ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য

ভেদক ও মধ্যবিন্দু সংক্রান্ত উপপাদ্য (Transversal and Mid-Point Theorem)

 

উপপাদ্য 1: কোনো ত্রিভুজের দুটি বাহুর মধ্যবিন্দুদ্বয়ের সংযোগ সরলরেখাংশ তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল ও অর্ধেক । 

মনে করি ABC ত্রিভুজের AB বাহুর মধ্যবিন্দু হল D এবং AC বাহুর মধ্যবিন্দু হল E . DE যুক্ত করলাম । 

প্রমাণ করতে হবে (i) DE ।। BC এবং (ii) $DE = \frac{1}{2}BC$

অঙ্কন : ED কে F বিন্দু পর্যন্ত এমন ভাবে বর্ধিত করা হল যাতে DE = EF হয়। B , F যুক্ত করলাম । 

প্রমাণ : ত্রিভুজ ADE এবং ত্রিভুজ EFC এর 

DE = EF ( অঙ্কনানুযায়ী )

AE = EC ( শর্তানুযায়ী )

$\angle AED = \angle CEF$ ( বিপ্রতীপ কোণ )

অতএব ত্রিভুজ ADE $\cong$ ত্রিভুজ CEF .

অতএব AD = CF ( সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু ).

আবার AD = BD .

সুতরাং CF = BD .

$\angle DAE = \angle ECF$ ( কিন্তু এরা একান্তর কোণ )

অতএব AD ।। CF অর্থাৎ BD ।। CF 

অতএব BDFC চতুর্ভুজের  BD ।। CF এবং CF = BD . 

অতএব চতুর্ভুজ BDFC হল একটি সামান্তরিক। 

অতএব DF ।। BC অর্থাৎ DE ।। BC ( প্রমাণিত )

আবার BDFC সামান্তরিকের DF = BC 

E হল DF এর মধ্যবিন্দু । 

অতএব $2DE = BC \Rightarrow DE = \frac{1}{2}BC$ ( প্রমাণিত ) .

 

ABC সমবাহু ত্রিভুজের AB , BC ও AC বাহুর মধ্যবিন্দু হল যথাক্রমে P , Q ও R . প্রমাণ করতে হবে PQR একটি সমবাহু ত্রিভুজ । 

প্রমাণ : ত্রিভুজ ABC এর AB ও AC বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে P ও R . 

অতএব $PR = \frac{1}{2}BC$ ........(i)

একই ভাবে $PQ = \frac{1}{2}AC$.......(ii)

এবং $QR = \frac{1}{2}AB$.........(iii)

যেহেতু ABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ 

অতএব $AB = BC = AC \Rightarrow \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}AC$

অতএব (iii) , (i) ও (ii) থেকে পাই 

$QR = PR = PQ$

অতএব PQR একটি সমবাহু ত্রিভুজ । 

 

ABCD ট্রাপিজিয়ামের দুটি তির্যক বাহু AD ও BC এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে E ও F . প্রমাণ করতে হবে EF ।। AB এবং $EF = \frac{1}{2}\left( {AB + DC} \right)$

ABCD ট্রাপিজিয়ামের দুটি তির্যক বাহু AD ও BC এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে E ও F .

প্রমাণ করতে হবে EF ।। AB এবং $EF = \frac{1}{2}\left( {AB + DC} \right)$

অঙ্কন : D , F যুক্ত করে এমন ভাবে বর্ধিত করলাম যা বর্ধিত AB বাহুকে G বিন্দুতে ছেদ করে। 

প্রমাণ : ত্রিভুজ DCF ও ত্রিভুজ BFG এর মধ্যে 

CF = BF ( F হল BC বাহুর মধ্যবিন্দু )

$\angle DFC = \angle BFG$ ( বিপ্রতীপ কোণ )

$\angle DCF = \angle GBF$ ( একান্তর কোণ )

অতএব ত্রিভুজ DCF $\cong$ ত্রিভুজ BFG

সুতরাং DF = FG ( সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু ) অর্থাৎ F হল DG এর মধ্যবিন্দু । 

এখন ত্রিভুজ DGA এর E ও F হল যথাক্রমে AD ও DG এর মধ্যবিন্দু । 

অতএব EF ।। AG এবং $EF = \frac{1}{2}AG$ 

এখন EF ।। AG অর্থাৎ EF ।। AB ( প্রমাণিত )

আবার 

$\begin{array}{l} EF = \frac{1}{2}AG\\  \Rightarrow EF = \frac{1}{2}\left( {AB + BG} \right)\\  \Rightarrow EF = \frac{1}{2}\left( {AB + DC} \right) \end{array}$

( যেহেতু DF = FG ) প্রমাণিত । 

 

প্রমাণ করতে হবে যে কোনো চতুর্ভুজের বাহুগুলির মধ্যবিন্দু পরপর যুক্ত করলে একটি সামান্তরিক পাওয়া যাবে । 

মনে করি ABCD একটি চতুর্ভুজ যার AB , BC , CD ও DA বাহুর মধ্যবিন্দু হল যথাক্রমে E , F , G ও H তাদের মধ্যবিন্দু। প্রমাণ করতে হবে EFGH হল একটি সামান্তরিক । 

অঙ্কন : BD যুক্ত করা হল 

প্রমাণ : ABD ত্রিভুজের AD ও AB এর মধ্যবিন্দু হল যথাক্রমে H ও E . 

সুতরাং HE ।। BD এবং $HE = \frac{1}{2}BD$..............(i)

আবার BCD ত্রিভুজের BC ও CD বাহুর মধ্যবিন্দু হল যথাক্রমে F ও G .

সুতরাং FG ।। BD এবং $FG = \frac{1}{2}BD$..................(ii)

(i) ও (ii) থেকে পাই 

HE ।। FG এবং $HE = \frac{1}{2}BD = FG \Rightarrow HE = FG$

HEFG একটি সামান্তরিক। ( প্রমাণিত )

 

উপপাদ্য 2: কোনো ত্রিভুজের যে কোনো একটি বাহুর মধ্যবিন্দু দিয়ে অঙ্কিত দ্বিতীয় একটি বাহুর সমান্তরাল সরলরেখা তৃতীয় বাহুকে সমদ্বিখণ্ডিত করবে এবং ত্রিভুজের বাহুগুলির দ্বারা সমান্তরাল সরলরেখার খন্ডিতাংশ দ্বিতীয় বাহুর অর্ধেক হবে । 

মনে করি ত্রিভুজ ABC এর AC বাহুর মধ্যবিন্দু E দিয়ে BC এর সমান্তরাল সরলরেখা টানা হল যা AB বাহুকে D বিন্দুতে ছেদ করে । 

প্রমাণ করতে হবে (i) AD = BD এবং (ii) $DE = \frac{1}{2}BC$

অঙ্কন : ED কে F বিন্দু পর্যন্ত এমন ভাবে বর্ধিত করা হল যাতে DE = EF হয়। B , F যুক্ত করলাম । 

প্রমাণ : ত্রিভুজ ADE এবং ত্রিভুজ EFC এর 

AE = EC ( কল্পনানুসারে )

DE = EF ( অঙ্কনানুযায়ী )

$\angle AED = \angle CEF$ ( বিপ্রতীপ কোণ )

সুতরাং  ত্রিভুজ ADE $\cong$ ত্রিভুজ EFC

অতএব AD = FC ( সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু )

এবং $\angle DAE = \angle FCE$ ( কিন্তু এরা একান্তর কোণ )

অতএব AD ।। CF বা AB ।। CF

অর্থাৎ BD ।। CF আবার DF ।। BC 

অতএব BDFC একটি সামন্তরিক । 

অতএব DF = BC এবং BD = CF 

আবার AD = CF

অতএব BD = AD 

এর থেকে বলা যায় D হল AB এর মধ্যবিন্দু। ( প্রমাণিত )

এখন 

$\begin{array}{l} DF = BC\\  \Rightarrow DE + EF = BC\\  \Rightarrow DE + DE = BC\\  \Rightarrow 2DE = BC\\  \Rightarrow DE = \frac{1}{2}BC \end{array}$

( প্রমাণিত )

 

বিকল্প পদ্ধতিতে প্রমাণ ত্রিভুজের যেকোনো দুটি বাহুর মধ্যবিন্দু দ্বয়ের সংযোগ সরলরেখা তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল ও অর্ধেক হবে । 

মনে করি ABC ত্রিভুজের AB ও AC বাহুর মধ্যবিন্দু দুটি যথাক্রমে D ও E . D , E যুক্ত করা হল। 

প্রমাণ করতে হবে যে  (i) DE ।। BC এবং (ii) $DE = \frac{1}{2}BC$

অঙ্কন : AC বাহুর মধ্যবিন্দু E দিয়ে AB বাহুর সমান্তরাল সরলরেখা টানলাম যা BC বাহুকে F বিন্দুতে ছেদ করে । 

প্রমাণ : E , AC বাহুর মধ্যবিন্দু এবং EF ।। AB ( অঙ্কনানুযায়ী )

অতএব F , BC এর মধ্যবিন্দু অর্থাৎ $BF = \frac{1}{2}BC$ এবং $EF = \frac{1}{2}AB$

সুতরাং $EF = \frac{1}{2}AB = DB$ ( যেহেতু D , AB এর মধ্যবিন্দু )

চতুর্ভুজ DBEF এর 

FE = DB এবং EF ।। DB ( অঙ্কনানুযায়ী )

অতএব DBEF একটি সামন্তরিক । 

সুতরাং DE ।। BF অর্থাৎ DE ।। BC ( প্রমাণিত )

$DE = BF = \frac{1}{2}BC$ ( প্রমাণিত )

 

ABC সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ BC এর মধ্যবিন্দু D . প্রমাণ করতে হবে $AD = \frac{1}{2}BC$

ত্রিভুজ ABC হল সমকোণী ত্রিভুজ । যার $\angle A = {90^ \circ }$ এবং D হল BC বাহুর মধ্যবিন্দু । 

প্রমাণ করতে হবে $AD = \frac{1}{2}BC$

অঙ্কন : D থেকে AB এর সমান্তরাল সরলরেখা টানলাম যা AC কে E বিন্দুতে ছেদ করেছে। 

প্রমাণ : ত্রিভুজ ABC এর D হল BC বাহুর মধ্যবিন্দু এবং AD ।। DE ( অঙ্কনানুসারে ) ।

অতএব E হল AC এর মধ্যবিন্দু এবং $DE = \frac{1}{2}AB$

এখন ত্রিভুজ ADE ও ত্রিভুজ CDE এর 

AE = EC 

ED হল সাধারণ বাহু । 

AB ।।  ED এবং AC হল ভেদক অতএব $\angle BAE = \angle DEC = {90^ \circ }$

অতএব $\angle DEC = {90^ \circ }$

অতএব $\angle DEA = \angle DEC$

অতএব ত্রিভুজ ADE $\cong$ ত্রিভুজ DEC 

সুতরাং AD = DC 

অতএব $AD = DC = \frac{1}{2}BC$

 

ABC ত্রিভুজের AD মধ্যমার মধ্যবিন্দু E এবং বর্ধিত BE , AC বাহুকে F বিন্দুতে ছেদ করেছে প্রমাণ করতে হবে যে $AF = \frac{1}{3}AC$

ABC ত্রিভুজের AD মধ্যমার মধ্যবিন্দু E এবং বর্ধিত BE , AC বাহুকে F বিন্দুতে ছেদ করেছে। 

আমাদের প্রমাণ করতে হবে যে $AF = \frac{1}{3}AC$

অঙ্কন : D বিন্দু দিয়ে BF এর সমান্তরাল সরলরেখা টানলাম যা AC বাহুকে G বিন্দুতে ছেদ করে। 

প্রমাণ : ত্রিভুজ BFC এর BC বাহুর মধ্যবিন্দু হল D . [ যেহেতু AD হল মধ্যমা ]

এবং DG ।। BF ( অঙ্কনানুসারে )

অতএব G হল FC এর মধ্যবিন্দু। 

সুতরাং FG = GC ...........(i)

এখন ADG ত্রিভুজের AD বাহুর মধ্যবিন্দু E এবং DG ।। EF ( অঙ্কনানুসারে )

অতএব F হল AG এর মধ্যবিন্দু। 

সুতরাং AF = FG ............(ii)

(i) ও (ii) থেকে পাই 

AF = FG = GC 

সুতরাং  $AF = \frac{1}{3}AC$

 

ABCD সামান্তরিকের AB ও DC বাহুর মধ্যবিন্দুদ্বয়  যথাক্রমে E এবং F ; A , F ও C , E যোগ করলাম যা BD কর্ণ কে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করল। প্রমাণ করতে হবে যে AF ও CE , BD কর্ণকে সমত্রিখণ্ডিত করেছে । 

প্রমাণ : ABCD সামান্তরিকের AB ।। DC এবং AB = DC

অতএব AE ।। FC এবং $\frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}DC$

অর্থাৎ AE = FC অতএব AECF একটি সামন্তরিক। 

সুতরাং AF ।। EC 

এখন ত্রিভুজ BAP এর E হল AB এর মধ্যবিন্দু এবং QE ।। PA 

অতএব Q হল PB এর মধ্যবিন্দু। 

সুতরাং BQ = QP ............(i)

আবার ত্রিভুজ DCQ এর F হল DC এর মধ্যবিন্দু এবং FP ।। CQ 

অতএব P হল DQ এর মধ্যবিন্দু। 

সুতরাং  QP = PD  ............(ii)

(i) এবং (ii) থেকে পাই 

BQ = QP এবং QP = PD 

অতএব BQ = PQ = PD . 

 

তিন বা ততোধিক সমান্তরাল সরলরেখা কোনো একটি ভেদক থেকে সমান সমান অংশে খণ্ডিত করলে অপর যে কোনো ভেদক থেকেও সমান সমান অংশ খণ্ডিত করবে । 

মনে করি AB , CD এবং EF তিনটি সমান্তরাল সরলরেখাকে GH ভেদক যথাক্রমে U , V এবং W বিন্দুতে ছেদ করে এবং UV = VW 

আমাদের প্রমাণ করতে হবে যে আর একটি ভেদক PQ যদি AB , CD এবং EF তিনটি সমান্তরাল সরলরেখাকে যথাক্রমে X , Y এবং Z বিন্দুতে ছেদ করে তবে XY = YZ হবে । 

অঙ্কন : UZ যুক্ত করা হল। UZ সরলরেখা CD সরলরেখাকে O বিন্দুতে ছেদ করেছে ।

 প্রমাণ : UWZ ত্রিভুজের VO ।। WZ এবং V হল UW এর মধ্যবিন্দু । 

অতএব O হল UZ এর মধ্যবিন্দু । 

আবার UXZ ত্রিভুজের UX ।। OY এবং O হল UZ এর মধ্যবিন্দু । 

অতএব Y হল XZ এর মধ্যবিন্দু অর্থাৎ XY = YZ ( প্রমাণিত ) ।

*****