বহুপদী সংখ্যামালার ধর্ম

Submitted by arpita pramanik on Sat, 08/29/2020 - 23:48

বহুপদী সংখ্যামালার ধর্ম (Properties of Polynomials) :

দুটি বহুপদীয় রাশির যোগফল, বিয়োগফল ও গুণফল সর্বদা বহুপদীয় রাশি হয় । 

উদাহরণ : কোনো বিদ্যালয়ে ছাত্র ছাত্রীরা মোট [tex]\left( {{x^2} + 8} \right)[/tex] টি চারাগাছ লাগিয়েছে। কিন্তু শিক্ষক শিক্ষিকা ও অতিথিরা যথাক্রমে [tex]\left( {3{x^2} + 2x + 5} \right)[/tex] টি এবং [tex]\left( {{x^3} + 1} \right)[/tex] টি চারাগাছ লাগিয়েছে। তাহলে সবাই মিলে মোট কতগুলি চারাগাছ লাগানো হয়েছে 

মনে করি [tex]f\left( x \right) = {x^2} + 8[/tex] , [tex]g\left( x \right) = 3{x^2} + 2x + 5[/tex] এবং [tex]h\left( x \right) = {x^3} + 1[/tex]

অতএব 

[tex]\begin{array}{l}
f\left( x \right) + g\left( x \right) + h\left( x \right)\\
 = {x^2} + 8 + 3{x^2} + 2x + 5 + {x^3} + 1\\
 = {x^3} + 4{x^2} + 2x + 14
\end{array}[/tex]

সবাই মিলে মোট [tex]{x^3} + 4{x^2} + 2x + 14[/tex] টি  চারাগাছ লাগানো হয়েছে । 

 

উদারহণ : মনে করি [tex]f\left( x \right) = {x^2} + 8[/tex] এবং [tex]g\left( x \right) = 3{x^2} + 2x + 5[/tex] এই দুটি বহুপদী সংখ্যামালার বিয়োগফল নির্ণয় করতে হবে । 

[tex]\begin{array}{l}
g\left( x \right) - f\left( x \right)\\
 = \left( {3{x^2} + 2x + 5} \right) - \left( {{x^2} + 8} \right)\\
 = 3{x^2} + 2x + 5 - {x^2} - 8\\
 = 2{x^2} + 2x - 3
\end{array}[/tex]

দেখা যাচ্ছে তাদের বিয়োগফল একটি বহুপদী সংখ্যামালা 

 

উদাহরণ : মনে করি [tex]f\left( x \right) = {x^2} + 8[/tex] এবং [tex]g\left( x \right) = 3{x^2} + 2x + 5[/tex] এই দুটি বহুপদী সংখ্যামালার গুণফল নির্ণয় করতে হবে । 

[tex]\begin{array}{l}
g\left( x \right) \times f\left( x \right)\\
 = \left( {3{x^2} + 2x + 5} \right) \times \left( {{x^2} + 8} \right)\\
 = 3{x^2} \times \left( {{x^2} + 8} \right) + 2x \times \left( {{x^2} + 8} \right) + 5 \times \left( {{x^2} + 8} \right)\\
 = 3{x^4} + 24{x^2} + 2{x^3} + 16x + 5{x^2} + 40\\
 = 3{x^4} + 2{x^3} + 29{x^2} + 16x + 40
\end{array}[/tex]

 

উদাহরণ : y = 1 এর জন্য [tex]f\left( y \right) = {y^3} + 2y - 5[/tex] এর মান নির্ণয় কর 

y = 1 , [tex]f\left( y \right) = {y^3} + 2y - 5[/tex] এই অপেক্ষকে বসিয়ে পাই 

[tex]f\left( 1 \right) = {1^3} + 2 \times 1 - 5 = 1 + 2 - 5 =  - 2[/tex]

 

একটি সংখ্যা c কে f(x) বহুপদী সংখ্যামালার শূন্য বলা হবে যদি f(c) = 0 হয় । 

 

উদাহরণ : [tex]f\left( x \right) = 8 - x[/tex] এই বহুপদী সংখ্যামালার শূন্য কি হবে ?

[tex]\begin{array}{l}
f\left( 1 \right) = 8 - 1 = 7\\
f\left( 2 \right) = 8 - 2 = 6\\
f\left( 3 \right) = 8 - 3 = 5\\
f\left( 4 \right) = 8 - 4 = 4\\
f\left( 5 \right) = 8 - 5 = 3\\
f\left( 6 \right) = 8 - 6 = 2\\
f\left( 7 \right) = 8 - 7 = 1\\
f\left( 8 \right) = 8 - 8 = 0
\end{array}[/tex]

দেখা যাচ্ছে x = 8 এর জন্য বহুপদী সংখ্যামালা শূন্য হবে । 

বিকল্প পদ্ধতি : 

[tex]f\left( x \right) = 8 - x[/tex] এই বহুপদী সংখ্যামালা শূন্য হলে x এর মান কি হবে তা নির্ণয় করি 

[tex]\begin{array}{l}
8 - x = 0\\
 \Rightarrow x = 8
\end{array}[/tex]

উদাহরণ : 6 এই বহুপদী সংখ্যার পদ শূন্য কি হবে তা নির্ণয় করি । 

[tex]6 = 6{x^0}[/tex] দেখা যাচ্ছে x এর পরিবর্তে কোনো সংখ্যা বসালে 6 বহুপদী সংখ্যার পদ শূন্য পাবনা। কিন্তু এখানে [tex]x \ne 0[/tex] বসাতে হবে। কারণ [tex]{0^0}[/tex] হল অসংজ্ঞাত । 

অতএব শূন্য ছাড়া কোনো ধ্রূবক বহুপদী সংখ্যার শূন্য নেই । 

কিন্তু শূন্য বহুপদী সংখ্যার শূন্য কী হবে ?

প্রত্যেক বাস্তব সংখ্যার শূন্য বহুপদী সংখ্যার শূন্য। কারণ 0 কে লেখা যায় [tex]0 \cdot {x^3}[/tex] . x এর পরিবর্তে যেকোনো বাস্তব সংখ্যা বসালে [tex]0 \cdot {x^3}[/tex] এর মান শূন্য হবে। যেমন [tex]0 \cdot {5^3} = 0[/tex] , [tex]0 \cdot {3^3} = 0[/tex] ইত্যাদি। কিন্তু [tex]0 \cdot {x^0}[/tex] এর ক্ষেত্রে [tex]x \ne 0[/tex] বসাতে হবে। কারণ [tex]{0^0}[/tex] হল অসংজ্ঞাত ।

ভাগ পদ্ধতি ( Division Algorithm )

যদি কোনো বহুপদী রাশিমালা অপেক্ষক f(x) এমন হয় যে f(a) = 0 তখন অপেক্ষকটি ( x-a ) দ্বারা বিভাজ্য হবে। অর্থাৎ বহুপদী সংখ্যামালা সর্বদাই তার উৎপাদক দ্বারা বিভাজ্য হবে । 

 

বিভাজ্যতার কয়েকটি গুরুত্বপূর্ণ সূত্র 

সূত্র 1.

[tex]{x^n} - {a^n}[/tex] এই সংখ্যামালাটি সর্বদা x - a দ্বারা বিভাজ্য হবে যদি n যেকোনো ধনাত্মক জোড় অথবা বিজোড় সংখ্যা হয় । 

এই ভাগ পদ্ধতিটি হল 

[tex]\begin{array}{l}
\frac{{{x^n} - {a^n}}}{{x - a}} = {x^{n - 1}} + {x^{n - 2}}a + {x^{n - 3}}{a^2} + ........... + x{a^{n - 2}} + {a^{n - 1}}\\
 \Rightarrow {x^n} - {a^n} = \left( {x - a} \right)\left( {{x^{n - 1}} + {x^{n - 2}}a + {x^{n - 3}}{a^2} + ........... + x{a^{n - 2}} + {a^{n - 1}}} \right)
\end{array}[/tex]

 

সূত্র 2.

[tex]{x^n} - {a^n}[/tex] এই সংখ্যামালাটি x + a দ্বারা বিভাজ্য হবে যদি n একটি ধনাত্মক জোড় সংখ্যা হয়। ( কিন্তু n বিজোড় সংখ্যা হলে বিভাজ্য হবে না ) 

এই ভাগ প্রক্রিয়াটি হল 

[tex]\begin{array}{l}
\frac{{{x^n} - {a^n}}}{{x + a}} = {x^{n - 1}} - {x^{n - 2}}a + {x^{n - 3}}{a^2} - ............... + {a^{n - 2}}x - {a^{n - 1}}\\
 \Rightarrow {x^n} - {a^n} = \left( {x + a} \right)\left( {{x^{n - 1}} - {x^{n - 2}}a + {x^{n - 3}}{a^2} - ............... + {a^{n - 2}}x - {a^{n - 1}}} \right)
\end{array}[/tex]

 

সূত্র 3.

[tex]{x^n} + {a^n}[/tex] এই সংখ্যামালাটি x + a দ্বারা বিভাজ্য হবে যদি n একটি ধনাত্মক অযুগ্ম সংখ্যা হয়। ( কিন্তু যদি n যুগ্ম হয় তাহলে বিভাজ্য হবে না) ।

এই ভাগ প্রক্রিয়াটি হল 

[tex]\begin{array}{l}
\frac{{{x^n} + {a^n}}}{{x + a}} = {x^{n - 1}} - {x^{n - 2}}a + {x^{n - 3}}{a^2} - .......... + {\left( { - 1} \right)^{n - 2}}x{a^{n - 2}} + {\left( { - 1} \right)^{n - 1}}x{a^{n - 1}}\\
 \Rightarrow {x^n} + {a^n} = \left( {x + a} \right)\left( {{x^{n - 1}} - {x^{n - 2}}a + {x^{n - 3}}{a^2} - .......... + {{\left( { - 1} \right)}^{n - 2}}x{a^{n - 2}} + {{\left( { - 1} \right)}^{n - 1}}x{a^{n - 1}}} \right)
\end{array}[/tex]

 

সূত্র ৪.

[tex]{x^n} + {a^n}[/tex] এই সংখ্যামালাটি n যুগ্ম অথবা অযুগ্ম যাই হোকনা কেন x - a দ্বারা কখনোই বিভাজ্য হবে না । 

বিশেষ জ্ঞাতব্য : 

যদি n অযুগ্ম সংখ্যা হয় 

  1. [tex]{x^n} - {a^n}[/tex] এই সংখ্যামালাটি x - a দ্বারা বিভাজ্য হবে । 
  2. [tex]{x^n} - {a^n}[/tex] এই সংখ্যামালাটি x + a দ্বারা বিভাজ্য হবে না । 
  3. [tex]{x^n} + {a^n}[/tex] এই সংখ্যামালাটি x + a দ্বারা বিভাজ্য হবে । 
  4. [tex]{x^n} + {a^n}[/tex] এই সংখ্যামালাটি x - a দ্বারা বিভাজ্য হবে না ।

যদি n যুগ্ম সংখ্যা হয় 

  1. [tex]{x^n} - {a^n}[/tex] এই সংখ্যামালাটি x - a দ্বারা বিভাজ্য হবে । 
  2. [tex]{x^n} - {a^n}[/tex] এই সংখ্যামালাটি x + a দ্বারা বিভাজ্য হবে । 
  3. [tex]{x^n} + {a^n}[/tex] এই সংখ্যামালাটি x + a দ্বারা বিভাজ্য হবে না । 
  4. [tex]{x^n} + {a^n}[/tex] এই সংখ্যামালাটি x - a দ্বারা বিভাজ্য হবে না ।

*****

Comments

Related Items

সূচকের নিয়মাবলি (Laws of Index)

কোনো সংখ্যাকে সেই সংখ্যা দ্বারা একাধিকবার গুণ করার প্রক্রিয়াকে প্রকাশ করা হয় সংখ্যাটির মাথার ডানদিকে সংখ্যাটিকে যত সংখ্যক বার গুণ করা হয়েছে সেই সংখ্যাটি বসিয়ে। এই প্রক্রিয়াকে সূচকের নিয়ম বলে।

ব্যাপকতর ত্রৈরাশিক (Rules of Three)

ত্রৈরাশিক পদ্ধতির প্রতিষ্ঠিত সূত্রটিকে সম্প্রসারিত আকারে ব্যবহার করাকে ব্যাপকতর ত্রৈরাশিক বলে। প্রতিটি বিষয়ের মান দুটি দিয়ে ভগ্নাংশ তৈরির ক্ষেত্রে ভগ্নাংশটি প্রকৃত না অপ্রকৃত হবে তার সিদ্ধান্ত নেবার সময় ধরে নিতে হবে যে অপর বিষয়গুলির মান অপরিবর্তিত থাকছে ।

পাটিগনিত - পূর্বপাঠের পুনরালোচনা

পূর্বপাঠের পুনরালোচনা- গড় (Mean), সরল গড়, গড় মানের চেয়ে মোট কমের পরিমান = গড় মানের চেয়ে মোট বেশীর পরিমান, গড়মানকে তথ্যগুলির কেন্দ্রীয় মান বা প্রতিনিধিত্ব মূলক মান হিসাবে ধরা হয়ে থাকে ...

Mathematics Syllabus class - IX

পাটি গণিত, বীজগণিত , জ্যামিতি, অঙ্কন, পরিমিতি, পিথাগোরাসের উপপাদ্য : বিবৃতি ও প্রয়োগ, অংশীদারী কারবার ও তার বিভিন্ন সমস্যায় অনুপাত ও সমানুপাতের প্রয়োগ । ত্রৈরাশিকের ব্যাপকতর প্রয়োগ ।

Class IX Mathematics Study material

1 পাটিগনিত 1.1 পূর্বপাঠের পুনরালোচনা, 1.2 ব্যাপকতর ত্রৈরাশিক, 1.3 সরল সুদকষা, 1.4 অংশীদারী কারবার 1.5 ব্যাঙ্কের বিভিন্ন সঞ্চয় প্রকল্পের সঙ্গে পরিচিতি 2 বীজগণিত 1.1পূর্বপাঠের পুনরালোচনা 1.2 ভাগ প্রক্রিয়ার সাহায্যে গ.সা.গু. নির্ণয়