লগারিদম (Logarithm)

Submitted by arpita pramanik on Wed, 02/16/2011 - 00:54

লগারিদম (Logarithm)

সংজ্ঞা (Definition) : কোনো ধনাত্মক রাশি যদি অপর একটি ধনাত্মক রাশির ঘাতের সমান হয়, তবে ওই ধনাত্মক ঘাতের সূচককে (Index of Power) বলে প্রথম সারিটির লগারিদম (Logarithm) ।

যদি [tex]{a^x} = b[/tex] ( a এবং b যেকোনো রাশি এবং [tex]a \ne 1[/tex] ) হয়, তবে x কে a নিধনের সাপেক্ষে b এর লগারিদম বলে । এক্ষেত্রে [tex]{\log _a}b = x[/tex] লেখা হয় । 

বিপরীতক্রমে যদি [tex]{\log _a}b = x[/tex] হয় তবে  [tex]{a^x} = b[/tex] হবে । 

মনে রাখতে হবে [tex]{\log _a}b[/tex] সংজ্ঞাত হবে যখন x > 0 , a > 0, [tex]a \ne 1[/tex]

 

লগারিদমের প্রকারভেদ (Type of Logarithm)

লগারিদম সাধারণত দই প্রকারের হয় । 

  1. সাধারণ লগারিদম (Common logarithm) বা ব্রিগসিয়ান লগারিদম (Briggsion Logarithm)
  2. স্বাভাবিক লগারিদম (Natural Logarithm) বা ন্যাপিয়ার লগারিদম (Naperian Logarithm)

সাধারণ লগারিদম (Common logarithm) বা ব্রিগসিয়ান লগারিদম ( Briggsion Logarithm )

এই লগারিদমের নিধন 10 । সাধারণত কোনো নিধন না থাকলে নিধনকে 10 ধরে নেওয়া হয় । সাধারণ লগারিদমের এই ধারণাটি প্রথম চালু করেছিলেন হেনরি ব্রিগস ( Henry Briggs ) । তাই তাঁর নাম অনুসারে কখনো কখনো এই লগারিদমকে ব্রিগসিয়ান লগারিদম (Briggsion Logarithm) বলা হয় । 

স্বাভাবিক লগারিদম ( Natural Logarithm ) বা ন্যাপিয়ার লগারিদম ( Naperian Logarithm )

এই লগারিদমে অমেয় রাশি ( Incommensurable ) e কে নিধন হিসাবে ব্যবহার করে বিভিন্ন ধনাত্মক বাস্তব রাশিকে নির্ণয় করা হয় । সাধারণ লগারিদমের এই ধারণাটি প্রথম পাওয়া যায় ইংরাজি গণিতজ্ঞ জন ন্যাপিয়ার এর লেখা বইতে । তাই তাঁর নাম অনুসারে এই লগারিদমকে ন্যাপিয়ার লগারিদম ( Naperian Logarithm ) বলা হয় । তবে কোনো বিশেষ ক্ষেত্রে সমুদয় লগের একই নিধন থাকলে সেক্ষেত্রেও নিধনকে উহ্য রাখা হয় । যেমন [tex]{\log _e}x[/tex] কে [tex]\log x[/tex] বা [tex]\ln x[/tex] লেখা হয় । কলনবিদ্যায় ( calculus ) এই লগারিদম ব্যবহৃত হয় । যেখানে e এর মান হচ্ছে 2.71828 অর্থাৎ e হল 2 ও 3 এর মধ্যবর্তী একটি তুরীয় অমূলদ সংখ্যা । 

 

লগারিদমের সূত্র ( Law of Logarithm )

  1. [tex]{\log _a}\left( {m \times n} \right) = {\log _a}m + {\log _a}n[/tex] , [ m , n বাস্তব > 0 , 0 < a([tex] \ne 1[/tex])]
  2. [tex]{\log _a}\left( {\frac{m}{n}} \right) = {\log _a}m - {\log _a}n[/tex] , [ m , n বাস্তব > 0, 0 < a([tex] \ne 1[/tex])]
  3. [tex]{\log _a}{m^n} = n{\log _a}m[/tex] , [ m বাস্তব > 0, 0 < a([tex] \ne 1[/tex])]
  4. নিধন পরিবর্তন সূত্র [tex]{\log _a}m = {\log _a}b \times {\log _b}m[/tex] , [m > 0 , 0 < a ([tex] \ne 1[/tex]) , 0 < b ([tex] \ne 1[/tex]) ]

 

লগারিদমের সূত্রের প্রমাণ ( Proof of Logarithm Laws)

1. [tex]{\log _a}\left( {m \times n} \right) = {\log _a}m + {\log _a}n[/tex] , [ m , n বাস্তব > 0 , 0 < a([tex] \ne 1[/tex])]

প্রমাণ : মনে করি [tex]{\log _a}m = x[/tex] এবং [tex]{\log _a}n = y[/tex]

অতএব [tex]{a^x} = m[/tex] , [tex]{a^y} = n[/tex]

এখন 

[tex]\begin{array}{l}
mn = {a^x} \cdot {a^y} = {a^{x + y}}\\
 \Rightarrow {\log _a}mn = x + y = {\log _a}m + {\log _a}n
\end{array}[/tex]

 

2. [tex]{\log _a}\left( {\frac{m}{n}} \right) = {\log _a}m - {\log _a}n[/tex] , [ m , n বাস্তব > 0, 0 < a([tex] \ne 1[/tex])]

প্রমাণ : মনে করি [tex]{\log _a}m = x[/tex] এবং [tex]{\log _a}n = y[/tex]

অতএব [tex]{a^x} = m[/tex] , [tex]{a^y} = n[/tex]

এখন 

[tex]\begin{array}{l}
\frac{m}{n} = \frac{{{a^x}}}{{{a^y}}} = {a^{x - y}}\\
 \Rightarrow {\log _a}\left( {\frac{m}{n}} \right) = x - y = {\log _a}m - {\log _a}n
\end{array}[/tex]

 

3. [tex]{\log _a}{m^n} = n{\log _a}m[/tex] , [ m বাস্তব > 0, 0 < a([tex] \ne 1[/tex])]

প্রমাণ :  মনে করি [tex]{\log _a}{m^n} = x[/tex] এবং [tex]{\log _a}m = y[/tex]

অতএব [tex]{a^x} = {m^n}[/tex] এবং [tex]{a^y} = m[/tex]

এখন [tex]{a^x} = {m^n} = {\left( {{a^y}} \right)^n} = {a^{ny}}[/tex]

অতএব [tex]x = ny \Rightarrow {\log _a}{m^n} = n{\log _a}m[/tex]

 

4. নিধন পরিবর্তন সূত্র [tex]{\log _a}m = {\log _a}b \times {\log _b}m[/tex] , [m > 0 , 0 < a ([tex] \ne 1[/tex]) , 0 < b ([tex] \ne 1[/tex]) ]

মনে করি [tex]{\log _a}b = x[/tex] এবং [tex]{\log _b}m = y[/tex]

অতএব [tex]{a^x} = b[/tex] এবং [tex]{b^y} = m[/tex]

এখন 

[tex]\begin{array}{l}
{b^y} = m\\
 \Rightarrow {\left( {{a^x}} \right)^y} = m\\
 \Rightarrow {a^{xy}} = m\\
 \Rightarrow {\log _a}m = xy = {\log _a}b \cdot {\log _b}m
\end{array}[/tex]

 

সংক্ষিপ্তকরণ(Summarisation)

[tex]m,n,a,b > 0,a \ne 1,b \ne 1,p[/tex] যেকোনো বাস্তব রাশি হলে,

1.    [tex]{\log _a}1 = 0[/tex]

2.   [tex]{\log _a}a = 1[/tex]

3.   [tex]{a^{{{\log }_a}m}} = m[/tex]

4.   [tex]{\log _a}\left( {mn} \right) = {\log _a}m + {\log _a}n[/tex]

5.   [tex]{\log _a}\left( {\frac{m}{n}} \right) = {\log _a}m - {\log _a}n[/tex]

6.   [tex]{\log _a}{m^p} = p{\log _a}m[/tex]

7.   [tex]{\log _a}m = {\log _b}m \times {\log _a}b[/tex]

8.   [tex]{\log _a}b \times {\log _b}a = 1[/tex]

9.   [tex]{\log _b}a = \frac{1}{{{{\log }_a}b}}[/tex]

10.   [tex]{\log _b}m = \frac{{{{\log }_a}m}}{{{{\log }_a}b}}[/tex]

*****

Comments

Related Items

সূচকের নিয়মাবলি (Laws of Index)

কোনো সংখ্যাকে সেই সংখ্যা দ্বারা একাধিকবার গুণ করার প্রক্রিয়াকে প্রকাশ করা হয় সংখ্যাটির মাথার ডানদিকে সংখ্যাটিকে যত সংখ্যক বার গুণ করা হয়েছে সেই সংখ্যাটি বসিয়ে। এই প্রক্রিয়াকে সূচকের নিয়ম বলে।

ব্যাপকতর ত্রৈরাশিক (Rules of Three)

ত্রৈরাশিক পদ্ধতির প্রতিষ্ঠিত সূত্রটিকে সম্প্রসারিত আকারে ব্যবহার করাকে ব্যাপকতর ত্রৈরাশিক বলে। প্রতিটি বিষয়ের মান দুটি দিয়ে ভগ্নাংশ তৈরির ক্ষেত্রে ভগ্নাংশটি প্রকৃত না অপ্রকৃত হবে তার সিদ্ধান্ত নেবার সময় ধরে নিতে হবে যে অপর বিষয়গুলির মান অপরিবর্তিত থাকছে ।

পাটিগনিত - পূর্বপাঠের পুনরালোচনা

পূর্বপাঠের পুনরালোচনা- গড় (Mean), সরল গড়, গড় মানের চেয়ে মোট কমের পরিমান = গড় মানের চেয়ে মোট বেশীর পরিমান, গড়মানকে তথ্যগুলির কেন্দ্রীয় মান বা প্রতিনিধিত্ব মূলক মান হিসাবে ধরা হয়ে থাকে ...

Mathematics Syllabus class - IX

পাটি গণিত, বীজগণিত , জ্যামিতি, অঙ্কন, পরিমিতি, পিথাগোরাসের উপপাদ্য : বিবৃতি ও প্রয়োগ, অংশীদারী কারবার ও তার বিভিন্ন সমস্যায় অনুপাত ও সমানুপাতের প্রয়োগ । ত্রৈরাশিকের ব্যাপকতর প্রয়োগ ।

Class IX Mathematics Study material

1 পাটিগনিত 1.1 পূর্বপাঠের পুনরালোচনা, 1.2 ব্যাপকতর ত্রৈরাশিক, 1.3 সরল সুদকষা, 1.4 অংশীদারী কারবার 1.5 ব্যাঙ্কের বিভিন্ন সঞ্চয় প্রকল্পের সঙ্গে পরিচিতি 2 বীজগণিত 1.1পূর্বপাঠের পুনরালোচনা 1.2 ভাগ প্রক্রিয়ার সাহায্যে গ.সা.গু. নির্ণয়