1. a এবং b প্রত্যেকটির মান 1 এবং 2 হওয়ার সম্ভাবনা সমান । ax² + bx + 1 = 0 সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব হওয়ার সম্ভাবনা হল
(A) [tex]{1 \over 2}[/tex] (B) [tex]{1 \over 4}[/tex] (C) [tex]{1 \over 8}[/tex] (D) [tex] {1 \over {16}}[/tex]
2. 52 টি তাসের একটি ভালোভাবে মিশ্রিত প্যাকেট থেকে একটার পর একটা তাস টানা হল না ফেরত দিয়ে (without replacement) । ছবিসহ তাস (গোলাম, রানি ও রাজা ) প্রথমবার পাওয়া যায় তৃতীয় টানে -এই ঘটনার সম্ভাবনা হল
(A) [tex]\frac{300}{2197}[/tex] (B) [tex]\frac{36}{85}[/tex] (C) [tex]\frac{12}{85}[/tex] (D) [tex]\frac{4}{51}[/tex]
3. দুটি মুদ্রা আছে যার একটি পক্ষপাতশূন্য এবং অপরটি পক্ষপাতদুষ্ট । উত্ক্ষেপণ করলে পক্ষপাতশূন্য মুদ্রাটির হেড পড়ার সম্ভাবনা [tex]{1 \over 2}[/tex] এবং পক্ষপাতদুষ্ট মুদ্রাটির হেড পড়ার সম্ভাবনা [tex]{3 \over 4}[/tex] একটি মুদ্রাকে যদৃচ্ছভাবে বেছে নিয়ে উত্ক্ষেপণ করা হল যার ফলে হেড পড়ল । এক্ষেত্রে পক্ষপাত শূন্য মুদ্রাটি নির্বাচনের সম্ভাবনা হল
(A) [tex]{2 \over 3}[/tex] (B) [tex]{3 \over 5}[/tex] (C) [tex]{1 \over 2}[/tex] (D) [tex]{2 \over 5}[/tex]
4. x + y = 1 এবং 3y = x + 3 সরলরেখাদ্বয় x² + 9y² = 9 উপবৃত্তকে P, Q এবং R বিন্দুতে ছেদ করে । PQR ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল হবে
(A) [tex]\frac{36}{5}[/tex] (B) [tex]\frac{18}{5}[/tex] (C) [tex]\frac{9}{5}[/tex] (D) [tex]\frac{1}{5}[/tex]
5. t একটি চলরাশি হলে 3tx - 2y + 6t = 0 এবং 3x + 2ty - 6 = 0 সরলরেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দুর সঞ্চারপথ হবে
(A) একটি উপবৃত্ত [tex]\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1[/tex]
(B) একটি উপবৃত্ত [tex]\frac{x^2} {9}+\frac{y^2}{4}=1[/tex]
(C) একটি পরাবৃত্ত [tex]\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}=1[/tex]
(D) একটি পরাবৃত্ত [tex]\frac{x^2} {9}-\frac{y^2}{4}=1[/tex]
6. x2 + 4y2 = 4 উপবৃত্তের উপাক্ষের ধনাত্মক প্রত্যন্ত বিন্দুগামী জ্যা সমূহের মধ্যবিন্দুর সঞ্চারপথ হবে
(A) একটি বৃত্ত যার কেন্দ্র [tex](\frac{1}{2},0)[/tex] এবং ব্যাসার্ধ 1
(B) একটি অধিবৃত্ত যার নাভিবিন্দু [tex](\frac{1}{2},0)[/tex] এবং নিয়ামক x = -1
(C) একটি উপবৃত্ত যার কেন্দ্র [tex](0,\frac{1} {2})[/tex], পরাক্ষ 1 এবং উপাক্ষ [tex]\frac{1}{2}[/tex]
(D) একটি পরাবৃত্ত যার কেন্দ্র [tex](0,\frac{1}{2})[/tex], তির্যক অক্ষ 1 এবং অনুবন্ধী অক্ষ [tex]\frac{1}{2}[/tex]
Ans: (No Option is correct)
7. x2 + y2 = 169 বৃত্তের উপরিস্থ একটি বিন্দু P । Q = (5, 12) এবং R = (-12, 5) হলে [tex]\angle QPR[/tex] -এর মান হল
(A) [tex]\frac{\pi}{6}[/tex] (B) [tex]\frac{\pi}{4}[/tex] (C) [tex]\frac{\pi}{3}[/tex] (D) [tex]\frac{\pi}{2}[/tex]
8. (1, 2) এবং (-2, 1) বিন্দুদ্বয় থেকে একটি গতিশীল বিন্দুর দূরত্বের বর্গদ্বয়ের সমষ্টি সর্বদা 6 হলে উক্ত বিন্দুটির সঞ্চারপথ হবে
(A) একটি সরলরেখা [tex]y-\frac {3}{2} = -3(x+ \frac {1}{2})[/tex]
(B) একটি বৃত্ত যার কেন্দ্র [tex](-\frac{1}{2}, \frac {3}{2})[/tex] এবং ব্যাসার্ধ [tex]\frac{1}{\sqrt2}[/tex]
(C) একটি অধিবৃত্ত যার নাভিবিন্দু (1,2) এবং নিয়ামকটি (-2, 1) বিন্দুগামী
(D) একটি উপবৃত্ত যার নাভিদ্বয় হল (1, 2) এবং (-2, 1)
9. (0, 0), (2, 6), (6, 2) বিন্দুত্রয়গামী একটি বৃত্ত x অক্ষকে ছিন্ন করে P ≠ (0, 0) বিন্দুতে । মূলবিন্দু O হলে OP -এর দৈর্ঘ্য হবে
(A) [tex]\frac{5}{2}[/tex] (B) [tex]\frac{5}{\sqrt2}[/tex] (C) 5 (D) 10
10. t একটি চলরাশি হলে x - 2y = t এবং [tex]x + 2y = \frac {1} {t}[/tex] সরলরেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দুগুলির সঞ্চারপথ হবে
(A) একটি সরলরেখা x=y
(B) একটি বৃত্ত যার কেন্দ্র, মূলবিন্দু এবং ব্যাসার্ধ 1
(C) একটি উপবৃত্ত যার কেন্দ্র, মূলবিন্দু এবং একটি নাভি [tex](\frac{2}{\sqrt5},0)[/tex]
(D) একটি পরাবৃত্ত যার কেন্দ্র, মূলবিন্দু এবং একটি নাভি [tex](\frac{\sqrt5}{2},0)[/tex]
11. সেট {1, 2,.....,11} থেকে {1, 2,.....,10} সেটের উপরিচিত্রণের (onto functions) সংখ্যা হল
(A) [tex]5 \times | \underline {11} [/tex] (B) [tex]|\underline {10} [/tex] (C) [tex]{{|\underline {11}} \over 2}[/tex] (D) [tex]10 \times |\underline {11} [/tex]
12. p(x) হল একটি দ্বিঘাত রাশিমালা (quadratic polynomial) যার ধ্রুবক পদ 1 । p(x) কে x - 1 এবং x + 1 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হয় যথাক্রমে 2 এবং 4 । p(x) = 0 সমীকরণের বীজদ্বয়ের যোগফল হবে
(A) -1 (B) 1 (C) [tex]-\frac{1}{2}[/tex] (D) [tex]\frac{1}{2}[/tex]
13. [tex]x \to 0[/tex] হলে [tex][\frac {1}{x^2} + \frac {(2013)^x}{e^x-1} + \frac {1}{e^x-1}][/tex] রাশিমালাটির সীমামান
(A) + ∞ অভিমুখী (B) - ∞ অভিমুখী (C) [tex]log_e (2013) [/tex] -এর সমান (D) অস্তিত্বহীন
14. এগারোটি আপেল একটি বালিকা এবং একটি বালকের মধ্যে বন্টন করা হলে নিম্নের কোন উক্তিটি সত্য হবে ?
(A) কমপক্ষে একজন 7 টি আপেল পাবে
(B) বালিকাটি কমপক্ষে 4 টি আপেল পাবে অথবা বালকটি কমপক্ষে 9 টি আপেল পাবে
(C) বালিকাটি কমপক্ষে 5 টি আপেল পাবে অথবা বালকটি কমপক্ষে 8 টি আপেল পাবে
(D) বালিকাটি কমপক্ষে 4 টি আপেল পাবে অথবা বালকটি কমপক্ষে 8 টি আপেল পাবে
Ans: ()
15. [tex] z_1 = 2 + 3i[/tex] এবং [tex]z_2 = 3 + 4i[/tex] হল জটিল তলের ওপর অবস্থিত দুটি বিন্দু । তাহলে যেসমস্ত জটিলরাশি [tex]z[/tex] এর জন্য [tex]|z-z_1|^2+|z-z_2|^2=|z_1-z_2|^2 [/tex] সমীকরণটি সিদ্ধ হয়, জটিল তলে তাদের জ্যামিতিক রূপ হল
(A) একটি সরলরেখা (B) একটি বিন্দু (C) একটি বৃত্ত (D) সরলরেখা যুগল
16. 5 টি সংখ্যার অনোন্যক সমান্তর প্রগতিতে আছে । যদি মধ্যম পদ 1 এবং দ্বিতীয় ও চতুর্থ পদের অনুপাত 2 : 1 হয়, তবে প্রথম তিনটি পদের যোগফল হবে
(A) 11/2 (B) 5 (C) 2 (C) 14/3
17. ধরি [tex]P=\begin{pmatrix} \cos \frac {\pi}{4} & - \sin \frac {\pi}{4} \\ \sin \frac {\pi}{4} & \cos \frac {\pi}{4} \end{pmatrix} [/tex] এবং [tex]X=\begin{pmatrix} \frac {1}{\sqrt2} \\ \frac{1}{\sqrt2} \end{pmatrix}[/tex] । তাহলে [tex]P^3X[/tex] হবে
(A) [tex]\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}[/tex] (B) [tex]\begin{pmatrix} -\frac{1}{\sqrt2} \\ \frac{1} {\sqrt2} \end{pmatrix}[/tex] (C) [tex]\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \end{pmatrix}[/tex] (D) [tex]\begin{pmatrix} -\frac{1} {\sqrt2} \\ - \frac{1}{\sqrt2} \end{pmatrix}[/tex]
18. x² - x + 1 = 0 -এর বীজদ্বয় α এবং ß হলে, α2013 + ß2013 -এর মান হবে
(A) 2 (B) -2 (C) -1 (D) 1
19. যদি ধনাত্মক অখন্ড সংখ্যাত্রয় x, y, z সমীকরণ x + y + z = 10 -কে সিদ্ধ করে, তবে সমীকরণটির সমাধানগুলির সংখ্যা হবে
(A) 36 (B) 55 (C) 72 (D) 45
20. [tex]\int_{-1}^{+1} \{\frac {x^{2013}}{e^{|x|} (x^2 + \cos x)} + \frac {1}{e^{| x|}} \}dx [/tex] -এর মান হল
(A) 0 (B) 1 - e1 (C) 2e1 (D) 2(1 - e1)
21. [tex]0 \le P, Q \le \frac {\pi}{2}[/tex], -এর জন্য যদি [tex] \sin P + \cos Q = 2[/tex] হয়, তাহলে [tex] \tan (\frac {P + Q}{2})[/tex] -এর মান হল
(A) 1 (B) [tex]\frac{1}{\sqrt2}[/tex] (C) [tex]\frac{1}{2}[/tex] (D) [tex]\frac{\sqrt3}{2}[/tex]
22. ধরা যাক [tex]f(x) = 2^{100}x + 1[/tex] এবং [tex]g(x) = 3^{100}x + 1[/tex] । তাহলে যেসব বাস্তব সংখ্যা x -এর জন্য [tex]f(g (x)) = x[/tex] সমীকরণটি সিদ্ধ হয়, তাহলে সেট হল
(A) শূন্য সেট (empty) (B) একপদী সেট (singleton) (C) একটি সসীম সেট যার মধ্যে একাধিক পদ আছে (D) অসীম সেট
23. [tex]x \to 0[/tex] হলে [tex]\{\frac{1}{x}\sqrt{1+x}-\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}\}[/tex] -এর সীমামান হল
(A) অস্তিত্বহীন (B) 1/2 (C) 0 (D) 1
24. cos²75° + cos²45° + cos²15° - cos²30° - cos²60° -এর মান হল
(A) 0 (B) 1 (C) 1/2 (D) 1/4
25. [tex] \cos^6 \theta + \sin^6 \theta [/tex] -এর গরিষ্ঠ এবং লঘিষ্ঠ মান যথাক্রমে
(A) 1 এবং 1/4 (B) 1 এবং 0 (C) 2 এবং 0 (D) 1 এবং 1/2
26. ধরা যাক [tex]z = x+iy[/tex] যেখানে x ও y বাস্তব সংখ্যা এবং [tex]i = \sqrt {-1}[/tex] । (x, y) বিন্দুগুলি যার জন্য [tex] \frac {z-1}{z-i}[/tex] বাস্তব , অবস্থান করে
(A) একটি উপবৃত্তের ওপর (B) একটি বৃত্তের ওপর (C) একটি অধিবৃত্তের ওপর (D) একটি সরলরেখার ওপর
27. যদি a, b, c সংখ্যাগুলি A.P. -তে থাকে তাহলে ax + 2by + c = 0 সরলরেখাটি সর্বদা একটি নির্দিষ্ট বিন্দু দিয়ে যায়— যার স্থানাঙ্ক হল
(A) (1, -1) (B) (-1, 1) (C) (1, -2) (D) (-2, 1)
28. 2x² + 5xy - 12y² = 0 সমীকরণটি নির্দেশ করে
(A) বৃত্তকে
(B) সরলরেখাযুগলকে যে রেখা দুটি একে অপরকে ছেদ করে, কিন্তু লম্বভাবে নয়
(C) লম্বভাবে ছেদ করে এমন সরলরেখাযুগলকে
(D) পরাবৃত্তকে
29. 3x² + 3y² - 9x + 6y + 5 = 0 বৃত্তটির একটি ব্যাসের এক প্রান্তের স্থানাঙ্ক (1, 2) হলে, অপর প্রান্তের স্থানাঙ্ক হল
(A) (2, 1) (B) (2, 4) (C) (2, -4) (D) (-4, 2)
30. y = x রেখাটি [tex]\frac {x^2}{9} - \frac {y^2}{25} = 1[/tex] পরাবৃত্তটিকে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করে । একটি উপবৃত্তের পরাক্ষ PQ এবং উপাক্ষের দৈর্ঘ্য [tex] \frac {5}{ \sqrt 2}[/tex] । উপবৃত্তটির উৎকেন্দ্রতা হল
(A) [tex] \frac {\sqrt 5}{3}[/tex] (B) [tex] \frac {5}{\sqrt 3}[/tex] (C) [tex]\frac {5}{9}[/tex] (D)[tex]\frac {25}{9}[/tex]
Ans: ()
31. x → 0 হলে x sin (e1/x) -এর সীমামান
(A) 0 (B) 1 (C) e/2 (D) থাকে না
32. [tex]1000[\frac {1}{1 \times 2} + \frac {1}{2 \times 3} + \frac {1}{3 \times 4} + ... + \frac {1}{999 \times1000}] [/tex] -এর মান হল
(A) 1000 (B) 999 (C) 1001 (D) 1/999
33. ধরা যাক [tex]I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} [/tex] এবং [tex]P = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix}[/tex] । তবে [tex]P^3 + 2P^2[/tex] ম্যাট্রিক্সটি
(A) P -এর সমান (B) I - P -এর সমান (C) 2I + P -এর সমান (D) 2I - P -এর সমান
34. [tex]\begin{vmatrix} 1+a^2-b^2 & 2ab & -2b\\ 2ab & 1- a^2+b^2 & 2a \\ 2b & -2a & 1-a^2-b^2 \end{vmatrix}[/tex] নির্ণায়কটির মান হল
(A) 0 (B) (1 + a² + b² ) (C) (1 + a² + b² )² (D) (1 + a² + b²)³
35. x² + ax + b = 0, (b ≠ 0) দ্বিঘাত সমীকরণটির বীজদ্বয় α এবং ß হলে [tex] \alpha - \frac {1}{\beta}[/tex] ও [tex]\beta - \frac {1}{\alpha}[/tex] যে দ্বিঘাত সমীকরণের বীজ, তা হল
(A) [tex]ax^2+a(b-1)x+(a-1)^2=0[/tex]
(B) [tex]bx^2+a(b-1)x+(b-1)^2=0[/tex]
(C) [tex]x^2+ax+b=0[/tex]
(D) [tex] abx^2+bx +a=0[/tex]
36. একটি উপবৃত্তের নাভিদ্বয়ের মধ্যেকার দূরত্ব যদি তার নাভিলম্বের সাথে সমান হয়, তাহলে উপবৃত্তটির উৎকেন্দ্রতা হল
(A) [tex]\frac{1}{4}(\sqrt5-1)[/tex] (B) [tex]\frac{1}{2}(\sqrt5+1)[/tex] (C) [tex]\frac{1}{2} (\sqrt5-1)[/tex] (D) [tex]\frac{1}{4}(\sqrt5+1)[/tex]
37. (1, 1) বিন্দুগামী এবং x² + y² - 6x - 8 = 0 ও x² + y² - 6 = 0 -এর ছেদ বিন্দুগামী বৃত্তের সমীকরণ হল
(A) x² + y² + 3x - 5 = 0
(B) x² + y² - 4x + 2 = 0
(C) x² + y² + 6x - 4 = 0
(D) x² + y² - 4y -2 = 0
38. (2, -3) বিন্দুগামী এবং (-1, 2) বিন্দু থেকে 8 একক দূরত্বে থাকা সরলরেখার সংখ্যা
(A) অসীম (B) 4 (C) 2 (D) 0
39. ছটি সংখ্যা G.P. -তে আছে । এদের গুণফল 1000 এবং চতুর্থ পদ হল 1 । তবে শেষ পদ হবে
(A) 1000 (B) 100 (C) 1/100 (D) 1/1000
40. যদি ax² + bx + c = 0 দ্বিঘাত সমীকরণটির বীজদ্বয় α, β হয় এবং 3b² = 16ac হয়, তাহলে
(A) α = 4β অথবা ß = 4α (B) α = -4β অথবা β = -4α (C) α = 3β অথবা β = 3α (D) α = -3β অথবা β = -3α
41. 3 x 3 ম্যাট্রিক্সদের সেট, যে ম্যাট্রিক্সগুলোর সমস্ত পদ বাস্তব সংখ্যা, সেই সেটের মধ্যে একটি সম্পর্ক (relation) সংজ্ঞাত হল এভাবে ; ম্যাট্রিক্স A ম্যাট্রিক্স B এর সঙ্গে সম্পর্কিত হবে যদি এবং কেবলমাত্র যদি কোনো একটি 3 x 3 নন-সিঙ্গুলার ম্যাট্রিক্স P পাওয়া যায় যাতে B = P-1AP হয় । তাহলে সম্পর্কটি
(A) স্বসম (Reflexive) ও প্রতিসম (Symmetric) কিন্তু সংক্রমণ (Transitive) নয়
(B) স্বসম ও সংক্রমণ কিন্তু প্রতিসম নয়
(C) প্রতিসম ও সংক্রমণ কিন্তু স্বসম নয়
(D) একটি সমতুল্যতা (Equivalence) সম্পর্ক
42. যে কোনো দুটি বাস্তব সংখ্যা a ও b -এর জন্য আমরা ধরি a R b যদি এবং কেবলমাত্র যদি sin² a + cos² b = 1 হয় । R সম্পর্কটি হল
(A) স্বসম কিন্তু প্রতিসম নয় (B) প্রতিসম কিন্তু সংক্রমণ নয় (C) সংক্রমণ কিন্তু স্বসম নয় (D) একটি সমতুল্যতা সম্পর্ক
43. x² + 4xy + 8y² = 64 বক্ররেখাটির স্পর্শকগুলো x অক্ষের সমান্তরাল হবে কেবলমাত্র
(A) (0, 2√2) এবং (0, -2√2) বিন্দুতে
(B) (8, -4) এবং (-8, 4) বিন্দুতে
(C) (8√2, -2√2) এবং (-8√2, 2√2) বিন্দুতে
(D) (8,0) এবং (-8,0) বিন্দুতে
44. ধরা যাক [tex]f(x) = \left\{ {\matrix{ {{x^3} - 3x + 2} & {x < 2} \cr {{x^3} - 6{x^2} + 9x + 2} & {x \ge 2} \cr } } \right.[/tex] তবে
(A) [tex]\lim \limits_{x \to 2} f(x)[/tex] -এর অস্তিত্ব নেই
(B) x = 2 বিন্দুতে ƒ সন্তত (continuous) নয়
(C) x = 2 বিন্দুতে ƒ সন্তত (continuous) কিন্তু অবকলনযোগ্য নয়
(D) x = 2 বিন্দুতে ƒ সন্তত (continuous) কিন্তু অবকলন যোগ্য
45. [tex]I = \int_0^{\pi \over 4}( \tan^{n+1}x)dx + \frac {1}{2} \int_0^{\pi \over 2} \tan^{n-1} (x/2)dx [/tex] -এর মান
(A) [tex]\frac {1}{n}[/tex] (B) [tex]\frac {n+2}{2n+1}[/tex] (C) [tex]\frac {2n-1}{n}[/tex] (D) [tex]\frac {2n-3}{3n-2} [/tex]
46. [tex]x \to \infty[/tex] হলে [tex]\sum \limits_{n=1}^{1000}(-1)^nx^n[/tex] -এর সীমা মান
(A) থাকে না (B) আছে এবং তা হল 0 (C) আছে এবং + ∞ অভিমুখী (D) আছে এবং - ∞ অভিমুখী
47. ধরা যাক ƒ(θ) = (1 + sin²θ)(2 - sin²θ) । তবে θ -র সমস্ত মানের জন্য
(A) ƒ(θ) > [tex]{9 \over 4}[/tex] (B) ƒ(θ) < 2 (C) ƒ(θ) > [tex]{11 \over 4}[/tex] (D) 2 ≤ ƒ(θ) ≤ [tex]{9 \over 4}[/tex]
48. যদি ƒ(x) = ex(x - 2)² হয়, তাহলে
(A) (- ∞ ,0) ও (2, ∞) -তে ƒ ক্রমবর্ধমান ও (0, 2) -তে ক্রমহ্রাসমান
(B) (- ∞ ,0) -তে ƒ ক্রমবর্ধমান ও (0, ∞) -তে ক্রমহ্রাসমান
(C) (2, ∞) -তে ƒ ক্রমবর্ধমান ও (- ∞, 0) -তে ক্রমহ্রাসমান
(D) (0, 2) -তে ƒ ক্রমবর্ধমান এবং (- ∞ ,0) ও (2, ∞) -তে ক্রমহ্রাসমান
49. ধরা যাক n একটি ধনাত্মক যুগ্ম অখন্ড সংখ্যা । (1 + x)n -এর বিস্তারে সর্বাধিক সহগ ও দ্বিতীয় সর্বাধিক সহগের অনুপাত হল 11 : 10 । তবে (1 + x)n -এর বিস্তারের পদসংখ্যা হল
(A) 20 (B) 21 (C) 10 (D) 11
50. পাঁচটি সংখ্যা A.P. -তে আছে, যেখানে সাধারণ অন্তর ≠ 0 । যদি প্রথম, তৃতীয় ও চতুর্থ পদ G.P. -তে থাকে, তাহলে
(A) পঞ্চম পদ সর্বদা 0 হবে (B) প্রথম পদ সর্বদা 0 হবে (C) মধ্য পদ সর্বদা 0 হবে (D) মধ্য পদ সর্বদা -2 হবে
51. ধরা যাক, [tex]f(x) = \exp (x^{\frac {1}{x}}), x>0[/tex] যেখানে exp(x) = ex । [2, 5] অন্তরালে ƒ -এর অবম মান হবে
(A) [tex]\exp (e^{\frac{1}{e}})[/tex] (B) [tex]\exp (2^{\frac {1}{2}})[/tex] (C) [tex]\exp (5^{\frac{1}{5}})[/tex] (D) [tex] \exp (3^{\frac{1}{3}})[/tex]
52. [tex]f(x)=2|x-1|+|x-2|[/tex] -এর অবম মান হবে
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
53. [tex]\frac {1}{1 \times 2}{^{25}}C_0 + \frac {1}{2 \times 3}{^{25}}C_1 + \frac {1}{3 \times 4}{^{25}}C_2 +...+ \frac {1}{26 \times 27}{^{25}}C_{25}[/tex] শ্রেণীটির যোগফল হল
(A) [tex]\frac {2^{27} - 1}{26 \times 27}[/tex] (B) [tex]\frac {2^{27}-28}{26 \times 27}[/tex] (C) [tex]\frac {1}{2}(\frac {2^{26}+1}{26 \times 27})[/tex] (D) [tex] \frac {2^{26} -1}{52}[/tex]
54. যদি P, Q, R একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের তিনটি কোণ হয় যেখানে [tex] \angle P = {\pi \over 2} [/tex] তবে [tex] (\cos \frac {P}{3} - i \sin {P \over 3})^3 + ( \cos Q + i \sin Q)( \cos R -i \sin R ) + ( \cos P -i \sin P )( \cos Q -i \sin Q)( \cos R -i \sin R) [/tex] -এর মান
(A) i (B) -i (C) 1 (D) -1
55. ধরা যাক [tex]f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}[/tex] যেখানে ƒ হল ইনজেকটিভ এবং [tex]f(x)f(y)=f(x+y)[/tex] সকল বাস্তব [tex]x,y \in \mathbb{R}[/tex] -এর জন্য । যদি [tex]f(x), f(y), f(z)[/tex] G.P. -তে থাকে তবে, x, y, z
(A) সর্বদা A.P. -তে থাকবে
(B) সর্বদা G.P. -তে থাকবে
(C) x, y, z -এর মানের ওপর নির্ভরশীল হয়ে A.P. -তে থাকবে
(D) x, y, z -এর মানের ওপর নির্ভরশীল হয়ে G.P. -তে থাকবে
56. [tex]\int_1^2e^x(log_ex+\frac{x+1}{x})dx[/tex] সমাকলটির মান হল
(A) [tex]e^2(1+log_e2)[/tex] (B) [tex]e^2-e[/tex] (C) [tex]e^2(1+log_e2)-e[/tex] (D) [tex]e^2-e(1+log_e2)[/tex]
57. [tex]\frac{1}{2}log_{\sqrt3}(\frac{x+1}{x+5})+log_9(x+5) ^2=1[/tex] সমীকরণটির সমাধানের সংখ্যা হল
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) অসীম
58. ধরা যাক [tex]P=1+\frac {1}{2 \times 2} + \frac {1}{3 \times 2^2}+......[/tex] এবং [tex]Q=\frac {1}{1 \times 2}+ \frac {1}{3 \times 4}+ \frac {1}{5 \times 6}+......[/tex] তবে
(A) P = Q (B) 2P = Q (C) P = 2Q (D) P = 4Q
59. অধিবৃত্ত y = x² - 4x + 5 এবং সরলরেখা y = x + 1 দ্বারা সীমাবদ্ধ ক্ষেত্র হল
(A) 1/2 (B) 2 (C) 3 (D) 9/2
60. যদি [tex]f(x)= \sin x+2 \cos^2 x[/tex], [tex]\frac {\pi}{4} \le x \le \frac {3 \pi}{4}[/tex] হয়, তবে
(A) [tex]x=\frac {\pi}{4}[/tex] -য়ে ƒ -এর অবম মান থাকবে
(B) [tex]x=\frac {\pi}{2}[/tex] -য়ে ƒ -এর চরম মান থাকবে
(C) [tex]x=\frac {\pi}{2}[/tex] -য়ে ƒ -এর অবম মান থাকবে
(D) [tex]x= \sin^{-1}(\frac {1}{4})[/tex] -য়ে ƒ -এর চরম মান থাকবে
61. একটি নৈবক্তিক (objective) প্রশ্নপত্রে পাঁচটি প্রশ্ন আছে । এর মধ্যে তিনটি প্রশ্নের প্রত্যেকটির চারটি করে বিকল্প (A, B, C, D) আছে এবং একটি বিকল্প সঠিক । অন্য দুটি প্রশ্নে দুটি করে বিকল্প আছে । ঠিক ও ভুল । একজন পরীক্ষার্থী ইচ্ছেমতো বিকল্পগুলো টিক (tick) মারল । অন্তত চারটি প্রশ্নের সঠিক বিকল্পে টিক মারার সম্ভাবনা হল
(A) [tex]\frac {5}{32}[/tex] (B) [tex]\frac {3}{128} [/tex] (C) [tex]\frac {3}{256}[/tex] (D) [tex]\frac {3}{64}[/tex]
62. যদি x = 1, y = 1 অবকল সমীকরণ [tex](y^2 + 2x)\frac {dy}{dx} = y[/tex] -এর সমাধানকে সিদ্ধ করে তাহলে সমাধানটি হল
(A) [tex]x=y^2(1+log_ey)[/tex]
(B) [tex]y=x^2(1+log_ex)[/tex]
(C) [tex]x=y^2(1-log_ey)[/tex]
(D) [tex]y=x^2(1- log_ex)[/tex]
63. বক্ররেখা গুচ্ছের মুলবিন্দু এবং একটি বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকের ভিতরে y অক্ষ দ্বারা ছেদিতাংশের দৈর্ঘ্য স্পর্শবিন্দুর কোটির (ordinate) তিনগুন, তাহলে বক্ররেখা গুচ্ছের সমীকরণ হল
(A) xy = c, c একটি ধ্রুবক (B) xy² = c, c একটি ধ্রুবক (C) x²y = c, c একটি ধ্রুবক (D) x²y² = c, c একটি ধ্রুবক
64. অবকল সমীকরণ [tex]y \sin (x/y)dx = (x \sin (x/y) - y) dy [/tex] satisfying [tex]y(\pi /4) = 1 [/tex] -এর সমাধান হল
(A) [tex] \cos \frac {x}{y} =-log_ey + \frac {1}{\sqrt2}[/tex]
(B) [tex] \sin \frac {x}{y} = log_ey + \frac {1} {\sqrt2} [/tex]
(C) [tex] \sin \frac {x}{y} = log_ex- \frac {1}{\sqrt 2}[/tex]
(D) [tex]\cos \frac {x}{y} =-log_ex - \frac {1} {\sqrt 2} [/tex]
Ans: ()
65. x + y = 4 এবং x - y = 2 সরলরেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দুগামী একটি সরলরেখা x অক্ষের সঙ্গে [tex]tan^ {-1}(3/4)[/tex] কোণে নত । সরলরেখাটির অধিবৃত্ত y² = 4(x - 3) কে (x1, y1) এবং (x2, y2) বিন্দুতে ছেদ করে, তাহলে |x1 - x2| =
(A) [tex]{16 \over 9}[/tex] (B) [tex]{32 \over 9}[/tex] (C) [tex]{40 \over 9}[/tex] (D) [tex]{80 \over 9}[/tex]
66. যদি [tex] \sin^2 \theta + 3 \cos \theta = 2 [/tex], তবে [tex] \cos^3 \theta + \sec^3 \theta [/tex] =
(A) 1 (B) 4 (C) 9 (D) 18
67. যে কোনো বাস্তব সংখ্যা a -এর জন্য [a] -এর থেকে অর্থ হল সর্বোচ্চ পূর্ণ সংখ্যা যা a থেকে ছোটো অথবা সমান । তা হলে [tex]\int_{-{\pi \over 2}}^{\pi \over 2}[ \sin x \cos x]dx [/tex] হবে
(A) [tex]{\pi \over 2} [/tex] (B) [tex]\pi[/tex] (C) [tex]- \pi[/tex] (D) [tex]-{\pi \over 2}[/tex]
68. যদি [tex]x = 1 + \frac {1}{2 \times |\underline 1} + \frac {1}{4 \times |\underline2} + \frac {1}{8 \times | \underline3} +......[/tex] এবং [tex]y = 1 + \frac {x^2}{|\underline1} + \frac {x^4}{|\underline 2} + \frac {x^6}{ | \underline 3} +......[/tex] হয়, তবে [tex]log_ey[/tex] এর মান হবে
(A) e (B) e² (C) 1 (D) 1/e
69. যদি [tex]P=\begin{pmatrix} 2 & -2 & -4\\ -1 & 3 & 4\\ 1 & -2 & -3 \end{pmatrix}[/tex] হয়, তবে [tex]P^5[/tex] =
(A) P (B) 2P (C) -P (D) -2P
70. [tex]\frac {1^2 + 2^2}{|\underline 3} + \frac {1^2 + 2^2 + 3^2}{| \underline 4} + \frac {1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2} {|\underline 5}+.......[/tex] এই অসীম শ্রেণীটির মান হল
(A) e (B) 5e (C) [tex]\frac {5e}{6} - \frac {1}{2}[/tex] (D) [tex]\frac{5e}{6}[/tex]
71. [tex]\int_{\pi \over 6}^{\pi \over 3} \frac {(\sin x - x \cos x)}{x(x + \sin x)}dx [/tex] সমাকলটির মান হল
(A) [tex]log_e(\frac{2(\pi+3)}{2\pi+3\sqrt3})[/tex] (B) [tex]log_e(\frac{\pi+3}{2(2\pi +3\sqrt3)})[/tex] (C) [tex] log_e(\frac{2\pi+3\sqrt3}{2(\pi+3)})[/tex] (D) [tex]log_e(\frac{2(2\pi+3\sqrt3)}{\pi +3})[/tex]
72. যদি ƒ(x) = x2/3, x ≥ 0 হয়, তবে বক্ররেখা y = ƒ(x) এবং সরলরেখা y = x, x = 1 এবং x = 8 দ্বারা সীমাবদ্ধ অংশের ক্ষেত্রফল হবে
(A) [tex]\frac{63}{2}[/tex] (B) [tex]\frac{93}{5}[/tex] (C) [tex]\frac{105}{7}[/tex] (D) [tex]\frac{129}{10}[/tex]
73. ধরা যাক [tex]f(x) = x( \frac {1}{x-1} + \frac {1}{x} + \frac {1}{x+1})[/tex] , x > 1, তাহলে
(A) [tex]f(x) \le 1[/tex] (B) [tex]1 < f(x) \le 2 [/tex] (C) [tex]2 < f(x) \le 3 [/tex] (D) [tex]f(x) > 3[/tex]
74. F নাভিবিশিষ্ট অধিবৃত্ত y² = 4ax -এর ওপর P একটি বিন্দু । যদি P থেকে নিয়ামকের ওপর লম্বের পাদবিন্দু Q হয়, তবে [tex]\frac {\tan \angle {PQF}}{\tan \angle {PFQ}} [/tex] হবে
(A) 1 (B) 1/2 (C) 2 (D) 1/4
75. ধরা যাক, [tex]F(x) = \int_0^x \frac {\cos t}{(1 + t^2)}dt [/tex], [tex]0 \le x \le 2 \pi [/tex] । তবে
(A) [tex](\frac {\pi}{2},\frac {3\pi}{2})[/tex] -তে F ক্রমবর্ধমান এবং [tex](0,\frac{\pi}{2})[/tex] ও [tex](\frac{3\pi}{2},2\pi) [/tex] -তে F ক্রমহ্রাসমান
(B) [tex](0,\pi)[/tex] -তে F ক্রমবর্ধমান এবং [tex](\pi,2 \pi)[/tex] -তে F ক্রমহ্রাসমান
(C) [tex] (\pi, 2 \pi)[/tex] -তে F ক্রমবর্ধমান এবং [tex](0,\pi)[/tex] -তে F ক্রমহ্রাসমান
(D) [tex](0,\frac {\pi}{2})[/tex] ও [tex](\frac {3 \pi}{2}, 2\pi)[/tex] -তে F ক্রমবর্ধমান এবং [tex](\frac {\pi}{2},\frac {3 \pi} {2})[/tex] -তে F ক্রমহ্রাসমান
76. যে সব বৃত্ত উভয় অক্ষকে এবং 4x + 3y = 12 সরলরেখাকে স্পর্শ করে এবং যাদের কেন্দ্র প্রথম পাদে থাকে তাদের সমীকরণ হল
(A) x² + y² - x - y + 1 = 0
(B) x² + y² - 2x - 2y + 1 = 0
(C) x² + y² - 12x - 12y + 36 = 0
(D) x² + y² - 6x - 6y + 36 = 0
77. y² = x অধিবৃত্ত ও y = mx রেখার দ্বারা বেষ্টিত ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল [tex]{1 \over 48}[/tex] হলে m -এর মান হল
(A) -2 (B) -1 (C) 1 (D) 2
78. ধরা যাক x² - bx + c = 0 সমীকরণের বীজদ্বয় sin α, cos α । নীচের কোন বিবৃতিগুলো সঠিক ?
(A) [tex]c \le \frac {1}{2}[/tex] (B) [tex]b \le \sqrt {2}[/tex] (C) [tex]c > \frac{1}{2}[/tex] (D) [tex]b > \sqrt{2} [/tex]
79. [tex]x + y + z = 0 [/tex] [tex]\alpha x + \beta y + \gamma z = 0[/tex] [tex]\alpha^2 x + \beta^2 y + \gamma^2 z = 0[/tex] এই সমীকরণ সমূহের
(A) অদ্বিতীয় সমাধান আছে, সমস্ত [tex]\alpha ,\beta ,\gamma[/tex] জন্য
(B) অসীম সংখ্যক সমাধান আছে, যদি [tex]\alpha ,\beta , \gamma[/tex] -র মধ্যে যে-কোনো দুটির মান সমান হয়
(C) অদ্বিতীয় সমাধান আছে, যদি [tex]\alpha ,\beta , \gamma[/tex] সব পৃথক হয়
(D) একাধিক কিন্তু সসীম সংখ্যক সমাধান আছে যা [tex]\alpha ,\beta ,\gamma[/tex] -র মানের ওপর নির্ভরশীল
80. নীচের কোনো কোনো বাস্তব অপেক্ষক (real valued function) যুগ্ম অপেক্ষক (even function) হবে না ?
(A) ƒ(x) = x³ sin x
(B) ƒ(x) = x² cos x
(C) ƒ(x) = exx³ sin x
(D) ƒ(x) = x-[x], যেখানে [x] নির্দেশ করে x বা তার চেয়ে ছোটো সর্বোচ্চ অখন্ড সংখ্যাকে
***
