2020
MATHEMATICS
Compulsory
Time — 3 Hours 15 Minutes
(First 15 minutes for reading the question paper)
Full Marks — 90 — For Regular Candidates
Full Marks — 100 — For External Candidates
[1, 2, 3, 4 প্রশ্নগুলির উত্তর প্রশ্নসংখ্যা লিখে অবশ্যই ক্রমানুযায়ী উত্তরপত্রের প্রথম দিকে লিখতে হবে । এর জন্য প্রয়োজনবোধে গণনা ও চিত্র অঙ্কন উত্তরপত্রের ডানদিকে মার্জিন ট্রেনে করতে হবে । কোনো প্রকার সারণি বা গণকযন্ত্র ব্যবহার করা যাবে না । গণনার প্রয়োজনে পাই [tex] \pi [/tex] -এর আসন্ন মান [tex]{{22} \over 7} [/tex] ধরে নিতে হবে । দরকার মতো গ্রাফ পেপার দেওয়া হবে । পাটিগণিতের অঙ্ক বীজগাণিতিক পদ্ধতিতে করা যেতে পারে ।]
[দৃষ্টিহীন পরীক্ষার্থীদের জন্য 11 নং প্রশ্নের বিকল্প দেওয়া আছে 14 নং পৃষ্ঠায় ]
[ 16 নং প্রশ্ন কেবলমাত্র বহিরাগত পরীক্ষার্থীদের জন্য 15 এবং 16 নং পৃষ্ঠায় দেওয়া আছে ]
1. নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলির প্রতিটি ক্ষেত্রে সঠিক উত্তরটি নির্বাচন করো : 1x6=6
(i) কোনো মূলধন 10 বছরে দ্বিগুণ হলে, বার্ষিক সরল সুদের হার—
(a) 5% (b) 10% (c) 15% (d) 20%
(ii) [tex]{x^2} - 7x + 3 = 0[/tex] সমীকরণের বীজদ্বয়ের গুণফল
(a) 7 (b) -7 (c) 3 (d) -3
(iii) O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AB ও CD জ্যা দুটির দৈর্ঘ্য সমান, [tex]\angle AOB = {60^ \circ }[/tex] হলে, [tex]\angle COD[/tex] এর মান হবে —
(a) 30° (b) 60° (c) 120° (d) 180°
(iv) দুটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর আয়তনের অনুপাত 1 : 4 এবং তাদের ভুমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত 4: 5 হলে তাদের উচ্চতার অনুপাত —
(a) 1 : 5 (b) 5 : 4 (c) 25 : 16 (d) 25 : 64
(v) যদি [tex]\sin \theta - \cos \theta = 0[/tex], [tex]({O^ \circ } < \theta < {90^ \circ })[/tex] এবং [tex]\sec \theta + \cos ec \theta = x[/tex], হয় তাহলে এর মান —
(a) 1 (b) 2 (c) [tex] \sqrt 2 [/tex] (d) [tex] 2 \sqrt 2 [/tex]
(vi) 1, 3, 2, 8, 10, 8, 3, 2, 8, 8 এর সংখ্যাগুরু মান —
(a) 2 (b) 3 (c) 8 (d) 10
2. শূন্যস্থান পূরণ করো (যে কোনো পাঁচটি ): 1x5=5
(i) আনিসুর 500 টাকা 9 মাসের জন্য এবং ডেভিড 600 টাকা 5 মাসের জন্য একটি যৌথ ব্যবসায় নিয়োজিত করে । তাদের লভ্যাংশের অনুপাত হবে _____ ।
(ii) [tex]a{x^2} + 2bx + c = 0(a \ne 0)[/tex], দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান হলে b2 = _____ হবে ।
(iii) দুটি কোণের সমষ্টি _____ হলে তাদেরকে পরস্পরের সম্পূরক বলা হয় ।
(iv) [tex] \sin 3\theta [/tex] এর সর্বোচ্চ মান _____ ।
(v) একটি নিরেট গোলক গলিয়ে একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার চোঙ তৈরি করা হলে গোলক এবং চঙের _____ এর সমান হবে ।
(vi) কিছু ছাত্রের বয়স হলো (বছর) 10, 11, 9, 7, 13, 8, 14; এদের বয়সের মধ্যমা হল _____ বছর ।
3. সত্য বা মিথ্যা লেখো (যে কোনো পাঁচটি) : 1x5=5
(i) বার্ষিক [tex]{r \over 2} [/tex] % সরল সুদের হারে 2p টাকার t বছরের সুদে আসলে হলো [tex]\left( {2p + {{prt} \over {100}}} \right)[/tex] টাকা ।
(ii) 2a = 3b = 4c হলে a : b : c = 2 : 3 : 4 হবে ।
(iii) একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্যের অনুপাত 5 : 12 : 13, হলে ত্রিভুজটি সর্বদা সমকোণী ত্রিভুজ হবে ।
(iv) একটি রশ্মির প্রান্তবিন্দুকে কেন্দ্র করে, রশ্মিটিকে ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে ঘোরার জন্য উৎপন্ন কোণটি ধনাত্মক হবে ।
(v) n যদি যুগ্ম সংখ্যা হয়, তবে মধ্যমা হবে [tex] \left ({n \over 2} \right ) [/tex] -তম ও [tex] \left ({n \over 2} - 1 \right ) [/tex] -তম পর্যবেক্ষণের গড় ।
(vi) একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ভূমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য অর্ধেক এবং উচ্চতা দ্বিগুণ করা হলে শঙ্কুটির আয়তন একই থাকে ।
4. যে কোনো দশটি প্রশ্নের উত্তর দাও : 2x10=20
(i) কোনো আসল ও তার 5 বছরের সবৃদ্ধি মূলের অনুপাত 5 : 6, হলে, বার্ষিক সরল সুদের হার নির্ণয় করো ।
(ii) A এবং B কোনো ব্যবসায় 1,050 টাকা লাভ করে । A এর মূলধন 900 টাকা এবং লভ্যাংশ 630 টাকা হলে B এর মূলধন কত ?
(iii) [tex]x \propto y,y \propto z[/tex] এবং [tex]z \propto x[/tex] হলে, ধ্রুবক তিনটির গুণফল নির্ণয় করো ।
(iv) [tex]5{x^2} - 2x + 3 = 0 [/tex] দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদুটি [tex]\alpha [/tex] ও [tex]\beta [/tex] হলে [tex] {1 \over \alpha } + {1 \over \beta }[/tex] এর মান নির্ণয় করো ।
(v) ABCD আয়তকার চিত্রের অভ্যন্তরে O বিন্দু এমনভাবে অবস্থিত যে OB = 6 সেমি, OD = 8 সেমি এবং OA = 5 সেমি । OC -র দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো ।
(vi) ABC সমকোণী ত্রিভুজের [tex] \angle ABC = {90^ \circ }[/tex], AB = 3 সেমি, BC = 4 সেমি এবং B বিন্দু থেকে AC বাহুর উপর লম্ব RD যা AC বাহুর সঙ্গে D বিন্দুতে মিলিত হয় । BD এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো ।
(vii) দুটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 8 সেমি এবং 3 সেমি । তাদের কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব 13 সেমি । বৃত্ত দুটির সরল সাধারণ স্পর্শকের দৈর্ঘ্য কত ?
(viii) একটি ঘড়ির ঘন্টার কাঁটা 1 ঘন্টায় যে কোণ আবর্তন করে তার বৃত্তীয় মান কত ?
(ix) [tex]\tan 4\theta \tan 6\theta = 1[/tex] এবং [tex] 6\theta [/tex] ধনাত্মক সূক্ষ্মকোণ হলে, [tex] \theta [/tex] -র মান নির্ণয় করো ।
(x) একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর উচ্চতা 12 সেমি এবং আয়তন [tex]100 \pi [/tex] ঘন সেমি । শঙ্কুরটির তির্যক উচ্চতা নির্ণয় করো ।
(xi) দুটি গোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত 1 : 4 হলে, তাদের আয়তনের অনুপাত নির্ণয় করো ।
(xii) যদি [tex] {u_i} = {{{x_i} - 35} \over {10}} [/tex], [tex] \Sigma {f_i}{u_i} = 30 [/tex] এবং [tex] \Sigma {f_i} = 60 [/tex] হয়; তাহলে [tex]\overline x [/tex] এর মান নির্ণয় করো ।
5. যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও : 5
(i) তোমার কাকার কারখানায় একটি মেশিনের মূল্য প্রতি বছর 10% হারে হ্রাস প্রাপ্ত হয় । মেসিনটির বর্তমান মূল্য টাকা 6000 টাকা হলে 3 বছর পরে ঐ মেসিনের মূল্য কত হবে ?
(ii) তিন বন্ধু যথাক্রমে 1,20,000 টাকা, 1,50,000 টাকা ও 1,10,000 টাকা মূলধন নিয়ে একটি বাস ক্রয় করে । প্রথম জন ড্রাইভার ও বাকি দুজন কন্ডাক্টরের কাজ করে । তারা ঠিক করে যে সেই আয়ের [tex] {2 \over 5} [/tex] অংশ কাজের জন্য 3 : 2 : 2 অনুপাতে ভাগ করবে এবং বাকি টাকা মূলধনের অনুপাতে ভাগ করে নেবে । কোনো এক মাসে যদি 29,260 টাকা আয় হয়, তবে কে কত টাকা পাবে নির্ণয় করো ।
6. যে কোনো একটি প্রশ্নের সমাধান কারো : 3
(i) [tex] {1 \over {x - 3}} - {1 \over {x + 5}} = {1 \over 6}[/tex]
(ii) দুটি ক্রমিক ধনাত্মক অযুগ্ম সংখ্যার গুণফল 143 হলে সমীকরণটি গঠন করো এবং শ্রীধর আচার্যের সূত্র প্রয়োগ করে সংখ্যাটি দুটি নির্ণয় করো ।
7. যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও : 3
(i) [tex]x = 2 + \sqrt 3 [/tex] এবং [tex] x + y = 4 [/tex] হলে [tex]xy + {1 \over {xy}}[/tex] এর সরলতা মান নির্ণয় করো ।
(ii) [tex] a \propto b [/tex] এবং [tex] b \propto c [/tex] হলে প্রমাণ করো [tex] a^3 + b^3 + c^3 \propto 3abc [/tex] ।
8. যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও : 3
(i) [tex] x:a = y:b = z:c [/tex] হলে দেখাও [tex] {{{x^3}} \over {{a^3}}}{{{y^3}} \over {{b^3}}}{{{z^3}} \over {{c^3}}} = {{3xyz} \over {abc}}[/tex] ।
(ii) যদি [tex] {{ay - bx} \over c} = {{cx - az} \over b} = {{bz - cy} \over a} [/tex] হয়, তবে প্রমাণ করো [tex] {x \over a} = {y \over b} = {z \over c} [/tex] ।
9. যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও : 5
(i) প্রমাণ করো, একই বৃত্তাংশস্থ সকল কোণই সমান ।
(ii) প্রমাণ করো, বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে যে দুটি স্পর্শক অঙ্কন করা যায় তাদের স্পর্শবিন্দু দুটির সঙ্গে বহিঃস্থ বিন্দুর সংযোজক সরলরেখাংশ দুটির দৈর্ঘ্য সমান ।
10. যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও : 3
(i) দুটি বৃত্ত পরস্পরকে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করেছে । PA ও PB যথাক্রমে দুটি বৃত্তের ব্যাস হলে, প্রমাণ কর A, Q, B বিন্দুত্রয় সমরেখ ।
(ii) সমকোণী ত্রিভুজ ABC এর [tex]\angle A = {90^ \circ }[/tex], BC এর উপর AD লম্ব, প্রমাণ করো 
।
11. যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও : 5
(i) 4 সেমি এবং 3 সেমি দৈর্ঘ্যের সরলরেখাংশ দুটির মধ্যসমানুপাতী অঙ্কন করো ।
(ii) 3 সেমি ব্যাসার্ধের একটি বৃত্ত অঙ্কন করো । বৃত্তের উপর একটি বিন্দু A তে একটি স্পর্শক অঙ্কন করো ।
12. যে কোনো দুটি প্রশ্নের উত্তর দাও : 3x2=6
(i) যদি [tex] \sin {17^ \circ } = {x \over y}[/tex] হয়, তাহলে দেখাও [tex] \sec {17^ \circ } - \sin {73^ \circ } = {{{x^2}} \over {y\sqrt {{y^2} - {x^2}} }}[/tex]
(ii) দুটি কোণের সমষ্টি 135° এবং তাদের অন্তর [tex] {\pi \over {12}} [/tex] হলে, কোণ দুটির ষষ্টিক ও বৃত্তীয় মান লেখো ।
(iii) মান নির্ণয় করো : [tex] {{5{{\cos }^2}{\pi \over 3} + 4{{\sec }^2}{\pi \over 6} - {{\tan }^2}{\pi \over 4}} \over {{{\sin }^2}{\pi \over 6} + {{\cos }^2}{\pi \over 6}}} [/tex]
13. যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও : 5
(i) একটি হ্রদের h মিটার ওপর একটি বিন্দু থেকে কোনো মেঘের উন্নতি কোণ [tex] \alpha [/tex] এবং হ্রদের ওপর ওর প্রতিবিম্বের অবনতি কোণ [tex] \alpha [/tex] । প্রমাণ করো, যে বিন্দু থেকে মেঘ দেখা যাচ্ছে সেখান থেকে মেঘের দূরত্ব [tex]{{2h\sec \alpha } \over {\tan \beta - \tan \alpha }}[/tex] ।
(ii) দুটি স্তম্ভের উচ্চতা যথাক্রমে 180 মিটার এবং 60 মিটার । দ্বিতীয় স্তম্ভটির গোড়া থেকে প্রথমটির চূড়ার উন্নতি কোণ 60° হলে, প্রথমটির গোড়া থেকে দ্বিতীয়টির চূড়ার উন্নতি কোণ নির্ণয় করো ।
14. যে কোনো দুটি প্রশ্নের উত্তর দাও : 4x2=8
(i) একটি ফাঁপা লম্ব বৃত্তাকার চোঙাকৃতি লোহার নলের বহির্ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 5 সেমি এবং অন্তর্ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 4 সেমি । নলটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল 1188 বর্গসেমি হলে নলটির দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো ।
(ii) 9 সেমি অন্তর্ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি অর্ধগোলাকার পাত্র সম্পূর্ণ জলপূর্ণ আছে । এই জল 3 সেমি এবং 4 সেমি উচ্চতা বিশিষ্ট চোঙাকৃতি বোতলে ভর্তি করে রাখা হবে । পাত্রটি খালি করতে কতগুলি এইরূপ বোতল দরকার তা নির্ণয় করো ।
(iii) একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ভূমিতলের ব্যাস 21 মিটার এবং উচ্চতা 14 মিটার । প্রতি বর্গমিটার 1.50 টাকা হিসেবে পার্শ্বতল রঙ করতে কত টাকা খরচ পড়বে ?
15. যে কোনো দুটি প্রশ্নের উত্তর দাও : 4 x 2 = 8
(i) ছাত্রীদের প্রাপ্ত নম্বরের গড় নির্ণয় করো যদি তাদের প্রাপ্ত নম্বরের ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা নিম্নরূপ হয় :
| নম্বর | ছাত্রী সংখ্যা |
| 10 -এর কম | 6 |
| 20 --এর কম | 10 |
| 30 -এর কম | 18 |
| 40 -এর কম | 30 |
| 50 -এর কম | 46 |
(ii) নীচের পরিসংখ্যাটি বিভাজন থেকে তথ্যটির মধ্যমা নির্ণয় করো :
| শ্রেণী-সীমানা | পরিসংখ্যা |
| 0 - 10 | 4 |
| 10 - 20 | 7 |
| 20 - 30 | 10 |
| 30 - 40 | 15 |
| 40 - 50 | 10 |
| 50 - 60 | 8 |
| 60 - 70 | 5 |
(iii) নীচের শ্রেণি-বিন্যাসিত পরিসংখ্যা বিভাজনের সংখ্যাগুরু মান নির্ণয় করো :
| শ্রেণী | পরিসংখ্যা |
| 3 - 6 | 2 |
| 6 - 9 | 6 |
| 9 - 12 | 12 |
| 12 - 15 | 24 |
| 15 - 18 | 21 |
| 18 - 21 | 12 |
| 21 - 24 | 3 |
[দৃষ্টিহীন পরীক্ষার্থীদের জন্য বিকল্প প্রশ্ন ]
11. যে কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও : 5
(i) দুটি প্রদত্ত দৈর্ঘ্যের সরলরেখাংশের মধ্য সমানুপাতী অঙ্কন প্রণালী বর্ণনা করো ।
(ii) প্রদত্ত একটি বৃত্তের উপরিস্থিত একটি বিন্দুতে স্পর্শকের অঙ্কন প্রণালী বর্ণনা করো ।
[বহিরাগত পরীক্ষার্থীদের জন্য অতিরিক্ত প্রশ্ন ]
16 (a) যে কোনো তিনটি প্রশ্নের উত্তর দাও : 2x3=6
(i) বিক্রয়মূল্যের উপর 20% লাভ হলে ক্রয়মূল্যের উপর শতকরা লাভ ?
(ii) যদি [tex]x = 3\cos \theta ;y = 3\sin \theta [/tex] হয় তবে [tex]{x^2} + {y^2}[/tex] এর মান নির্ণয় করো ।
(iii) সরল কর : [tex]\sqrt {98} + \sqrt 8 - 2\sqrt {32} [/tex]
(iv) একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙ এবং লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ভূমিতলের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত 3 : 4 এবং তাহাদের উচ্চতার অনুপাত 2 : 3; চোঙ ও শঙ্কুর আয়তনের অনুপাত কত ?
(b) যে কোনো চারটি প্রশ্নের উত্তর দাও : 1x4=4
(i) কোন মূলধন বার্ষিক [tex] 6 {1 \over 4}[/tex]% সরল সুদের হারে কত বছরে দ্বিগুণ হবে ?
(ii) একটি বৃত্তের ব্যাস AB এবং P বৃত্তের উপর যে কোনো একটি বিন্দু । [tex] \angle PAB = 30^o [/tex] হলে [tex] \angle PBA [/tex] এর মান কত হবে ?
(iii) 22° 30' কে রেডিয়ানে প্রকাশ করো ।
(iv) একটি নিরেট গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 10.5 সেমি হলে, তার সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল কত ?
(v) x : y = 2 : 3 এবং y : z = 4 : 7, হলে x : z নির্ণয় করো ।
*************
