2019
MATHEMATICS
Compulsory
Time — 3 Hours 15 Minutes
(First 15 minutes for reading the question paper)
Full Marks — 90 — For Regular Candidates
Full Marks — 100 — For External Candidates
[1, 2, 3, 4 প্রশ্নগুলির উত্তর প্রশ্নসংখ্যা লিখে অবশ্যই ক্রমানুযায়ী উত্তরপত্রের প্রথম দিকে লিখতে হবে । এর জন্য প্রয়োজনবোধে গণনা ও চিত্র অঙ্কন উত্তরপত্রের ডানদিকে মার্জিন ট্রেনে করতে হবে । কোনো প্রকার সারণি বা গণকযন্ত্র ব্যবহার করা যাবে না । গণনার প্রয়োজনে পাই [tex] \pi [/tex] -এর আসন্ন মান [tex]{{22} \over 7} [/tex] ধরে নিতে হবে । দরকার মতো গ্রাফ পেপার দেওয়া হবে । পাটিগণিতের অঙ্ক বীজগাণিতিক পদ্ধতিতে করা যেতে পারে ।]
[দৃষ্টিহীন পরীক্ষার্থীদের জন্য 11 নং প্রশ্নের বিকল্প দেওয়া আছে 14 নং পৃষ্ঠায় ]
[ 16 নং প্রশ্ন কেবলমাত্র বহিরাগত পরীক্ষার্থীদের জন্য 15 এবং 16 নং পৃষ্ঠায় দেওয়া আছে ]
1. নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলির প্রতিটি ক্ষেত্রে সঠিক উত্তরটি নির্বাচন করো : 1 x 6 = 6
[i] কোনো অংশীদারি ব্যবসায়ে দুই বন্ধুর প্রাপ্ত লভ্যাংশের অনুপাত [tex] {{1 \over 2} : {1 \over 3}} [/tex] হলে, তাদের মূলধনের অনুপাত—
(a) 2 : 3 (b) 3 : 2 (c) 1 : 1 (d) 5 : 3
[ii] যদি [tex] p + q = \sqrt {13}[/tex] এবং [tex] p - q = \sqrt 5 [/tex] হয়, তাহলে pq -এর মান—
(a) 2 (b) 18 (c) 9 (d) 8
[iii] কোনো বৃত্তের কেন্দ্র O এবং ব্যাস AB । ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ । [tex] \angle ABC = 65^o[/tex] , [tex] \angle DAC = 40^o[/tex] হলে [tex] \angle BCD [/tex]-এর মান —
(a) [tex] 75^o[/tex] (b) [tex] 105^o[/tex] (c) [tex] 115^o[/tex] (d) [tex] 80^o[/tex]
[iv] [tex] \tan \alpha + \cot \alpha = 2 [/tex] হলে [tex] \tan^{13} \alpha + \cot^{13} \alpha [/tex] -এর মান—
(a) 13 (b) 2 (c) 1 (d) 0
[v] [tex] 2\sqrt 6 [/tex] সেমি বাহু বিশিষ্ট দুটি ঘনক পাশাপাশি রাখলে উৎপন্ন আয়তঘনকটির কর্ণের দৈর্ঘ্য হবে—
(a) 10 সেমি (b) 6 সেমি (c) 2 সেমি (d) 12 সেমি
[vi] [tex] x_1, x_2, x_3, ......., x_{10}[/tex] রাশিগুলির গড় 20 হলে [tex] x_1 + 4 , x_2 + 4, x_3 + 4, ......., x_{10} + 4[/tex] রাশিগুলির গড় হবে —
(a) 20 (b) 24 (c) 40 (d) 10
2. শূন্যস্থান পূরণ করো (যে-কোনো পাঁচটি ): 1 x 5 = 5
[i] এক ব্যক্তি ব্যাংকে 100 টাকা জমা রেখে, 2 বছর পর সমূল চক্রবৃদ্ধি পেলেন 121 টাকা । বার্ষিক সুদের হার ছিল ____ % ।
[ii] দুটি দ্বিঘাত করণীর যোগফল ও গুণফল একটি মূলদ সংখ্যা হলে করনীদ্বয় ______ করণী ।
[iii] দুটি ত্রিভুজের ভূমি একই সরলরেখায় অবস্থিত এবং ত্রিভুজ দুটির অপর শীর্ষ বিন্দুটি সাধারন হলে, ত্রিভুজ দুটির ক্ষেত্রফলের অনুপাত ভূমির দৈর্ঘ্যের অনুপাতের _____ ।
[iv] [tex] {{ \cos 53^o } \over {\sin 37^o }}[/tex] -এর সরলতম মান _____।
[v] একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার চোঙের তলসংখ্যা _____ ।
[vi] [tex] x_1, x_2, ..., x_{100}[/tex] চলগুলি উর্ধ্বক্রমে থাকলে, এদের মধ্যমা ______ ।
3. সত্য বা মিথ্যা লেখো ( যে-কোনো পাঁচটি) : 1 x 5 = 5
[i] বার্ষিক 10% হারে 100 টাকার 1 বছরের সরল সুদ ও চক্রবৃদ্ধি সুদের পার্থক্য 1 টাকা ।
[ii] [tex] ab : c^2[/tex] , [tex] bc : a^2[/tex] এবং [tex] ca : b^2[/tex] -এর যৌগিক অনুপাত [tex] 1 : 1[/tex] ।
[iii] তিনটি অসমরেখ বিন্দু দিয়ে একটি মাত্র বৃত্ত আঁকা যায় ।
[iv] [tex] \sin 30^o + \sin 60^o > \sin 90^o[/tex] ।
[v] একই ভূমি ও একই উচ্চতাবিশিষ্ট একটি লম্ববৃত্তাকার শঙ্কু ও একটি লম্ববৃত্তাকার চোঙের আয়তনের অনুপাত 1 : 3 হবে ।
[vi] 2, 3, 9, 10, 9, 3, 9 তথ্যের মধ্যমার মান 10 ।
4. নিম্নলিখিত প্রশ্নগুলির উত্তর দাও (যে-কোনো দশটি ): 2 x 10 = 20
[i] বার্ষিক 5% সরল সুদের হারে কত টাকার মাসিক সুদ 1 টাকা হবে তা নির্ণয় করো ।
[ii] এক অংশীদারী ব্যবসায় তিনজনের মূলধনের অনুপাত 3 ; 5 ; 8 । প্রথম ব্যক্তির লাভ তৃতীয় ব্যক্তির লাভের থেকে 60 টাকা কম হলে ব্যবসায় মোট কত লাভ হয়েছিল ?
[iii] [tex] {a \over 2} = {b \over 3} = {c \over 4} = {{2a -3b + 4c} \over p} [/tex] হলে, p -এর মান কত ?
[iv] [tex] x \propto y^2 [/tex] এবং [tex] y = 2a [/tex] , [tex] x = a [/tex] হলে দেখাও যে [tex] y^2 = 4ax [/tex] ।
[v] ABCD ট্রাপিজিয়ামের [tex] BC \parallel AD [/tex] এবং AD = 4 সেমি । AC ও BD কর্ণদ্বয় এমনভাবে O বিন্দুতে ছেদ করে যে [tex] {{AO} \over {OC}} = {{DO} \over {OB}} = {1 \over 2}[/tex] হয় । BC -এর দৈর্ঘ্য কত ?
[vi] একটি বৃত্তে দুটি জ্যা AB এবং AC পরস্পর লম্ব । AB = 4 সেমি এবং AC = 3 সেমি হলে, বৃত্তটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো ।
[vii] [tex] \triangle ABC [/tex] -এর [tex] \angle ABC = 90^o[/tex] এবং [tex] BD \bot AC [/tex], যদি AB = 5 সেমি এবং BC = 12 সেমি হয়, তবে BD -এর দৈর্ঘ্য কত ?
[viii] [tex] \theta \left( {{O^ \circ } \le \theta \le 90^ \circ} \right)[/tex] এর কোন মান /মানগুলির জন্য [tex] 2 \sin \theta \cos \theta = \cos \theta [/tex] হবে ?
[ix] [tex] \sin 10 \theta = \cos 8 \theta [/tex] এবং [tex] 10 \theta [/tex] ধনাত্মক সূক্ষ্মকোণ হলে, [tex] \tan 9 \theta [/tex] -এর মান নির্ণয় করো ।
[x] একটি আয়তঘনাকৃতি ঘরের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে a, b এবং c একক এবং a + b + c = 25, ab + bc + ca = 240.5 হলে ঘরটির মধ্যে যে বৃহত্তম দণ্ডটি রাখা যাবে তার দৈর্ঘ্য কত হবে ?
[xi] একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল ভূমির ক্ষেত্রফলের [tex] \sqrt 5 [/tex] গুন । শঙ্কুটির উচ্চতা ও ভূমির ব্যাসার্ধের অনুপাত কত ?
[xii] প্রথম (2n + 1) সংখ্যক ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার মধ্যবর্তী সংখ্যা [tex] {{n + 103} \over 3} [/tex] হলে, n -এর মান নির্ণয় করো ।
5. যে-কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও : 5
[i] যদি 6 মাস অন্তর সুদ, আসলের সঙ্গে যুক্ত হয় তাহলে বার্ষিক 10% চক্রবৃদ্ধি হার সুদে 8000 টাকার [tex] 1 {1 \over 2} [/tex] বছরের সমূল চক্রবৃদ্ধি ও চক্রবৃদ্ধি সুদ কত হবে ?
[ii] দুই বন্ধু যথাক্রমে 40,000 টাকা ও 50,000 টাকা দিয়ে একটি অংশীদারি ব্যবসা শুরু করে । তাদের মধ্যে একটি চুক্তি হয় যে, লাভের 50% নিজেদের মধ্যে সমান ভাগে এবং লাভের অবশিষ্টাংশ মূলধনের অনুপাতে ভাগ হবে । প্রথম বন্ধুর লভ্যাংশ যদি দ্বিতীয় বন্ধুর লভ্যাংশ অপেক্ষা 800 টাকা কম হয়, তবে প্রথম বন্ধুর লভ্যাংশ কত ?
6. যে-কোনো একটি প্রশ্নের সমাধান করো : 3
[i] [tex] x^2 + x + 1 = 0 [/tex] সমীকরণটির বীজগুলির বর্গ যে সমীকরণের বীজ, সেই সমীকরণটি নির্ণয় করো ।
[ii] কলমের মূল্য প্রতি ডজনে 6 টাকা কম হলে 30 টাকায় আরও তিনটি বেশি কলম পাওয়া যাবে । কমার পূর্বে প্রতি ডজন কলমের মূল্য নির্ণয় করো ।
7. যে-কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও : 3
[i] সরল করো : [tex] {4 \sqrt 3 \over {2 - \sqrt 2}} - {30 \over {4 \sqrt 3 - \sqrt {18}}} - { \sqrt {18} \over {3 - \sqrt {12}}} [/tex]
[ii] যদি [tex] \left ({1 \over x} - {1 \over y} \right ) \propto {1 \over {x - y}} [/tex] হয় তবে দেখাও যে, [tex] \left ( x^2 + y^2 \right ) \propto xy [/tex] ।
8. যে-কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও : 3
[i] (3x - 2y) : (x + 3y) = 5 : 6 হলে, (2x - 5y) : (3x + 4y) নির্ণয় করো ।
[ii] যদি [tex] {{b + c - a} \over {y + z - x}} = {{c + a - b} \over {z + x - y}} = {{a + b - c} \over {x + y - z}} [/tex] হয়, তবে প্রমাণ করো যে, [tex] {a \over x} = { b \over y} = {c \over z} [/tex] ।
9. যে-কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও : 5
[i] অর্ধবৃত্তস্থ কোণ সমকোণ — প্রমাণ করো ।
[ii] প্রমাণ করো যে, যদি দুটি বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করে, তাহলে স্পর্শ বিন্দুটি কেন্দ্র দুটির সংযোজক সরলরেখাশের উপর অবস্থিত হবে ।
10. যে-কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 3
[i] O কেন্দ্রীয় বৃত্তের পরিলিখিত চতুর্ভুজ ABCD হলে প্রমাণ করো যে, AB + CD = BC + DA ।
[ii] [tex] \triangle ABC [/tex] -এর [tex] \angle A [/tex] সমকোণ এবং BP ও CQ দুটি মধ্যমা হলে, প্রমাণ করো যে, [tex] 5 BC^2 = 4 \left ( BP^2 + CQ^2 \right ) [/tex] ।
11. যে-কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 5
[i] ABC একটি ত্রিভুজ অঙ্কন করো যার BC = 7 সেমি, AB = 5 সেমি এবং AC = 6 সেমি । ABC ত্রিভুজটির পরিবৃত্ত অঙ্কন করো । ( কেবলমাত্র অঙ্কন চিহ্ন দিতে হবে )
[ii] 4 সেমি ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট একটি বৃত্ত অঙ্কন করো । বৃত্তের কেন্দ্র থেকে 6.5 সেমি দূরে কোনো বহিঃস্থ বিন্দু থেকে ওই বৃত্তের দুটি স্পর্শক অঙ্কন করো ।
12. যে-কোনো দুটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 3 x 2 = 6
[i] [tex] \triangle ABC [/tex] -এর [tex] \angle C = 90^o[/tex], যদি BC = m এবং AC = n হয় তবে দেখাও যে, [tex] m \sin A + n \sin B = \sqrt {m^2 + n^2} [/tex]
[ii] মান নির্ণয় করো : [tex] {4 \over 3 } \cot^2 30^o + 3 \sin^2 60^o - 2 \cos ec^o 60^o - {3 \over 4} \tan^2 30^o [/tex]
[iii] যদি [tex] \angle P + \angle Q = 90^o[/tex] হয়, তবে দেখাও যে, [tex] \sqrt {{ \sin P} \over {\cos Q}} - \sin P \cos Q = \cos^2 P[/tex]
13. যে-কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও : 5
[i] 600 মিটার চওড়া কোনো নদীর একটি ঘাট থেকে দুটি নৌকা দুটি ভিন্ন অভিমুখে নদীর ওপারে যাওয়ার জন্য রওনা দিল । যদি প্রথম নৌকাটি নদীর এপারের সঙ্গে 30° কোণ এবং দ্বিতীয় নৌকাটি প্রথম নৌকার গতিপথের সঙ্গে 90° কোণ করে চলে ওপারে পৌঁছায় তাহলে ওপারে পৌঁছানোর পরে নৌকা দুটির মধ্যে দূরত্ব কত হবে ?
[ii] একটি তিনতলা বাড়ির ছাদে 3.6 মিটার দৈর্ঘ্যের একটি পতাকা দণ্ড আছে । রাস্তার কোনো একস্থান থেকে দেখলে পতাকা দণ্ডটির চুড়া ও পাদদেশের উন্নতি কোণ যথাক্রমে 50° ও 45° হয় । বাড়িটির উচ্চতা কত ? ( ধরে নাও [tex] \tan 50^o = 1.2 [/tex] )
14. যে-কোনো দুটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 4 x 2 = 8
[i] ঘনকাকৃতি একটি জলপূর্ণ চৌবাচ্চা থেকে সমান মাপের 64 বালতি জল তুলে নিলে চৌবাচ্চাটির [tex] {1 \over 3}[/tex] অংশ জলপূর্ণ থাকে । চৌবাচ্চাটির বাহুর দৈর্ঘ্য যদি 1.2 মিটার হয়, তবে প্রতিটি বালতিতে কত লিটার জল ধরে (1 ঘনডেসিমিটার = 1 লিটার)
[ii] একটি তারের প্রস্থচ্ছেদের ব্যাস 50% কমানো হল । আয়তন অপরিবর্তিত রাখতে হলে তারটির দৈর্ঘ্য কত শতাংশ বাড়াতে হবে ?
[iii] লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু আকৃতির একটি তাঁবু তৈরি করতে 77 বর্গমিটার ত্রিপল লেগেছে । তাঁবুটির তির্যক উচ্চতা যদি 7 মিটার হয়, তবে তাঁবুটির ভূমিতলের ক্ষেত্রফল কত ?
15. যে-কোনো দুটি প্রশ্নের উত্তর দাও: 4 x 2 = 8
[i] যদি নীচের পরিসংখ্যা বিভাজন তালিকার যৌগিক গড় 54 হয়, তবে K -এর মান নির্ণয় করো :
| শ্রেণী | 0-20 | 20-40 | 40-60 | 60-80 | 80-100 |
| পরিসংখ্যা | 7 | 11 | K | 9 | 13 |
[ii} নীচের প্রদত্ত ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা বিভাজন ছকটি থেকে পরিসংখ্যা বিভাজন ছক তৈরি করে তথ্যটির সংখ্যাগুরুমান নির্ণয় করো :
| শ্রেণী | 10-এর কম | 20-এর কম | 30-এর কম | 40-এর কম | 50-এর কম | 60-এর কম | 70-এর কম | 80-এর কম |
| পরিসংখ্যা | 4 | 16 | 40 | 76 | 96 | 112 | 120 | 125 |
[iii] নীচের তালিকা থেকে একটি বিদ্যালয়ের দশম শ্রেণির 52 জন ছাত্রের গড় নম্বর প্রত্যক্ষ পদ্ধতি ও কল্পিত গড় পদ্ধতিতে নির্ণয় করো:
| ছাত্র সংখ্যা | 4 | 7 | 10 | 15 | 8 | 5 | 3 |
| নম্বর | 30 | 33 | 35 | 40 | 43 | 45 | 48 |
[দৃষ্টিহীন পরীক্ষার্থীদের জন্য বিকল্প প্রশ্ন ]
11. যে-কোনো একটি প্রশ্নের উত্তর দাও : 5
[i] একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্যের পরিমাপ দেওয়া থাকলে ঐ ত্রিভুজটির পরিবৃত্ত অঙ্কন প্রণালী বর্ণনা করো ।
[ii] কোনো বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু থেকে ঐ বৃত্তের দুটি স্পর্শক অঙ্কন প্রণালী বর্ণনা করো ।
[বহিরাগত পরীক্ষার্থীদের জন্য অতিরিক্ত প্রশ্ন ]
16. (a) যে কোনো তিনটি প্রশ্নের উত্তর দাও : 2 x 3 = 6
[i] p : q = 5 : 7 এবং p + q = - 4 হলে (3p + 2q) এর মান কত ?
[ii] বার্ষিক 10% সরল সুদে কত বছরে সুদ আসলের [tex] {3 \over 5}[/tex] অংশ হবে ?
[iii] একটি ঘড়ির ঘন্টার কাঁটার প্রান্তবিন্দু 1 ঘন্টা আবর্তনে যে পরিমাণ কোন উৎপন্ন করে তার বৃত্তীয় মান কত ?
[iv] [tex] x = 2 + \sqrt 5[/tex] এবং xy = - 1 হলে x - y -এর মান কত ?
(b) যে কোন চারটি প্রশ্নের উত্তর দাও : 1 x 4 = 4
[i] x2 + ax + 3 = 0 সমীকরণের বীজ 1 হলে a -এর মান কত ?
[ii] তিনটি ক্রমিক সমানুপাতী ধনাত্মক সংখ্যার গুণফল 64 হলে, তাদের মধ্যসমানুপাতী কত ?
[iii] x2 - kx + 4 = 0 সমীকরণের বীজদ্বয় বাস্তব ও সমান হলে k -এর মান কত ?
[iv] 1, 2, 3, 5, 8, 6, 9, 11 এবং 4 সংখ্যাগুলির মধ্যমা কত ?
[v] A 9 মাসের জন্য 600 টাকা এবং B 5 মাসের জন্য 700 টাকা কোনো ব্যবসায় নিয়োজিত করলে, তাদের লভ্যাংশের অনুপাত কত ?
***
