan−1x3+c (B) 12tan−1x4+c
(C) x+4tan−1x4+c (D) x2+14tan−1x4+c
Ans : (B)
12. 16π∫π|sinx|dx=
(A) 0 (B) 32 (C) 30 (D) 28
Ans : (C)
13. y=x(dydx)2+(dxdy)2 অবকল সমীকরণটির মাত্রা ও ক্রম যথাক্রমে ।
(A) 1, 1 (B) 2, 1 (C) 4, 1 (D) 1, 4
Ans: (C)
14. f(x)={0x−3,,x=0x>0
ƒ(x) অপেক্ষকটি :
(A) ক্রমবর্ধমান যখন x ≥ 0 (B) যথার্থ আরোহী যখন x > 0
(C) x = 0 বিন্দুতে যথার্থ আরোহী (D) x = 0 বিন্দুতে সম্ভবত নয়, তাই x > 0 এর জন্যে ক্রমবর্ধমানও নয়
Ans :(B)
15. ƒ(x) = ax + b অপেক্ষকটি যথার্থ আরোহী হবে যদি (যেখানে x হল বাস্তব সংখ্যা )
(A) a > 0 (B) a < 0 (C) a = 0 (D) a ≤ 0
Ans : (A)
16. ∫cos2xcosxdx=
(A) 2 sin x + log | sec x + tan x | + C (B) 2 sin x – log |sec x – tan x| + c
(C) 2 sin x – log |sec x + tan x| + C (D) 2 sin x + log |sec x – tan x| + C
Ans: (C)
17. ∫sin8x−cos8x1−2sin2xcos2xdx=
(A) −12sin2x+C (B) 12sin2x+C (C) 12sinx+C (D) −12sinx+C
Ans : (A)
18. নীচের কোনটি loge(dydx)=x+y অবকল সমীকরণের সাধারণ সমাধান ?
(A) ex + e–y = C (B) ex + ey = C (C) ey + e-x = C (D) e-x + e-y = C
Ans : (A)
19. যদি y=Ax+Bx2 হয়, তবে x2d2ydx2=
(A) 2y (B) y<sup>2</sup> (C) y<sup>3</sup> (D) y<sup>4</sup>
Ans: (A)
20. যদি 1 এর একটি কাল্পনিক ঘনমূল ω হয়, তবে
|11+ω2ω21−i−1ω2−1−i−1+ω−1| =
(A) ω (B) i (C) 1 (D) 0
Ans: (D)
21. |a−bb−cc−ab−cc−aa−bc−aa−bb−c|=
(A) 0 (B) – 1 (C) 1 (D) 2
Ans : (A)
22. y2 = x এবং y = x এর দ্বারা সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হবে :
(A) 23 বর্গ একক (B) 12 বর্গ একক (C) 13 বর্গ একক (D) 16 বর্গ একক
Ans: (D)
23. f(x)=x3e−3x,x>0 হলে ƒ(x) এর চরম মান হবে
(A) e<sup>-3</sup> (B) 3e<sup>-3</sup> (C) 27e<sup>-9</sup> (D) ∞
Ans : (A)
24. y² = 4x এবং x² = 4y দ্বারা সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল :
(A) 203 বর্গ একক (B) 163 বর্গ একক (C) 143 বর্গ একক (D) 103 বর্গ একক
Ans: (B)
25. স্থিতাবস্থা থেকে যাত্রা শুরু করে একটি বস্তুকণা সরলরেখায় 8 মি /সেকেন্ড2 সমত্বরণে গতিশীল । বস্তুকণাটির পথের দ্বিতীয় মিটার দূরত্বটি অতিক্রম করতে যে সময় লাগবে তা হল ।
(A) √2−12 সে. (B) √2+12 সে. (C) (1+√2) সে. (D) (√2−1) সে.
Ans : (A)
26. dydx=yx+tanyx এর সমাধানটি হবে
(A) x = c sin(y/x) (B) x = c sin(xy) (C) y = c sin(y/x) (D) xy = c sin (x/y)
Ans : (A)
27. dydx−3x2y1+x3=sin2(x)1+x সমীকরণটির একটি সমাকল গুণক (I.F.) হবে :
(A) e1+x3 (B) log(1+x3) (C) 1+x3 (D) 11+x3
Ans : (D)
28. y = aebx (যেখানে a এবং b দুটি প্রচল ) সমীকরণটির অবকল সমীকরণ হবে :
(A) yy1=y22 (B) yy2=y21 (C) yy21=y2 (D) yy22=y1
Ans : (B)
29. limn→∞n∑r=1r3r4+n4 এর মান :
(A) 12loge(1/2) (B) 14loge(1/2) (C)14loge2 (D) 12loge2
Ans: (C)
30. π∫0sin50xcos49xdx এর মান
(A) 0 (B) π4 (C) π2 (D) 1
Ans: (A)
31. ∫2x(f′(x)+f(x)log2)dx হল
(A) 2xf′(x)+C (B) 2xf(x)+C (C) 2x(log2)f(x)+C (D) (log2)f(x)+C
Ans:(B)
32. f(x)=tan−1x হলে f′(x)+f″ is =0 হবে, যখন x এর মান হবে ।
(A) 0 (B) +1 (C) i (D) -i
Ans: (B)
33. y={\tan^{- 1}}{{\sqrt {1+{x^2}}- 1}\over x} হলে, y'(1)=
(A) 1/4 (B) 1/2 (C) -1/4 (D) -1/2
Ans : (A)
34. \lim\limits_{x \to 1}{{x+{x^2}+ \cdots + {x^n}- n} \over {x-1}} এর মান হল :
(A) n (B) {{n+1} \over 2} (C){{n(n+1)} \over 2} (D){{n(n-1)} \over 2}
Ans: (C)
35. \lim \limits_{x \to 0} {{\sin (\pi {{\sin }^2}x)} \over {{x^2}}} =
(A) {\pi ^2} (B) 3\pi (C) 2\pi (D) \pi
Ans: (D)
36. যদি f(x) = \left\{ {\matrix{ {{{{x^2} - (A + 2)x + A} \over {x - 2}}} \cr 2 \cr }} \right.\matrix{ {when} & {x \ne 2} \cr {when} & {x = 2} \cr }
অপেক্ষকটি x = 2 বিন্দুতে সম্ভবত হয়, তবে
(A) A = 0 (B) A = 1 (C) A = – 1 (D) A = 2
Ans : (A)
37. f(x)= \left\{{\matrix{{\left[x \right] + \left[{-x} \right],}\cr \lambda \cr}}\right.\matrix{{when} &{x \ne 2} \cr {when} &{x = 2} \cr}
x = 2 বিন্দুতে ƒ(x) সম্ভবত হলে \lambda -এর মান হবে
(A) – 1 (B) 1 (C) 0 (D) 2
Ans : (A)
38. নীচের অপেক্ষকগুলির মধ্যে যুগ্ম অপেক্ষকটি হল :
(A) f(x) = {{{a^x} + {a^{- x}}} \over {{a^x} - {a^{- x}}}} (B) f(x) = {{{a^x} + 1} \over {{a^x} - 1}}
(C) f(x) = x.{{{a^x} - 1} \over {{a^x} + 1}} (D) f(x) = {\log _2}\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)
Ans : (C)
39. যদি ƒ(x + 2y, x – 2y) = xy, তবে ƒ(x, y) এর মান হল :
(A) {1\over 4}xy (B) {1 \over 4}({x^2} - {y^2}) (C) {1 \over 8}({x^2} - {y^2}) (D) {1 \over 2}({x^2} + {y^2})
Ans: (C)
40. অধিবৃত্ত y² = 4ax -এর শীর্ষবিন্দুগামী সকল জ্যা -র মধ্যবিন্দুগুলির সঞ্চারপথ হবে :
(A) একটি সরলরেখা (B) একটি উপবৃত্ত (C) একটি অধিবৃত্ত (D) একটি বৃত্ত
Ans : (C)
41. 4{x^2} - 9{y^2} = 36 পরাবৃত্তটির উপকেন্দ্রতা হবে :
(A) {{\sqrt {11} } \over 3} (B) {{\sqrt {15} } \over 3} (C) {{\sqrt {13} } \over 3} (D) {{\sqrt {14} } \over 3}
Ans : (C)
42. 16{x^2} + 25{y^2} = 400 উপবৃত্তের নাভি লম্বের দৈর্ঘ্য :
(A) 5/16 একক (B) 32/5 একক (C) 16/5 একক (D) 5/32 একক
Ans : (B)
43. y² + 6x - 2y + 13 = 0 অধিবৃত্তের শীর্ষবিন্দুটি হল :
(A) (1, - 1) (B) (-2, 1) (C) \left( {{3 \over 2},1} \right) (D) \left( { - {7 \over 2},1} \right)
Ans : (B)
44. একটি গতিশীল বিন্দু p এর স্থানাঙ্ক হল (2{t^2} + 4,4t + 6). তবে ওই বিন্দুটির সঞ্চার পথটি হবে একটি
(A) বৃত্ত (B) সরলরেখা (C) অধিবৃত্ত (D) উপবৃত্ত
Ans : (C)
45. 8x² + 12y² - 4x + 4y - 1 = 0 সমীকরণটি নির্দেশ করে :
(A) একটি উপবৃত্ত (B) একটি পরাবৃত্ত (C) একটি অধিবৃত্ত (D) একটি বৃত্ত
Ans : (A)
46. যদি y = mx সরলরেখা x² + y² - 20y + 90 = 0 বৃত্তের বাইরে অবস্থান করে, তবে m এর মান হবে
(A) m < 3 (B) |m| < 3 (C) m > 3 (D) |m| > 3
Ans : (B)
47. দুটি পরিবর্তনশীল বিন্দু (a, 0), (–a, 0) দিয়ে যায় এরূপ কোনো বৃত্তের কেন্দ্রের সঞ্চারপথের সমীকরণ হবে :
(A) x = 1 (B) x + y = a (C) x + y = 2a (D) x = 0
Ans : (D)
48. x + y = 4 রেখার উপর অবস্থিত যে বিন্দু দুটি 4x + 3y = 10 সরলরেখা থেকে একক দূরত্বে অবস্থিত, তাদের স্থানাঙ্ক হল :
(A) (–3, 1), (7, 11) (B) (3, 1), (–7, 11) (C) (3, 1), (7, 11) (D) (5, 3), (–1, 2)
Ans : (B)
49. {x^2} + {y^2} - 2x = 0 বৃত্তের দ্বারা y = x সরলরেখাটির উপর ছেদক AB হলে, AB সরলরেখাকে ব্যাস ধরে বৃত্তের সমীকরণ হবে :
(A) {x^2} + {y^2} = 1 (B) x(x - 1) + y(y - 1) = 0
(C) {x^2} + {y^2} = 2 (D) (x - 1)(x - 2) + (y - 1) + (y - 2) = 0
Ans : (B)
50. x² + y² + 4x - 8y + 5 = 0 বৃত্তটির একটি ব্যাসের একটি প্রান্তবিন্দুর স্থানাঙ্ক যদি (2,1) হয়, তবে অপর প্রান্তবিন্দুর স্থানাঙ্ক হবে
(A) (–6, –7) (B) (6, 7) (C) (–6, 7) (D) (7, –6)
Ans : (C)
51. A(1,6), B(3, –4) এবং C(x, y) বিন্দু তিনটি সমরেখ; তবে x এবং y দিয়ে সিদ্ধ সমীকরণটি হল :
(A) 5x + y - 11 = 0 (B) 5x + 13y + 5 = 0
(C) 5x - 13y + 5 = 0 (D)13x - 5y + 5 = 0
Ans : (A)
52. যদি \sin \theta = {{2t} \over {1 + {t^2}}} হয় এবং \theta দ্বিতীয় চতুর্থাংশে থাকে তবে \cos \theta এর মান হবে
(A) {{1 - {t^2}} \over {1 + {t^2}}} (B) {{{t^2} - 1} \over {1 + {t^2}}} (C) {{ - \left|{1 - {t^2}} \right|} \over {1 + {t^2}}} (D) {{1 + {t^2}} \over {\left| {1 - {t^2}} \right|}}
Ans : (C)
53. cos–1x < sin–1x অসমত্যটির সমাধান সেটটি হল :
(A) \left[ { - 1,1} \right] (B) \left[ {{1 \over {\sqrt 2 }},1} \right] (C) \left[ {0,1}\right] (D) \left( {{1 \over {\sqrt 2 }},1} \right]
Ans : (D)
54. 2 sin x + cos x = 3 এই সমীকরণের সমাধান সংখ্যা :
(A) 1 (B) 2 (C) অসংখ্য (D) কোনো সমাধান নেই
Ans : (D)
55. যদি \tan \alpha = {a \over {a + 1}} হয় এবং \tan \beta = {1 \over {2a + 1}} হয়, তবে \alpha + \beta এর মান হবে ।
(A) {\pi \over 4} (B) {\pi \over 3} (C) {\pi \over 2} (D) \pi
Ans : (A)
56. যদি \theta + \phi = {\pi \over 4} হয়, তবে (1 + \tan \theta )(1 + \tan \phi ) এর মান হবে :
(A) 1 (B) 2 (C) 5/2 (D) 1/3
Ans : (B)
57. যদি \sin \theta এবং \cos \theta , a{x^2} - bx + c = 0 সমীকরণটির বীজ হয়,তবে a, b এবং c সিদ্ধ করে :
(A) {a^2} + {b^2} + 2ac = 0 (B) {a^2} - {b^2} + 2ac = 0
(C) {a^2} + {c^2} + 2ab = 0 (D) {a^2} - {b^2} - 2ac = 0
Ans : (B)
58. যদি A এবং B এমন দুটি ম্যাট্রিক্স হয় যাতে A + B এবং AB উভয়ই সজ্ঞায়িত হয়, তবে
(A) A এবং B যে কোনো ম্যাট্রিক্স হাতে পারে
(B) A, B হল দুটি বর্গম্যাট্রিক্স যাদের মাত্রা সমান নাও হাতে পারে
(C) A, B হল সমমাত্রার দুটি বর্গম্যাট্রিক্স
(D) A ম্যাট্রিক্সের স্থম্ভের সংখ্যা = B ম্যাট্রিক্সের সারির সংখ্যা
Ans : (C)
59. যদি A = \left( {\matrix{ 3 & {x - 1} \cr {2x + 3} & {x + 2} \cr } } \right) একটি প্রতিসম ম্যাট্রিক্স হয়, তবে x এর মান হল
(A) 4 (B) 3 (C) –4 (D) –3
Ans : (C)
60. যদি Z = \left( {\matrix{1 & {1 + 2i} & { - 5i}\cr {1 - 2i} & { - 3} & {5 + 3i}\cr {5i} & {5 - 3i} & 7 \cr } }\right) তবে \left( {i = \sqrt { - 1} } \right)
(A) z হল একটি বিশুদ্ধ বাস্তব সংখ্যা
(B) z হল একটি বিশুদ্ধ কাল্পনিক সংখ্যা
(C) z + \bar z = 0
(D) (z - \bar z)i হল একটি বিশুদ্ধ কাল্পনিক সংখ্যা
Ans : (A)
61. 4 জন বালক ও 2 জন বালিকা পরপর বসানো একসারি সিটে যদৃচ্ছ ভাবে বসল । এ অবস্থায় দুটি বালিকা পাশাপাশি বসার সম্ভাবনা হল :
(A) {1 \over 2} (B) {1 \over 4} (C) {1 \over 3} (D) {1 \over 6}
Ans : (C)
62. একটি মুদ্রা বারে বারে টস করা হল । যদি প্রথম তিনটি টসে টেল পড়ে তবে চতুর্থ টসে হেড পড়ার সম্ভবনা হল :
(A) {1 \over 16} (B) {1 \over 2} (C) {1 \over 8} (D) {1 \over 4}
Ans : (B)
63. {e^{7x} + {e^x}} \over {e^{3x}} এর বিস্তৃতিতে Xn এর সহগটি হল
(A) {{{4^{n - 1}} - {{( - 2)}^{n - 1}}} \over {\left| {n\limits_ - }} (B) {{{4^{n - 1}} - {2^{n - 1}}}\over {\left|{n\limits_-}} (C) {{{4^n} - {2^n}}\over {\left|{ n\limits_ - }} (D){{{4^n}+{{(-2)}^n}}\over {\left| {n\limits_ - }}
Ans :(D)
64. {1 \over {1.2}} - {1 \over {2.3}} + {1 \over {3.4}} - \cdots\cdots \infty শ্রেণিটির যোগফল হল
(A) 2{\log _e}2 + 1 (B) 2{\log _e}2 (C) 2{\log _e}2 - 1 (D) {\log_e}2 - 1
Ans : (C)
65. (101)100 – 1 সংখ্যাটি
(A) 104 দ্বারা বিভাজ্য (B) 106 দ্বারা বিভাজ্য (C) 108 দ্বারা বিভাজ্য (D) 1012 দ্বারা বিভাজ্য
Ans : (A)
66. (1+ x)2n এবং (1+x)2n – 1 এর বিস্তৃতিতে যদি xn এর সহগ যথাক্রমে A এবং B হয় তবে A/B এর মান হবে
(A) 4 (B) 2 (C) 9 (D) 6
Ans : (B)
67. যদি n > 1 একটি পূর্ণসংখ্যা হয় এবং x \ne 0 হয়, তবে (1 + x)n- – nx – 1 বিভাজিত হবে
(A) nx3 দ্বারা (B) n3x দ্বারা (C) x দ্বারা (D) nx দ্বারা
Ans : (C)
68. যদি nC4, nC5 এবং nC6 সমান্তর প্রগতিতে থাকে, তবে n এর মান হল :
(A) 7 or 14 (B) 7 (C) 14 (D) 14 or 21
Ans : (A)
69. একটি বহুভুজের কর্ণের সংখ্যা 20 হলে, ওই বহুভুজটির বহু সংখ্যা হবে :
(A) 5 (B) 6 (C) 8 (D) 10
Ans : (C)
70. 15C3 + 15C5 + ......... +15C15 =
(A) 214 (B) 214 – 15 (C) 214 + 15 (D) 214 – 1
Ans : (B)
71. ধরা যাক a, b, c এমন তিনটি বাস্তব সংখ্যা যে a + 2b + 4c = 0. তাহলে ax2 + bx + c = 0 সমীকরণটির :
(A) দুটি বীজই জটিল (B) দুটি বীজই –1 < x < 0 অন্তরালে অবস্থিত
(C) একটি বীজ ½ এর সমান (D) দুটি বীজই 2 < x < 6 অন্তরালে অবস্থিত
Ans : (C)
72. যদি px2 + qx + r = 0 সমীকরণটির বীজ দুটির অনুপাত a : b হয়, তবে {{ab} \over {{{(a + b)}^2}}} =
(A) {{{p^2}} \over {qr}} (B) {{pr} \over {{q^2}}} (C) {{{p^2}} \over {pr}} (D) {{pq} \over {{r^2}}}
Ans : (B)
73. যদি x2 + x + 1 = 0 সমীকরণের বীজদ্বয় α এবং ß হয়, তবে যে সমীকরণের বীজদ্বয় α19 এবং ß7 হবে, তা হল :
(A) x2 – x – 1 = 0 (B) x2 – x + 1 = 0 (C) x2 + x – 1= 0 (D) x2 + x + 1 = 0
Ans : (D)
74. একটি বাস্তব প্রচল t এর জন্য জটিল তলে জটিল সংখ্যা z = (1 + {t^2}) + i\sqrt {1 + {t^2}} এর সঞ্চারপথটি হল :
(A) একটি উপবৃত্ত (B) একটি অধিবৃত্ত (C) একটি বৃত্ত (D) একটি পরাবৃত্ত
Ans : (B)
75. যদি x + {1 \over x} = 2\cos \theta হয়, তবে যে কোনো পূর্ণসংখ্যা n এর জন্য {x^n} + {1 \over{{x^n}}} =
(A) 2\cos n\theta (B) 2\sin n\theta (C) 2i \cos n\theta (D) 2i\sin n\theta
Ans : (A)
76. যদি \omega \ne 1 এককের কাল্পনিক ঘনমূল হয়, তবে S = 1 + 2\omega + 3{\omega^2} +\cdots \cdots + 3n{\omega^{3n - 1}} শ্রেণিটির যোগফল হবে :
(A) {{3n} \over {\omega - 1}} (B) 3n(\omega - 1) (C) {{\omega - 1} \over{3n}} (D) 0
Ans : (A)
77. যদি {\log _3}x + {\log _3}y = 2 + {\log _3}2 এবং {\log _3}(x + y) = 2, তবে
(A) x = 1, y = 8 (B) x = 8, y = 1 (C) x = 3, y = 6 (D) x = 9, y = 3
Ans : (C)
78. {\log _7}2 = \lambda হলে {\log _{49}}(28) এর মান হবে
(A) (2\lambda +1) (B) (2\lambda + 3) (C) {1 \over 2}(2\lambda + 1) (D) 2(2\lambda + 1)
Ans : (C)
79. \log a,\log {{{a^2}} \over b},\log {{{a^3}} \over {{b^2}}}, \cdots \cdots ক্রমটি হল :
(A) একটি G.P. (গুণোত্তর প্রগতি) (B) একটি A.P. (সমান্তর প্রগতি)
(C) একটি H.P. (বিপরীত প্রগতি) (D) G.P.এবং H.P (গুণোত্তর এবং বিপরীত প্রগতি) উভয়ই ।
Ans : (B)
80. যদি একটি ত্রিভূজ ABC এর জন্য sin A, sin B, sin C সমান্তর প্রগতিতে থাকে, তবে
(A) উচ্চতাগুলি A.P. (সমান্তর প্রগতি) -তে থাকবে
(B) উচ্চতাগুলি H.P. (বিপরীত প্রগতি) -তে থাকবে
(C) কোণগুলি A.P. (সমান্তর প্রগতি) -তে থাকবে
(D) কোণগুলি H.P. (বিপরীত প্রগতি) -তে থাকবে
Ans : (B)
***