রৈখিক সহ সমীকরণ

Submitted by arpita pramanik on Sun, 07/10/2022 - 18:55

রৈখিক সহ সমীকরণ (Linear Simultaneous Equations)

সূচনা (Introduction)

আমরা এর আগে বিবিধ প্রশ্নে একটি অজ্ঞাত রাশি থাকলে তবে ওই অজ্ঞাত রাশিটিকে x ধরে সরল সমীকরণের সাহায্যে তার সমাধান প্রণালী শিখেছি। যদি এইরকম দুটি অজ্ঞাত রাশি থাকে , তবে ওই দুটি অজ্ঞাত রাশিকে x এবং y ধরে প্রশ্নের শর্ত গুলিকে দুটি সমীকরণ আকারে প্রকাশ করতে হবে । ওই দুটি অজ্ঞাত রাশি বিশিষ্ট সমীকরণকে বলা হয় সহসমীকরণ । এই দুটি অজ্ঞাত রাশিগুলিকে সমাধান করে অজ্ঞাত রাশিগুলির মান নির্ণয় করতে হবে । 

সহ-সমীকরণ (Simultaneous Equations) : যখন দুটি সমীকরণ যুগ্মভাবে কোনো সমস্যার সমাধানকে বহন করে তখন ওই সমীকরণদ্বয়কে বলে সহসমীকরণ । সহসমীকরণের একটিকে অপরটি থেকে বিচ্ছিন্ন করলে আলাদা আলাদা ভাবে কোনো একটি সমীকরণকে সমাধান করা সম্ভব  নয় । 

সহসমীকরণের প্রত্যেকটিতেই অথবা অন্তত যেকোনো একটিতে দুটি অজ্ঞাত রাশি থাকে এবং একজোড়া নির্দিষ্ট মানের জন্য দুটি সমীকরণই সিদ্ধ হয় । যেমন সাধারণরূপের সহসমীকরণ হল 

[tex]\begin{array}{l}
{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0\\
{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0
\end{array}[/tex]

অথবা 

[tex]\begin{array}{l}
{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0\\
{a_2}x + {c_2} = 0
\end{array}[/tex]

সহসমীকরণ সমাধানের বিভিন্ন পদ্ধতি 

সহসমীকরণ নিম্নলিখিত চার রকম পদ্ধতিতে সমাধান করা যায় । 

  1. তুলনামূলক পদ্ধতি ( Method of Comparison )
  2. প্রতিস্থাপন বা পরিবর্ত পদ্ধতি ( Method of Substitution )
  3. অপনয়ন পদ্ধতি ( Method of Elimination )
  4. বজ্রগুণন পদ্ধতি ( Method of Cross-multiplication )

দুটি সমীকরণের সমাধান এই উপরের চারটি পদ্ধতির মধ্যে যেকোনো একটি দিয়ে করা সম্ভব । কিন্তু যে পদ্ধতি টি দিয়ে আমরা সহজেই সমাধান করতে পারব সেটা আমাদের ঠিক করতে হবে । 

 

তুলনামূলক পদ্ধতি (Method of Comparison)

দুটি সহসমীকরণের প্রত্যেকটি থেকে x কে y এর আকারে অথবা y কে x এর আকারে প্রকাশ করতে হবে । তারপর ওই y এর আকারে প্রকাশিত (অথবা x এর আকারে প্রকাশিত) x এর মান (বা y এর মান) দুটি সমান ধরে নেওয়া হয় । তারপর ওই সরল সমকরণ থেকে y এর মান (বা x এর মান) বের করে নিতে হবে । প্রাপ্ত y এর মান (বা x এর মান) প্রদত্ত সমীকরণের যেকোনো একটিতে বসিয়ে x এর মান (বা y এর মান) বের করা হয় । x এবং y এর মান দুটিই প্রদত্ত সহস্যকরণের যুগৎপাত সমাধান । 

মনে করি [tex]{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0[/tex] এবং [tex]{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0[/tex] দুটি সমীকরণ । 

এখন প্রথম সমীকরণ থেকে আমরা পাই 

[tex]\begin{array}{l}
{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0\\
 \Rightarrow {a_1}x =  - \left( {{b_1}y + {c_1}} \right)\\
 \Rightarrow x = \frac{{ - \left( {{b_1}y + {c_1}} \right)}}{{{a_1}}}
\end{array}[/tex]

অনুরূপে দ্বিতীয় সমীকরণ থেকে আমরা পাই 

[tex]x = \frac{{ - \left( {{b_2}y + {c_2}} \right)}}{{{a_2}}}[/tex]

শর্তানুযায়ী 

[tex]\begin{array}{l}
\frac{{ - \left( {{b_1}y + {c_1}} \right)}}{{{a_1}}} = \frac{{ - \left( {{b_2}y + {c_2}} \right)}}{{{a_2}}}\\
 \Rightarrow {a_2}{b_1}y + {a_2}{c_1} = {a_1}{b_2}y + {a_1}{c_2}\\
 \Rightarrow y\left( {{a_2}{b_1} - {a_1}{b_2}} \right) = {a_1}{c_2} - {a_2}{c_1}\\
 \Rightarrow y = \frac{{{a_1}{c_2} - {a_2}{c_1}}}{{{a_2}{b_1} - {a_1}{b_2}}}
\end{array}[/tex]

এখন y এর মান প্রথম সমীকরণে বসিয়ে পাই 

[tex]\begin{array}{l}
x = \frac{{ - \left( {{b_2}\frac{{{a_1}{c_2} - {a_2}{c_1}}}{{{a_2}{b_1} - {a_1}{b_2}}} + {c_2}} \right)}}{{{a_2}}}\\
 = \frac{{ - {a_1}{b_2}{c_2} + {a_2}{b_2}{c_1} - {a_2}{b_1}{c_2} + {a_1}{b_2}{c_2}}}{{{a_2}\left( {{a_2}{b_1} - {a_1}{b_2}} \right)}}\\
 = \frac{{{a_2}{b_2}{c_1} - {a_2}{b_1}{c_2}}}{{{a_2}\left( {{a_2}{b_1} - {a_1}{b_2}} \right)}}\\
 = \frac{{{a_2}\left( {{b_2}{c_1} - {b_1}{c_2}} \right)}}{{{a_2}\left( {{a_2}{b_1} - {a_1}{b_2}} \right)}}\\
 = \frac{{{b_2}{c_1} - {b_1}{c_2}}}{{{a_2}{b_1} - {a_1}{b_2}}}
\end{array}[/tex]

 

প্রতিস্থাপন বা পরিবর্ত পদ্ধতি (Method of Substitution)

সমীকরণদ্বয়ের যেকোনো একটি থেকে একটি অজ্ঞাত রাশির মান অপর রাশির আকারে প্রকাশ করে ওই মান অপর সমীকরণটিতে বসানো হয় অর্থাৎ সমীকরণে দুটি আগত রাশি x ও y এর মধ্যে যেকোনো একটি মনে করি x কে y এর আকারে প্রকাশ করে ওই মান অন্য সমীকরণে বসিয়ে y এর মান নির্ণয় করা হয় । এবার y এর মানের সাহায্যে আগের পদ্ধতিতে ক্স এর মান নির্ণয় করা যায় । 

মনে করি [tex]{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0[/tex] এবং [tex]{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0[/tex] দুটি সমীকরণ । 

এখন প্রথম সমীকরণ থেকে আমরা পাই 

[tex]\begin{array}{l}
{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0\\
 \Rightarrow {a_1}x =  - \left( {{b_1}y + {c_1}} \right)\\
 \Rightarrow x = \frac{{ - \left( {{b_1}y + {c_1}} \right)}}{{{a_1}}}
\end{array}[/tex]

x এর মান এখন দ্বিতীয় সমীকরণে বসিয়ে পাই 

[tex]\begin{array}{l}
{a_2}\frac{{ - \left( {{b_1}y + {c_1}} \right)}}{{{a_1}}} + {b_2}y + {c_2} = 0\\
 \Rightarrow  - {a_2}{b_1}y - {a_2}{c_1} + {a_1}{b_2}y + {a_1}{c_2} = 0\\
 \Rightarrow y\left( {{a_1}{b_2} - {a_2}{b_1}} \right) = {a_2}{c_1} - {a_1}{c_2}\\
 \Rightarrow y = \frac{{{a_2}{c_1} - {a_1}{c_2}}}{{{a_1}{b_2} - {a_2}{b_1}}}
\end{array}[/tex]

এখন আগের পদ্ধতিতে x এর মান পাই 

[tex]\begin{array}{l}
x = \frac{{ - \left( {{b_2}\frac{{{a_1}{c_2} - {a_2}{c_1}}}{{{a_2}{b_1} - {a_1}{b_2}}} + {c_2}} \right)}}{{{a_2}}}\\
 = \frac{{ - {a_1}{b_2}{c_2} + {a_2}{b_2}{c_1} - {a_2}{b_1}{c_2} + {a_1}{b_2}{c_2}}}{{{a_2}\left( {{a_2}{b_1} - {a_1}{b_2}} \right)}}\\
 = \frac{{{a_2}{b_2}{c_1} - {a_2}{b_1}{c_2}}}{{{a_2}\left( {{a_2}{b_1} - {a_1}{b_2}} \right)}}\\
 = \frac{{{a_2}\left( {{b_2}{c_1} - {b_1}{c_2}} \right)}}{{{a_2}\left( {{a_2}{b_1} - {a_1}{b_2}} \right)}}\\
 = \frac{{{b_2}{c_1} - {b_1}{c_2}}}{{{a_2}{b_1} - {a_1}{b_2}}}
\end{array}[/tex]

 

অপনয়ন পদ্ধতি (Method of Elimination)

সমীকরণ দুটিকে এমন কোনো সংখ্যা দিয়ে গুণ করতে হবে যে পরিবর্তিত সমীকরণগুলিতে একটি অজ্ঞাত রাশির সহাগ গুলির সংখ্যা মান দুটি একই হয় । 

মনে করি [tex]{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0[/tex] এবং [tex]{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0[/tex] দুটি সমীকরণ । 

এখন প্রথম সমীকরণকে [tex]{a_2}[/tex] দিয়ে এবং দ্বিতীয় সমীকরণ কে [tex]{{a_1}}[/tex] দিয়ে গুণ করে প্রথমটি থেকে দ্বিতীয়টি বিয়োগ করে পাই 

[tex]\begin{array}{l}
{a_1}{a_2}x + {a_2}{b_1}y + {a_2}{c_1} = 0\\
 - {a_1}{a_2}x - {a_1}{b_2}y - {a_1}{c_2} = 0\\
 \Rightarrow y\left( {{a_2}{b_1} - {a_1}{b_2}} \right) + {a_2}{c_1} - {a_1}{c_2} = 0\\
 \Rightarrow y = \frac{{{a_1}{c_2} - {a_2}{c_1}}}{{{a_2}{b_1} - {a_1}{b_2}}}
\end{array}[/tex]

উপরের পদ্ধতিতে অনুরূপভাবে আমরা x এর মান নির্ণয় করতে পারব । 

বজ্রগুণন পদ্ধতি (Method of Cross-multiplication)

মনে করি [tex]{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0[/tex] এবং [tex]{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0[/tex] দুটি সমীকরণ । 

তবে বজ্রগুণনের সাহায্যে আমরা পাই 

[tex]\frac{x}{{{b_1}{c_2} - {b_2}{c_1}}} = \frac{y}{{{c_1}{a_2} - {c_2}{a_1}}} = \frac{1}{{{a_1}{b_2} - {a_2}{b_1}}}[/tex]

অতএব [tex]x = \frac{{{a_1}{b_2} - {a_2}{b_1}}}{{{b_1}{c_2} - {b_2}{c_1}}}[/tex] এবং [tex]y = \frac{{{a_1}{b_2} - {a_2}{b_1}}}{{{c_1}{a_2} - {c_2}{a_1}}}[/tex]

মনে রাখতে হবে [tex]{c_1}{a_2} - {c_2}{a_1} \ne 0[/tex]

*****

Comments

Related Items

উৎপাদকে বিশ্লেষণ (Factorisation)

মনে করি x রাশির যদি সর্বোচ্চ ঘাত 2 হয় সেই রাশিকে দ্বিঘাত রাশি বলে। যেমন Equation1 এই রাশির সর্বোচ্চ ঘাত 2 . এর তিনটি পদের সোহাগ যথাক্রমে 1 , 3 , 2. এবার এই মধ্যে সোহাগ 3 কে বিশ্লেষণ করে কিরূপে রাশিটিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ

স্থানাঙ্ক জ্যামিতি : দূরত্ব নির্ণয়

বীজগণিতের সাহায্যে বিভিন্ন জ্যামিতিক আকারের ধারণা গড়ে ওঠাকে স্থানাঙ্ক জ্যামিতি ( Co-ordinate Geometry ) বলা হয়। অর্থাৎ স্থানাঙ্ক জ্যামিতিতে বীজগণিতের সাহায্যে জ্যামিতির ধারণা করতে পারি তাই স্থানাঙ্ক জ্যামিতি ব্যাপকতরভাবে বিজ্ঞানের বিভিন্ন শাখায় ব্যবহার করা হয়।

সরল সুদ কষার উদাহরণ ও সমাধান

সমস্যাটিতে তিনটি বিষয় আছে বলে এখানে বহুরাশিক পদ্ধতি প্রয়োগ করতে হবে । যথা (i) আসল ও মোট সুদের মধ্যে এবং (ii) সময় ও মোট সুদের মধ্যে । (i) সময় অপরিবর্তিত আছে ধরে নিলে, আসলের সঙ্গে মোট সুদের সরল সম্পর্ক । এখানে আসল বেড়েছে তাই সুদ বাড়বে অর্থাৎ ভগ্নাংশটি

লাভ-ক্ষতি সংক্রান্ত অঙ্কের সমাধান

লাভ-ক্ষতি সংক্রান্ত অংকের সমাধান (Solution of Profit and Loss ), বিভিন্ন পরীক্ষায় আগত প্রশ্নপত্র আলোচনা করা হলো

লাভ-ক্ষতি (Profit and Loss)

ক্রয়মূল্য ( Cost Price ): যে মূল্যের বিনিময়ে কোনো জিনিস ক্রয় বা কেনা হয় তাকে ওই জিনিসের ক্রয়মূল্য বলে। উৎপাদন মূল্য : কোনো জিনিস তৈরি করতে যে টাকা খরচ হয় তাকে ওই জিনিসের উৎপাদন মূল্য বলে।